【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第三章 第2节指数扩充及其运算性质(第1课时)目标导学 北师大版必修1

1 2 2 1 1 指数概念的扩充指数概念的扩充 1 了解整数指数幂的概念 2 理解分数指数幂的概念 掌握分数指数形式与根式形式的互化 3 了解无理数指数幂和实数指数幂的概念 1 整数指数幂 an n N N a0 a 0 a n a 0 n N N 做一做 1 1 0等于 A 0 B C 1 D 2 做一做 1 2 4 1 2 2 分数指数幂 1 定义 给定正实数a 对于任意给定的整数m n m n互素 存在 的正实数 b 使得bn 那么b叫作a的 次幂 记作b m n 它就是分数指数幂 分数指数幂不是 个a相乘 实质上是关于b的方程bn am的解 m n a m n 2 写成根式形式 其中a 0 m n N N 且n 1 m n a 1 m n m n a a 3 结论 0 的正分数指数幂等于 0 的负分数指数幂 做一做 2 1 等于 3 2 3 A B C D 2 3 3 3 2727 做一做 2 2 等于 5 a 2 A B C D 2 5 a 5 2 a 2 5 a 5 2 a 3 无理数指数幂 一般地 无理数指数幂a a 0 是无理数 是一个确定的 指数的扩充过程 1 规定了分数指数幂的概念后 指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩 2 充 2 规定了无理数指数幂后 指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂 做一做 3 计算 1 2 3 1 3 27 1 2 64 49 2 1 2 答案 答案 1 1 1 n a 做一做 1 1 C 做一做 1 2 16 2 1 唯一 am 2 3 0 没有意义 m n a n am 1 n am 做一做 2 1 D 做一做 2 2 A 3 实数 做一做 3 1 2 3 1 3 7 8 2 2 1 为什么分数指数幂的定义中规定b为正实数 剖析 剖析 由整数指数幂的规定知 当a 0 时 对任意整数m 总有am 0 若b 0 当 n为正整数时 bn 0 此时bn am 当n为负整数或零时 bn无意义 bn am无意义 若 b 0 当n为奇数时 bn 0 此时bn am 当n为偶数时 虽然bn am成立 但此时 0 b 0 因此规定b 0 m n a 2 为什么分数指数幂的定义中规定整数m n互素 剖析 剖析 如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾 例如 中 底数a R R 1 3 a 当a 0 时 0 而如果把写成 有两种运算 一是 就必须a 0 二 1 3 a 1 3 a 2 6 a 2 6 a 1 2 6 a 是 在a 0 时 的结果大于 0 与 0 相矛盾 所以规定整数m n互 2 6 a 1 2 6 a 2 6 a 1 3 a 素 题型一 用分数指数幂表示正实数 例 1 把下列各式中的b写成分数指数幂的形式 b 0 1 b3 4 2 b 2 5 3 bm 32n m n N N 反思 反思 将bk d中正实数b写成分数指数幂的形式时 主要依据分数指数幂的意义 bn amb a m n N N b 0 m n 题型二 用分数指数幂表示根式 例 2 用分数指数幂表示下列各式 3 1 2 3 4 3 x2 1 3 a 4 a b 3 3 m2 n2 反思 反思 用分数指数幂表示根式时 要紧扣分数指数幂的根式形式 a a 0 m n N N 且n 1 m n n am 题型三 求指数幂a的值 m n 例 3 计算 1 64 2 3 1 2 2 3 8 1 3 125 分析 分析 将分数指数幂化为根式 再求值 反思 反思 分数指数幂不表示相同因式的乘积 而是根式的另一种写法 将分数指数幂写 成根式的形式时 用熟悉的知识去理解新概念是关键 题型四 易错辨析 易错点 忽略n的范围导致化简时出错 n an 例 4 化简 3 1 2 3 4 1 2 4 错解 解 原式 1 1 2 22 错因分析 错因分析 错解中忽略了 1 0 的事实 应当是 1 2 4 1 2 42 答案 答案 例 1 解 解 1 b 2 b 3 b 1 3 4 1 2 5 3 3 n m 例 2 解 解 1 2 3 x2 2 3 x 1 3 a 1 3 1 a 1 3 a 3 4 a b 3 3 4 ab 4 3 m2 n2 1 22 3 mn 例 3 解 解 1 1 2 11 64 864 2 2 323 3 88644 3 1 3 125 1 3 125 1 5 例 4 正解 解 原式 1 1 1 1 2 22222 1 写成根式形式是 1 2 2 A B C D 2 2 2 4 21 2 若b4 3 b 0 则b等于 A 34 B C 43 D 35 1 4 3 4 3 等于 2 3 0 A 0 B 1 C D 没有意义 2 3 4 把下列各式中的正实数x写成根式的形式 1 x2 3 2 x7 53 3 x 2 d9 5 求值 1 100 2 3 1 2 3 2 9 3 4 1 81 答案 答案 1 A 2 B 3 D 4 解 解 1 x 2 x 1 2 33