高三数学解题方法谈：存在性与探索性问题的向量处理（理）

用心 爱心 专心 存在性与探索性问题的向量处理存在性与探索性问题的向量处理 立体几何中存在性与探索性问题是同学们学习中的难点 如果用向量的方法来处理则 往往可使问题化难为易 加之用向量解答此类问题的方法固定 操作简单 能避开复杂的 转化与逻辑推理 因此更具可行性 试以三例说明 例 1 在底面是菱形的四棱锥PABCD 中 ABC 60 PA AC a PB PD 2a 点E在PD上 且PE ED 2 1 在 棱PC上是否存在一点 使BF 平面AEC 证明你的结论 解 以 为坐标原点 直线ADAP 分别为y轴 z轴 过点A 垂直平面yOz的直线为x轴 建立空间直角坐标系 如图 由题设条件 相关各点与向量的坐标分别为 332 0 0 0 00 00 0 0 0 222233 aaa aa a ABCDaPaE 2331 00 0 0 332222 a aa a AEACAPa PCaaa 31 22 BPaaa 设点 是棱PC上的点 31 22 PFPCaaa 其中 0 1 则 3 1 1 1 22 aa BFBPPFa 令 12 BFACAE 得 1 1 12121 222 331 1 1 222 241 1 1 22332 31 1 1 233 aa aaa a a 即当 1 2 时 13 22 BFACAE 亦即F是PC的中点时 BF AC AE 共面 又 BF 平面AEC 所以当F是棱PC的中点时 BF 平面AEC 注 利用共面向量有关定理建立方程是动点存在性问题得以解决的关键 本题还可以求出 平面AEC的法向量n n 通过BF n n求BF 平面AEC 将线面平行转化为直线与平面的法 向量垂直 时 F所在的位置 这种以 以求代证 的方法是同学们需要掌握的 例 2 在单位正方体 1111 ABCDABC D 中 点 是棱BC的中点 棱CD上是否存在一点 F 使得 1 D E 平面 1 AB F 如存在 请确定点 的位置 如不存在 请说明理由 用心 爱心 专心 解 以 为坐标原点 1 ABADAA 分别为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系 设在棱CD上存在F且DFx 则 1 101 011 10 10 2 BDEF x 111111 1 11 101 10 1 10 2 D EABAFxD E ABD EAB A 又 1 D E 平面 111 0AB FD EAFD E AF A 故有 1 2 x 故当F为棱CD的中点时 1 D E 平面 1 AB F 注 利用空间向量数量积的有关性质是确定空间平行 垂直关系的一种有效方式 这种将 几何问题代数化的方法真正体现了空间向量的作用 值得仔细回味 从以上的例题可以看到 利用空间向量研究立体几何中的探索性 或存在性 问题的 关键是构建向量及空间直角坐标系 然后利用空间向量的数量积 向量模的投影公式处理 空间平行 垂直等位置关系问题 还可避开传统的 作 证 算 中的难点 具 有较强的可操作性 例 3 如图 2 已知平 行六面体 1111 ABCDABC D 的底面ABCD是菱形 且 11 60C CBC CDBCD 1 证明 1 C CBD 2 若 1 3 2 2 CDCC 求二面角 1 CBDC 的平面角的余弦值 3 当 1 CD CC 的值等于多少时 能使 1 AC 面 1 C BD 解 1 略 2 略 3 不妨设 11 1 1 CD xCCAC CC 平面 1 C BD 则 1111 ACC BACC D 而 111111111 C DC CCD ACADDCC CADDCC C 由 11 0AC C D A 得 22 1111 0ADDCC CC CCDC CCDC C ADCD AD AAA 用心 爱心 专心 注意到 1 1 22 x C C ADCD AD AA 可得方程 2 1 10 2 x x 解得1x 或 1 2 x 舍 因此 当 1 1 CD CC 时能使 1 AC 平面 1 C BD 注 本题蕴涵转化思想 通过空间向量将空间中的垂直关系利用