必修1教案3.2.2几类不同增长的函数模型

3 2 2 几类不同增长的函数模型 一 教学目标 1 知识与技能 利用函数增长的快慢一般规律 借助函数模型 研究解决实际问题 培养数学的应用 意识 2 进程与方法 在实例分析 解决的过程中 体会函数增长快慢的实际意义 从而提高学生应用数学 解决实际问题的能力 3 情感 态度与价值观 在实际问题求解的过程中 享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣 激发学生学习 数学知识的兴趣 二 教学重点与难点 重点 应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 难点 函数建模及应用函数探求问题的能力培养 三 教学方法 尝试指导与合作交流相结合 学生自主学习和老师引导相结合 解决实际问题范例 培 养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策 四 教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 回顾复习 引入深题 增函数的增长快慢比较方法 利用列表与图象 借助二分法 求根 探究快慢相应区间获得 一般结论 师 幂函数 指数函数 对数函 数的增长快慢一般性规律 生 回顾总结 口述回答 以旧引新 导入课题 实例分析 例 1 假设你有一笔资金用于投 资 现有三种投资方案供你选 择 这三种方案的回报如下 方案一 每天回报 40 元 方案二 第一天回报 10 元 以 后每天比前一天多回报 10 元 方案三 第一天回报 0 4 元 以后每天回报比前一天翻一番 请问 你会选择哪种投资方案 师生合作探究解答过程 例 1 解答 设第 x 天所得 回报是 y 元 则方案一可以用函 数 y 40 x N 进行描述 方案 二可以用函数 y 10 x x N 进 行描述 方案三可以用函数 y 0 4 2x 1 x N 进行描述 三种方案所得回报的增长情况 方案一 x 天 y 元增加量 元 140 2400 3400 4400 5400 6400 7400 8400 9400 将实 际问题转 化为数学 问题 利 用图象 表格及恰 当的推理 应用不同 函数的增 长快慢解 决实际应 用问题 例 2 某公司为了实现 1000 万 元利润的目标 准备制定一个 激励销售人员的奖励方案 在 销售利润达到 10 万元时 按销 售利润进行奖励 且奖金 y 单 位 万元 随销售利润 x 单位 万元 的增加而增加 但奖金总 10400 30400 方案二 x 天 y 元增加量 元 110 22010 33010 44010 55010 66010 77010 88010 99010 1010010 3030010 方案三 x 天 y 元增加量 元 10 4 20 80 4 31 60 8 43 21 6 56 43 2 612 86 4 725 612 8 851 225 6 9102 451 2 10204 8102 4 30214748364 8107374182 4 再作三个函数的图象 在第 1 3 天 方案一最多 在第 4 天 方案一和方案二一样多 方案三最少 在第 5 8 天 方案 二最多 第 9 天开始 方案三比 其他两个方案所得回报多得多 到第 30 天 所得回报已超过 2 亿元 数不超过 5 万元 同时奖金不 超过利润的 25 现有三个奖励 模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪个模型 能符合公司的要求 例 2 解答 作出函数 y 5 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x的图象 观察图象发现 在区间 10 1000 上 模型 y 0 25x y 1 002x的图象都有一 部分在直线 y 5 的上方 只有模 型 y log7x 1 的图象始终在 y 5 的下方 这说明只有按模型 y log7x 1 进行奖励时才符合公 司的要求 首先计算哪个模型的奖金总数不 超过 5 万 对于模型 y 0 25x 它在区间 10 1000 上递增 而且当 x 20 时 y 5 因此 当 x 20 时 y 5 所以该模型不符合要求 对于模型 y log7x 1 它在区间 10 1000 上递增 而且当 x 1000 时 y log71000 1 4 55 5 所以它 符合奖金总数不超过 5 万元的要 求 再计算按模型 y log7x 1 奖励时 奖金是否不超过利润的 25 即 当 x 10 1000 时 是否有 7 log1 0 25 xy xx 成立 令 f x log7x 1 0 25x x 10 1000 巩固练习 1 四个变量 y1 y2 y3 y4随 变量 x 变化的数据如下表 x051015 y151305051130 y2594 4781785 2 33733 y35305580 y452 31071 4295 1 1407 x202530 1 解 y2 2 解 设第 1 轮病毒发作时有 a1 10 台被感染 第 2 轮 第 3 轮 依次有 a2台 a3台 被 感染 依题意有 a5 10 204 160 答 在第 5 轮病毒发作时会有 160 万台被感染 动手尝试 提升解题 能力 y1200531304505 y26 37 10 5 1 2 1 07 2 28 10 8 y3105130155 y41 0461 1 01511 005 关于 x 呈指数型函数变化的变 量是 2 某种计算机病毒是通过电子 邮件进行传播的 如果某台计 算机感染上这种病毒 那么它 就会在下一轮病毒发作时传播 一次病毒 并感染其他 20 台未 感染病毒的计算机 现有 10 台 计算机被第 1 轮病毒感染 问 被第 5 轮病毒感染的计算机有 多少台 归纳总结 2 中学数学建模的主要步骤 1 理解问题 阅读理解 读 懂文字叙述 认真审题 理解 实际背景 弄清楚问题的实际背 景和意义 设法用数学语言来 描述问题 2 简化假设 理解所给的实 际问题之后 领悟背景中反映 的实质 需要对问题作必要的 简化 有时要给出一些恰当的 假设 精选问题中关键或主要 的变量 3 数学建模 把握新信息 勇于探索 善于联想 灵活化 归 根据题意建立变量或参数 间的数学关系 实现实际问题 数学化 引进数学符号 构建 数学模型 常用的数学模型有 方程 不等式 函数 4 求解模型 以所学的数学 性质为工具对建立的数学模型 进行求解 5 检验模型 将所求的结果 代回模型之中检验 对模拟的 结果与实际情形比较 以确定 模型的有效性 如果不满意 要考虑重新建模 6 评价与应用 如果模型与 师生合作 反思 归纳 总结 完善 生 通过独立思考和必要的交流 分析归纳例 1 例 2 的解题过程 简述建模的主要步骤 师 点评 总理学生的回答 然 后完善归纳步骤 师生合作 结合上一课时总结函 数增长快慢在实际应用问题中的 应用体会 培养整理 知识的学 习品质 通过知识 整合培养 数学应用 能力 实际情形比较吻合 要对计算 的结果作出解释并给出其实际 意义 最后对所建立的模型给 出运用范围 如果模型与实际问 题有较大出入 则要对模型改 进并重复上述步骤 课后练习3 2 第二课时 习案学生独立完成 强化基础 提高能力 备选例题 例 1 有一批影碟机 VCD 原销售价为每台 800 元 在甲 乙两家电商场均有销售 甲商场用如下的方法促销 买一台单价为 780 元 买二台单价为 760 元 依次类推 每多 买一台单价均减少 20 元 但每台最低不低于 440 元 乙商场一律按原价的 75 销售 某 单位需购买一批此类影碟机 问去哪家商场购买花费最小 解析 设单位购买 x 台影碟机 在甲商场购买 每台的单价为 800 20 x 则总费用 2 80020 118 440 18 xxx y xx 在乙商场购买 费用 y 600 x 1 当 0 x 10 时 800 x 20 x2 600 x 购买影碟机低于 10 台 在乙商场购买 2 当 x 10 时 800 x 20 x2 600 x 购买 10 台影碟机 在甲商场或在乙商场费用一样 3 当 10 x 18 时 800 x 20 x2 600 x 购买影碟机多于 10 台且不多于 18 台 在甲商场购买 4 当 x 18 时 600 x 440 x 购买影碟机多于 18 台 在甲商场购买 答 若购买小于 10 台 去乙商场购买 若购买 10 台 在甲商场或在乙商场费用一样 多 若购买多于 10 台 在甲商场购买 评析 实际应用问题求解 理解题意建立模型是关键 建好模型后实际问题使自然 转化为数学问题 例 2 某皮鞋厂今年 1 月份开始投产 并且前 4 个月的产量分别为 1 万双 1 2 万双 1 3 万双 1 37 万双 由于产品质量好 款式新颖 前几个月的销售情况良好 为了推销员在 推销产品时 接受定单不至于过多或过少 需要估计以后几个月的产量 厂里分析 产量 的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程 厂里也暂时不准备增加设备和工人 假如你 是厂长 就月份 x 产量为 y 给出四种函数模型 y ax b y ax2 bx c y a 2 1 x b y abx c 你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量 解析 本题是通过数据验证 确定系数 然后分析确定函数变化情况 最终找出与 实际最接近的函数模型 由题意知 A 1 1 B 2 1 2 C 3 1 3 D 4 1 37 1 设模拟函数为 y ax b 将 B C 两点的坐标代入函数式 有 2 12 3 13 ba ba 解得 1 1 0 b a 所以得 y 0 1x 1 因此此法的结论是 在不增加工人和设备的条件下 产量会月月上升 1000 双 这是不 太可能的 2 设 y ax2 bx c 将 A B C 三点代入 有 3 139 2 124 1 cba cba cba 解得 7 0 35 0 05 0 c b a 所以 y 0 05x2 0 35x 0 7 因此由此法计算 4 月份产量为 1 3 万双 比实际产量少 700 双 而且 由二次函数性 质可知 产量自 4 月份开始将月月下降 图象开口向下 对称轴 x 3 5 不合实际 3 设 y xa b 将 A B 两点的坐标代入 有 2 12 1 bb ba 解得 52 0 48 0 b a 所以 y 52 0 8 4 x 因此把 x 3 和 4 代入 分别得到 y 1 35 和 1 48 与实际产量差距较大 4 设 y abx c 将 A B C 三点的坐标代入 得 3 1 2 1 1 3 2 cab cab cab 解得 4 1 5 0 8 0 c b a 所以 y 0 8 0 5 x 1 4 因此把 x 4 代入得 y 0 8 0 54 1 4 1 35 比较上述四个模拟函数的优劣 既要考虑 到误差最小 又要考虑生产的实际 比如增产的趋势和可能性 经过筛选 以指数函数模 拟为最佳 一是误差小 二是由于新建厂 开始随工人技术 管理效