【优化方案】2012高中数学 模块综合检测 苏教版必修2

用心 爱心 专心1 模模 块块 综综 合合 检检 测测 时间 120 分钟 满分 160 分 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 把答案填在题中横线上 1 给出下列说法 如果一个几何体的三视图是完全相同的 则这个几何体是正方体 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形 则这个几何体是长方体 如果一个几何体的 三视图是矩形 则这个几何体是长方体 如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形 则这个几何体是圆台 其中正确说法的个数是 解析 不正确 因为球也是三视图完全相同的几何体 不正确 因为一个横放在水平位 置的圆柱 其正视图和俯视图都是矩形 易知 正确 不正确 因为一个正四棱台的正视 图和侧视图也都是等腰梯形 答案 1 2 下列结论中 正确的是 填序号 经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直 它必和另一个平行 过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直 如果两个平面互相垂直 经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内 解析 过平面外一点可作一条直线与已知平面垂直 过该直线的任何一个平面都与已知平面 垂直 所以 不对 若 a 则a 或a 不对 当平面外的直线是平 面的垂线时 能作无数个平面与已知平面垂直 否则只能作一个 因而 也不对 答案 3 半径为 6 的圆与x轴相切 且与圆x2 y 3 2 1 内切 则此圆的方程为 解析 设圆心坐标为 a b 由所求圆与x轴相切且与圆x2 y 3 2 1 相内切可知 所 求圆的圆心必在x轴的上方 且b 6 即圆心为 a 6 由两圆内切可得 6 1 5 所以a 4 所以所求圆的方程为 x 4 2 y 6 2 36 或 a2 6 3 2 x 4 2 y 6 2 36 答案 x 4 2 y 6 2 36 或 x 4 2 y 6 2 36 4 如图所示 梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图 斜二测画法 若 A1D1 O y D1C1在O x 上 A1B1 O x 且有 A1D1 1 A1B1 2 C1D1 3 则平面图形ABCD的面积是 解析 把直观图还原为平面图求解 由于A1D1 O y D1C1在O x 上 A1B1 O x 所以原四边形ABCD是 ADC 90 的直角梯形 且 AD 2A1D1 2 AB A1B1 2 CD C1D1 3 所以S梯形ABCD AB CD AD 2 3 1 2 1 2 2 5 答案 5 5 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线AD1与直线A1C1所成的角 是 度 解析 只需求AD1与AC所成的角 再由 AD1C为正三角形即可求 出 答案 60 6 如图 正方体的棱长为 1 C D分别是两条棱的中点 A B M 是顶点 那么点M到截面ABCD的距离是 解析 设点M到截面ABCD的距离为h 由VC ABM VM ABC知 S ABM 1 S ABC h 1 3 1 3 又S ABM S ABC 1 2 1 2 2 1 2 4 2 3 4 用心 爱心 专心2 h 2 3 答案 2 3 7 在直线y 2 上有点P 它到点A 3 1 和B 5 1 的距离之和最小 则P点的坐标 是 解析 点B关于直线y 2 的对称点为B 5 3 AB 的方程 即 y 3 1 3 x 5 3 5 x 2y 1 0 令y 2 得x 3 所以P 3 2 答案 3 2 8 正三棱柱侧面的一条对角线长为 2 且与底面成 45 角 则此三棱柱的体积为 解析 由已知得正三棱柱的底面边长为 侧棱长为 22 V棱柱 1 222 3 22 6 2 答案 6 2 9 已知直线l过直线l1 3x 5y 10 0 和l2 x y 1 0 的交点 且平行于 l3 x 2y 5 0 则直线l的方程是 解析 法一 由直线l过l1与l2的交点 故可设直线l的方程为 3x 5y 10 x y 1 0 即 3 x 5 y 10 0 l l3 11 3 1 5 2 10 5 直线l的方程为 8x 16y 21 0 即 8x 16y 21 0 法二 因为l l3 所以可设l的方程为x 2y m 0 又 Error 得Error 将点代入l的方程得m 5 8 13 8 21 8 故l的方程为x 2y 0 即 8x 16y 21 0 21 8 答案 8x 16y 21 0 10 如图所示 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 点 2 S A B C D都在同一个球面上 则该球的体积为 解析 如图所示 过S作SO1 面ABCD 由已知O1C AC 1 1 2 在 Rt SO1C中 SC 2 SO1 1 SC2 O1C2 O1S O1A O1B O1C O1D 故O1是过S A B C D的球的球心 球半径为r 1 球的体积为 r3 4 3 4 3 答案 4 3 用心 爱心 专心3 11 如果圆锥的轴截面是正三角形 此圆锥也称等边圆锥 则该圆锥的侧面积与表面积的比 是 解析 设圆锥的底面半径为R 根据题意得出圆锥的母线长l 2R 所以圆锥的侧面积为 Rl 2 R2 圆锥的表面积为 Rl R2 3 R2 所以S侧 S表 2 3 答案 2 3 12 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等 A1在底面ABC内的射影为 ABC的 中心O 则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 解析 如图所示 过点B1作平面ABC的垂线 垂足为D 连结AD 则 B1AD就是所求的线面角 由题意知三棱锥A1 ABC为正四面体 设棱 长为a 则AB1 a 3 棱柱的高A1O a 由于A1B1 平面 a2 AO2 a2 2 3 3 2 a 2 6 3 ABC 故B1D A1O a 在 Rt AB1D中 sin B1AD 故AB1与底面ABC所成角的 6 3 B1D AB1 2 3 正弦值为 2 3 答案 2 3 13 将直线 2x y 0 沿x轴向左平移 1 个单位 所得的直线与圆x2 y2 2x 4y 0 相切 则实数 的值为 解析 直线 2x y 0 沿x轴向左平移 1 个单位后的直线方程为 2 x 1 y 0 又 圆心为 1 2 半径r 得 3 或 7 5 2 1 1 2 55 答案 3 或 7 14 已知点N 3 1 点A B分别在直线y x和y 0 上 则 ABN的周长的最小值是 解析 如图所示 点N 3 1 关于直线y x的对称点为P 1 3 点N 关于直线y 0 的对称点为M 3 1 直线PM交直线y x于点A 交直线y 0 于点B 连结AN BN 则此时 ABN的周长最小 为 AB AN BN AB AP BM PM 2 5 答案 2 5 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知直线l1 a 1 x y 0 l2 x y 0 a 1 a2 1 a2 3 a2 1 1 当a为何值时 l1 l2 当a为何值时 l1 l2 2 若l1与l2相交 且交点在第一象限 求a的取值范围 解 1 当 a 1 1 1 0 且 0 时 l1 l2 上式无解 即不存在 a2 3 a2 1 a 1 a2 1 a R 使l1 l2 当 a 1 1 1 0 即a 0 时 l1 l2 2 方程联立得交点坐标为 a 1 a2 1 a2 a 2 a2 1 所以Error 解得 1 a 2 16 本小题满分 14 分 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 用心 爱心 专心4 1 且E是棱DD1的中点 求BE A1E的长 解 如图所示 以A为坐标原点 AB AD AA1所在直线分别为 x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 依题意 得B 1 0 0 E 0 1 A1 0 0 1 所以 1 2 BE 1 0 2 0 1 2 0 1 2 2 3 2 A1E 0 0 2 0 1 2 1 1 2 2 5 2 17 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy中 设二次函数f x x2 2x b x R 的 图象与两坐标轴有三个交点 经过这三个交点的圆记为C 1 求实数b的取值范围 2 求圆C的方程 解 1 令x 0 得抛物线与y轴的交点是 0 b 令f x 0 得x2 2x b 0 由题意b 0 且 0 解得b 1 且b 0 2 设所求圆的一般方程为x2 y2 Dx Ey F 0 令y 0 得x2 Dx F 0 这与x2 2x b 0 是同一个方程 故D 2 F b 令x 0 得y2 Ey b 0 此方程有一个根为b 代入得E b 1 所以圆C的方程为x2 y2 2x b 1 y b 0 18 本小题满分 16 分 一个多面体的直观图及三视图如图所示 其中M N分别是AF BC 的中点 1 求证 MN 平面CDEF 2 求多面体A CDEF的体积 解 1 证明 由三视图可知 该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE BCF 且 AB BC BF 2 DE CF 2 2 CBF 90 如图 取BF中点G 连结MG NG 由M N分别为AF BC中点可得 NG CF MG EF 平面MNG 平面CDEF MN 平面CDEF 2 法一 作AH DE于H 由于三棱柱ADE BCF为直三棱柱 AH 平面DCFE 且AH 2 VA CDEF S矩形CDEF AH 2 2 1 3 1 322 8 3 即多面体的体积为 8 3 用心 爱心 专心5 法二 ADE BCF是三棱柱 VA DEFC VADE BCF S ADE AB 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 8 3 19 本小题满分 16 分 已知A 4 1 B 0 4 两点 在直线l 3x y 1 0 上找一点M 使 得 MA MB 的值最大 并求此时点M的坐标及最大值 解 设B 0 4 关于直线l 3x y 1 0 的对称点为B x0 y0 则Error 解得Error 所以B 3 3 设M 为直线l 3x y 1 0 上任意一点 则 M A M B M A M B AB 当且 仅当M B A三点共线时 上式等号成立 此时M 即为所求点M 过点A 4 1 B 3 3 的直线方程为 即 2x y 9 0 解方程组Error 得Error y 1 3 1 x 4 3 4 所以直线AB 与直线l的交点为M 2 5 所以当M点的坐标为 2 5 时 MA MB 取得最大值为AB 5 20 本小题满分 16 分 2010 年高考江苏卷 如图 在四棱锥P ABCD中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 1 求证 PC BC 2 求点A到平面PBC的距离 解 1 证明 因为PD 平面ABCD BC 平面ABCD 所以PD BC 因为 BCD 90 所以BC CD 又PD CD D 所以BC 平面PCD 而PC 平面PCD 所以PC BC 2 如图