【志鸿优化设计】（山东专用）2014届高考数学一轮复习 阶段检测六 计数原理 概率与统计 算法初步推理与证明复数 理 新人教A版

1 阶段检测六阶段检测六 计数原理计数原理 概率与统计概率与统计 算法初步算法初步 推理与证明推理与证明 复数复数 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 复数z 在复平面上对应的点位于 i 1 i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 2012 四川高考 1 x 7的展开式中x2的系数是 A 21 B 28 C 35 D 42 3 执行如图所示的程序框图 输出的S值为 A 3 B C D 2 1 2 1 3 4 某单位共有老 中 青职工 430 人 其中有青年职工 160 人 中年职工人数是老年 职工人数的 2 倍 为了解职工身体状况 现采用分层抽样的方法进行调查 在抽取的样本 中有青年职工 32 人 则该样本中的老年职工人数为 A 9 B 18 C 27 D 36 5 设a b c均为正实数 则三个数a b c 1 b 1 c 1 a A 都大于 2 B 都小于 2 C 至少有一个不大于 2 D 至少有一个不小于 2 6 从 0 2 中选一个数字 从 1 3 5 中选两个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇 数的个数为 A 24 B 18 C 12 D 6 7 某地区为了解中学生的日平均睡眠时间 单位 h 随机选择了n位中学生进行调 查 根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示 且从左到右的第 1 个 第 4 个 第 2 个 第 3 个小长方形的面积依次构成公差为 0 1 的等差数列 又第一小组的频数是 10 则n等于 A 80 B 90 C 100 D 110 2 8 一个算法的程序框图如图所示 若该程序输出的结果是 则判断框中应填入的条 4 5 件是 A i 5 B i 6 C i 5 D i 6 9 2012 江西高考 小波一星期的总开支分布如图 1 所示 一星期的食品开支如图 2 所示 则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 图 1 图 2 A 30 B 10 C 3 D 不能确定 10 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 3 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形 数 类似地 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又 是正方形数的是 A 289 B 1 024 C 1 225 D 1 378 11 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机 对其销售额进行统计 统计数据 用茎叶图表示 如图所示 设甲 乙两组数据的平均数分别为 中位数分别为mx甲x乙 甲 m乙 则 A m甲 m乙x甲x乙 B m甲 m乙x甲x乙 C m甲 m乙x甲x乙 D m甲 m乙x甲x乙 12 如图所示的三角形数阵叫 莱布尼茨调和三角形 它们是由整数的倒数组成的 第n行有n个数且两端的数均为 n 2 其余每个数是它下一行左右相邻两数的和 如 1 n 则第 7 行第 4 个数 从左往右数 为 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 A B C D 1 140 1 105 1 60 1 42 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将答案填在题中横线上 13 两人进行乒乓球比赛 先赢 3 局者获胜 决出胜负为止 则所有可能出现的情形 4 各人输赢局次的不同视为不同情形 共有 种 14 已知平面区域U x y x y 6 x 0 y 0 A x y x 4 y 0 x 2y 0 若向区域U内随机投一点P 则点P落入区域A的概率为 15 2012 北京西城模拟 定义运算 ad bc 若复数x y 则 a b c d 1 i 1 i 4i xi 2 x i y 16 在 Rt ABC中 若 C 90 AC b BC a 则 ABC外接圆半径r a2 b2 2 运用类比方法 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a b c 则其外接球的 半径R 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知集合A 1 2 a2 3a 1 a2 5a 6 i 其中 i 是虚数单位 集合B 1 3 A B 3 求实数a的值 18 12 分 2012 西工大附中模拟 有两枚大小相同 质地均匀的正四面体玩具 每个 玩具的各个面上分别写着数字 1 2 3 5 同时投掷这两枚玩具一次 记n为两个朝下的面上 的数字之和 1 求事件 n不大于 6 的概率 2 n为奇数 的概率和 n为偶数 的概率是不是相等 证明你的结论 19 12 分 为了解课外体育活动在学生中的普及情况 调查部门对某校 6 名学生进行 问卷调查 6 人得分情况如下 5 6 7 8 9 10 把这 6 名学生的得分看成一个总体 1 求该总体的平均数 2 用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名 他们的得分组成一个样本 求该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 20 12 分 下面是某乡镇二手房屋的销售价格y 单位 万元 和房屋的面积x 单位 m2 的数据 房屋面积 m2 11511080135105 销售价格 万元 24 821 618 429 222 1 求回归直线方程 2 据 1 的结果估计当房屋面积为 150 m2时的销售价格 21 13 分 已知函数f x ax a 1 x 2 x 1 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 2 用反证法证明f x 0 没有负实数根 22 13 分 2012 山东济宁一模 某高中社团进行社会实践 对 25 55 岁的人群随机 抽取 1 000 人进行了一次是否开通 微博 的调查 若开通 微博 的为 时尚族 否则 称为 非时尚族 通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示 其中在 40 45 岁 45 50 岁年龄段人数中 时尚族 人数分别占本组人数的 40 30 请完成以下问题 1 求 40 45 岁与 45 50 岁年龄段 时尚族 的人数 2 从 40 45 岁和 45 50 岁年龄段的 时尚族 中 采用分层抽样法抽取 9 人参加 5 网络时尚达人 大赛 其中选取 3 人作为领队 已选取的 3 名领队中年龄在 40 45 岁的 人数为X 求X的分布列和数学期望E X 6 参考答案参考答案 1 A 解析 解析 z i 对应的点位于第一象 i 1 i i 1 i 1 i 1 i i i2 2 1 i 2 1 2 1 2 限 2 A 解析 解析 含x2的项是展开式中的第三项T3 Cx2 21x2 所以x2的系数是 21 2 7 3 D 解析 解析 由程序框图可知 i 0 S 2 i 1 S i 2 S i 3 S 3 i 4 S 2 循环终止 输出 1 3 1 2 S 故最终输出的S值为 2 4 B 解析 解析 设老年职工为x人 则 430 3x 160 x 90 设抽取的样本为m 则 m 32 m 86 则抽取样本中老年职工人数为 86 18 人 160 430 90 430 5 D 解析 解析 a 0 b 0 c 0 6 a 1 b b 1 c c 1 a a 1 a b 1 b c 1 c 当且仅当a b c时 成立 故三者不能都小于 2 即至少有一个不小于 2 6 B 解析 解析 先分成两类 1 从 0 2 中选数字 2 从 1 3 5 中任选两个所组成的无重 复数字的三位数中奇数的个数为 C C A 12 2 3 1 2 2 2 2 从 0 2 中选数字 0 从 1 3 5 中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个 数为 C C 6 2 3 1 2 故满足条件的奇数的总个数为 12 6 18 7 C 解析 解析 设第 1 个小长方形的面积为S 则 4 个小长方形的面积之和为 4S 0 1 由题意知 4S 0 1 1 S 0 1 4 3 2 4 3 2 又 0 1 n 100 10 n 8 A 解析 解析 执行程序框图可知 i 1 sum 0 S 0 i 1 1 2 sum 0 1 1 S 0 i 2 1 3 4 5 1 1 2 1 2 4 5 sum 1 1 2 S i 3 1 4 sum 2 1 3 S 1 2 1 2 3 2 3 4 5 2 3 1 3 4 3 4 i 4 1 5 sum 3 1 4 S 跳出循环 此时i 5 故选 A 4 5 3 4 1 4 5 4 5 9 C 解析 解析 由题图 2知 小波一星期的食品开支为 300 元 其中鸡蛋开支为 30 元 占食品开支的 10 而食品开支占总开支的 30 所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百 分比为 3 故选 C 10 C 解析 解析 观察三角形数 1 3 6 10 记该数列为 an 则a1 1 a2 a1 2 a3 a2 3 an an 1 n a1 a2 an a1 a2 an 1 1 2 3 n an 1 2 3 n 观察正方形数 1 4 9 16 记该数列为 bn n n 1 2 则bn n2 把四个选项的数字 分别代入上述两个通项公式 可知使得n都为正整数的只有 1 225 11 B 解析 解析 由题图可得 21 562 5 m甲 20 x甲 345 16 7 28 562 5 m乙 29 x乙 457 16 所以 m甲 m乙 x甲x乙 故选 B 12 A 解析 解析 由 第n行有n个数且两端的数均为 可知 第 7 行第 1 个数为 由 1 n 1 7 其余每个数是它下一行左右相邻两数的和 可知 第 7 行第 2 个数为 同理易 1 6 1 7 1 42 知 第 7 行第 3 个数为 第 7 行第 4 个数为 1 30 1 42 1 105 1 60 1 105 1 140 13 20 解析 解析 甲获胜有三种情况 第一种共打三局 甲全胜 此时 有一种情形 第二种共打四局 甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜 此时 共有 C 3 种情形 第 2 3 三种共打五局 甲第五局获胜且前四局只有两局获胜 此时 共有 C 6 种情形 所以甲 2 4 赢共有 10 种情况 同理乙赢也有 10 种情形 14 2 9 15 2 解析 解析 因为x i 1 i 1 i 1 i 2 2 所以y 2 4i xi 2 x i 4i 1 2 0 16 解析 解析 构造法 通过类比可得R a2 b2 c2 2 a2 b2 c2 2 证明 作一个在同一个顶点处棱长分别为a b c的长方体 则这个长方体的体对角 线的长度是 故这个长方体的外接球的半径是 这也是所求的三 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 棱锥的外接球的半径 17 解 解 A B 3 3 A a2 3a 1 a2 5a 6 i 3 根据复数相等 得Error 解得a 1 18 解 解 因玩具是均匀的 所以玩具各面朝下的可能性相等 所有出现的可能情况共 16 种 1 1 1 2 1 3 1 5 2 1 2 2 2 3 2 5 3 1 3 2 3 3 3 5 5 1 5 2 5 3 5 5 1 事件 n大于 6 包含 2 5 3 5 5 2 5 3 5 5 共 5 个基本事件 所以P n 6 1 5 16 11 16 2 n为奇数 的概率和 n为偶数 的概率不相等 n为奇数的概率为 P n 3 P n 5 P n 7 2 16 2 16 2 16 3 8 n为偶数的概率为 1 3 8 5 8 所以这两个概率不相等 19 解 解 1 总体平均数为 5 6 7 8 9 10 7 5 1 6 2 设A表示事件 样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本事件有 5 6 5 7 5 8 5 9 5 10 6 7 6 8 6 9 6 10 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 共 15 个基本事件 8 事件A包括的基本事件有 5 9 5 10 6 8 6 9 6 10 7 8 7 9 共 7 个基本事件 所以所求的概率为P A 7 15 20 解 解 1 115 110 80 135 105 x 1 5 109 24 8 21 6 18 4 29 2 22 23 2 y 1 5 设所求回归直线方程为 x y b a 则 0 196 2 b 5 i 1 xi x to x yi x to y 5 i 1 xi x to x 2 308 1 570 23 2 109 1 816 6 a y b x 308 1 570 所求回归直线方程为 0 196 2x 1 816 6 y 2 由 1 可知 当x 150 m2时 销售价格的估计值为 0 196 2 150 1 816 y 6 31 246 6 万元 21 证明 1 任取x1 x2 1 不妨设x1 x2 则x2 x1 0 1 且 0 21 xx a 1 x a 所以 1 0 2 x a 1 x a 1 x a 21 xx a 又因为x1 1 0 x2 1 0 所以 0 x2 2 x2 1 x1 2 x1 1 3 x2