【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.9函数的应用教案 理 新人教A版

1 2 9 2 9 函数的应用函数的应用 2014 高考会这样考 1 综合考查函数的性质 2 考查一次函数 二次函数 分段函数及 基本初等函数的建模问题 3 考查函数的最值 复习备考要这样做 1 讨论函数的性质一定要在定义域内 2 充分搜集 应用题目信息 正确建立函数模型 3 注重函数与不等式 数列 导数等知识的综合 1 几类函数模型及其增长差异 1 几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f x ax b a b为常数 a 0 反比例函 数模型 f x b k b为常数且k 0 k x 二次函数模型 f x ax2 bx c a b c为常数 a 0 指数函数模型 f x bax c a b c为常数 b 0 a 0 且a 1 对数函数模型 f x blogax c a b c为常数 b 0 a 0 且a 1 幂函数模型f x axn b a b为常数 a 0 2 三种函数模型的性质 函数 性质 y ax a 1 y logax a 1 y xn n 0 在 0 上的增减性 单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现 为与y轴平行 随x的增大逐渐表现 为与x轴平行 随n值变化而各有不 同 值的比较存在一个x0 当x x0时 有 logax xn22 B x0 当x 10 时 代入两项费用y1 y2分 k1 x 别是 2 万元和 8 万元 可得k1 20 k2 y1 y2 x 2 8 当且仅 4 5 20 x 4 5 20 x 4 5x 当 x 20 x 4 5 即x 5 时取等号 故选 A 题型一 二次函数模型 例 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品 其生产的总成本y 万元 与年产 量 x 吨 之间的函数关系式可以近似地表示为y 48x 8 000 已知此生产线年产量 x2 5 最大为 210 吨 1 求年产量为多少吨时 生产每吨产品的平均成本最低 并求最低成本 2 若每吨产品平均出厂价为 40 万元 那么当年产量为多少吨时 可以获得最大利润 最大利润是多少 思维启迪 1 根据函数模型 建立函数解析式 2 求函数最值 解 1 每吨平均成本为 万元 y x 则 48 2 48 32 y x x 5 8 000 x x 5 8 000 x 当且仅当 即x 200 时取等号 x 5 8 000 x 年产量为 200 吨时 每吨平均成本最低为 32 万元 2 设可获得总利润为R x 万元 则R x 40 x y 40 x 48x 8 000 x2 5 88x 8 000 x2 5 x 220 2 1 680 0 x 210 1 5 R x 在 0 210 上是增函数 x 210 时 5 R x 有最大值为 210 220 2 1 680 1 660 1 5 年产量为 210 吨时 可获得最大利润 1 660 万元 探究提高 二次函数是常用的函数模型 建立二次函数模型可以求出函数的值域或最 值 解决实际中的优化问题时 一定要分析自变量的取值范围 利用配方法求最值时 一定要注意对称轴与给定区间的关系 若对称轴在给定的区间内 可在对称轴处取一 最 值 在离对称轴较远的端点处取另一最值 若对称轴不在给定的区间内 最值都在区 间 的端点处取得 某产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系是y 3 000 20 x 0 1x2 0 x 240 x N N 若每台产品的售价为 25 万元 则生产者不亏本 时 销 售收入不小于总成本 的最低产量是 A 100 台 B 120 台 C 150 台 D 180 台 答案 C 解析 设利润为f x 万元 则 f x 25x 3 000 20 x 0 1x2 0 1x2 5x 3 000 0 x0 1 如果m 2 求经过多少时间 物体的温度为 5 摄氏度 2 若物体的温度总不低于 2 摄氏度 求m的取值范围 解 1 若m 2 则 2 2t 21 t 2 2t 1 2t 当 5 时 2t 令 2t x 1 则x 1 2t 5 2 1 x 5 2 即 2x2 5x 2 0 解得x 2 或x 舍去 此时t 1 1 2 所以经过 1 分钟 物体的温度为 5 摄氏度 2 物体的温度总不低于 2 摄氏度 即 2 恒成立 亦m 2t 2 恒成立 亦即m 2恒成立 2 2t 1 2t 1 22t 令 x 则 0 x 1 m 2 x x2 1 2t 由于x x2 m 1 4 1 2 7 因此 当物体的温度总不低于 2 摄氏度时 m的取值范围是 1 2 题型三 分段函数模型 例 3 为了保护环境 发展低碳经济 某单位在国家科研部门的支持下 进行技术攻关 新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目 经测算 该项目月处理 成本y 元 与月处理量x 吨 之间的函数关系可近似地表示为y Error 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 品价值为 200 元 若该项目不获利 国家将给予补偿 1 当x 200 300 时 判断该项目能否获利 如果获利 求出最大利润 如果不获 利 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损 2 该项目每月处理量为多少吨时 才能使每吨的平均处理成本最低 思维启迪 题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系 项目获利和月处理 量 的关系也是分段函数关系 解 1 当x 200 300 时 设该项目获利为S 则S 200 x 1 2x2 200 x 80 000 x2 400 x 80 000 x 400 2 1 2 1 2 所以当x 200 300 时 S 0 因此该单位不会获利 当x 300 时 S取得最大值 5 000 所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项目不亏损 2 由题意 可知二氧化碳的每吨处理成本为 Error y x 当x 120 144 时 x2 80 x 5 040 y x 1 3 x 120 2 240 1 3 所以当x 120 时 取得最小值 240 y x 当x 144 500 时 x 200 2 200 200 y x 1 2 80 000 x 1 2x 80 000 x 当且仅当x 即x 400 时 取得最小值 200 1 2 80 000 x y x 8 因为 200 240 所以当每月的处理量为 400 吨时 才能使每吨的平均处理成本最低 探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数 由于月处理量在不同范围内 处 理 的成本对应的函数解析式也不同 故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值 然 后将这些区间内的最值进行比较确定最值 2011 北京 根据统计 一名工人组装第x件某产品所用的时间 单位 分钟 为f x Error A c为常数 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟 组装 第A件产品用时 15 分钟 那么c和A的值分别是 A 75 25 B 75 16 C 60 25 D 60 16 答案 D 解析 由函数解析式可以看出 组装第A件产品所需时间为 15 故组装第 4 件产 c A 品 所需时间为 30 解得c 60 将c 60 代入 15 得A 16 c 4 c A 3 函数建模问题 典例 12 分 在扶贫活动中 为了尽快脱贫 无债务 致富 企业甲将经营状况良好的某种消费品专 卖 店以 5 8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙 并约 定 从该店经营的利润中 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后 逐步偿还转让费 不计息 在甲提供的资料中 这种消费品的进价为每件 14 元 该店月销量Q 百件 与销售价格P 元 的关系如图所示 每月需各种开支 2 000 元 1 当商品的价格为每件多少元时 月利润扣除职工最低生活费的余额最大 并求最大 余额 9 2 企业乙只依靠该店 最早可望在几年后脱贫 审题视角 1 认真阅读题干内容 理清数量关系 2 分析图形提供的信息 从图形 可看出函数是分段的 3 建立函数模型 确定解决模型的方法 规范解答 解 设该店月利润余额为L 则由题设得L Q P 14 100 3 600 2 000 由销量图易得Q Error 2 分 代入 式得 L Error 4 分 1 当 14 P 20 时 Lmax 450 元 此时P 19 5 元 当 20 P 26 时 Lmax 元 此时P 元 1 250 3 61 3 故当P 19 5 元时 月利润余额最大 为 450 元 8 分 2 设可在n年后脱贫 依题意有 12n 450 50 000 58 000 0 解得n 20 即最早可望在 20 年后脱贫 12 分 解函数应用题的一般程序 第一步 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量 关系 第二步 建模 将文字语言转化成数学语言 用数学知 识建立相应的数学模型 第三步 求模 求解数学模型 得到数学结论 第四步 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际 问题的意义 第五步 反思回顾 对于数学模型得到的数学解 必须验证这个数学解对实际问题的合理性 温馨提醒 1 本题经过了三次建模 根据月销量图建立Q与P的函数关系 建立利润 余额函数 建立脱贫不等式 2 本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数 在实际问题中 由于在不同的背景 下解决的问题发生了变化 因此在不同范围中 建立函数模型也不一样 所以现实生 10 活中分段函数的应用非常广泛 3 在构造分段函数时 分段不合理 不准确 是易出现的错误 方法与技巧 1 认真分析题意 合理选择数学模型是解决应用问题的基础 2 实际问题中往往解决一些最值问题 我们可以利用二次函数的最值 函数的单调性 基本不等式等来得到最值 失误与防范 1 函数模型应用不当 是常见的解题错误 所以 正确理解题意 选择适当的函数模 型 2 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 合理确定函数的定义域 3 注意问题反馈 在解决函数模型后 必须验证这个数学解对实际问题的合理性 时间 60 分钟 A 组 专项基础训练 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 有一批材料可以围成 200 m 长的围墙 现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场 地 如图 且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形 则围成的矩形场地的最大面积为 A 1 000 m2 B 2 000 m2 C 2 500 m2 D 3 000 m2 答案 C 解析 设围成的场地宽为x m 面积为y m2 则y 3x 200 4x 1 3 4x2 200 x 0 x20 x 2 008 28 7 lg 10 7 lg 81 80 1 lg 7 4lg 3 3lg 2 1 则x 2 036 7 即x 2 037 三 解答题 共 25 分 8 12 分 如图所示 在矩形ABCD中 已知AB a BC b a b 在AB AD CD CB上分别截 取AE AH CG CF都等于x 当x为何值时 四边形EFGH的面积最大 求出这个最 大面积 解 设四边形EFGH的面积为S 由题意得S AEH S CFG x2 1 2 S BEF S DHG a x b x 1 2 由此得S ab 2 1 2x2 1 2 a x b x 2x2 a b x 2 2 x a b 4 a b 2 8 函数的定义域为 x 0b 0 所以 0 bb 即a 3b时 函数S 2 2 在 0 b 上是增函数 因 a b 4 x a b 4 a b 2 8 此 当x b时 面积S取得最大值ab b2 综上可知 若a 3b 当x 时 四边形EFGH的面积取得最大值 若 a b 4 a b 2 8 a 3b 当x b时 四边形EFGH的面积取得最大值ab b2 9 13 分 某种出口产品的关税税率为t 市场价格x 单位 千元 与市场供应量p 单位 万 件 之间近似满足关系式 p 2 1 kt k b 2 其中k b均为常数 当关税税率 t 75 时 若市场价格为 5 千元 则市场供应量为 1 万件 若市场价格为 7 千元 则市场供 应 量约为 2 万件 1 试确定k b的值 2 市场需求量q 单位 万件 与市场价格x近似满足关系式 q 2 x 当p q时 市场 价格称为市场平衡价格 当市场平衡价格不超过 4 千元时 试确定关税税率的最大 值 解 1 由已知Error Error 解得b 5 k 1 2 当p q时 2 1 t x 5 2 2 x 1 t x 5 2 x t 1 1 x x 5 2 1 x 25 x 10 而f x x 在 0 4 上单调递减 25 x 当x 4 时 f x 有最小值 41 4 故当x 4 时 关税税率的最大值为 500 B 组 专项能力提升 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为L1 5 06x 0 15x2 15 和L2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售 15 辆车 则能获得最大 利润为 A 45 606 万元 B 45 6 万元 C 45 56 万元 D 45 51 万元 答案 B 解析 依题意可设甲销售x辆 则乙销售 15 x 辆 总利润S L1 L2 则总利润 S 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 0 15 x 10 2 2 0 15 10 22 30 x 0 当x 10 时 Smax 45 6 万元 2 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 如图 为降低消耗 开源节流 现要从这 些 边角料上截取矩形铁片 如图中阴影部分 备用 当截取的矩形面积最大时 矩形两边 长x y应为 A x 15 y 12 B x 12 y 15 C x 14 y 10 D x 10 y 14 答案 A 解析 由三角形相似得 得x 24 y 24 y 24 8 x 20 5 4 S xy y 12 2 180 5 4 当y 12 时 S有最大值 此时x 15 3 2012 江西 如图 已知正四棱锥S ABCD所有棱长都为 1 点E是侧棱SC上一动点 过点E垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记SE x 0 x 1 截面下面部分的体积为V x 则函数y V x 的图象大致为 16 答案 A 解析 分段 表示函数y V x 根据解析式确定图象 当 0 x 时 截面为五边形 如图所示 1 2 由SC 面QEPMN 且几何体为正四棱锥 棱长均为 1 可求得正四棱锥的高h 2 2 取MN的中点O 易推出OE SA MP SA NQ SA 则SQ SP AM AN 2x 四边形OEQN和OEPM 为全等的直角梯形 则VS AMN AM AN h x2 1 3 1 2 2 3 此时V x VS ABCD VS AMN VS EQNMP x2 2x 3x2 x 2 6 2 3 1 322 x3 x2 22 2 6 0 x 1 2 非一次函数形式 排除选项 C D 当E为SC中点时 截面为三角形EDB 且S EDB 2 4 17 当 x 1 时 2 S 截面 1 x 2 1 2 S截面 2 4 1 x 1 2 2 此时V x 1 x 3 V 1 x 2 2 32 当x 1 时 V 0 则说明V x 减小越来越慢 排除选项 B 方法二 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 4 某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元 预测六月份销售额为 500 万元 七 月 份销售额比六月份递增x 八月份销售额比七月份递增x 九 十月份销售总额与七 八月份销售总额相等 若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元 则x的最小值 是 答案 20 解析 由题意得 3 860 500 500 1 x 500 1 x 2 2 7 000 化简得 x 2 3 x 0 64 0 解得x 0 2 或x 3 2 舍去 x 20 即x的最小值为 20 5 某商人购货 进价已按原价a扣去 25 他希望对货物订一新价 以便按新价让利 20 销售后仍可获得售价 25 的利润 则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额 y之间的函数关系式为 答案 y x x N N a 4 解析 设新价为b 依题意 有b 1 20 a 1 25 b 1 20 25 化简得 b 5 4 a y b 20 x a 20 x 即y x x N N 5 4 a 4 6 某医院为了提高服务质量 对挂号处的排队人数进行了调查 发现 当还未开始挂号 时 有N个人已经在排队等候挂号 开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人 假定挂 号的速度是每个窗口每分钟K个人 当开放一个窗口时 40 分钟后恰好不会出现排队 现象 若同时开放两个窗口时 则 15 分钟后恰好不会出现排队现象 根据以上信息 若要求 8 分钟后不出现排队现象 则需要同时开放的窗口至少