122单位圆与三角函数线.doc

1.2.2 单位圆与三角函数线一、学习目标(一)知识目标1.单位圆的概念.2.有向线段的概念.3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.(二)能力目标1.理解并掌握单位圆、有向线段的概念.2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(三)德育目标通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.二、教学重点、难点重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值三、教学方法（一）讲授法讲清楚单位圆的概念，有向线段的概念，本节内容中的有向线段与坐标轴是平行的，使学生弄清楚线段的正负与坐标轴正反方向之间的对应，以及线段的数量与三角函数值之间的对应.对于理解正弦线、余弦线、正切线是突破难点的关键所在.（二）教具准备幻灯片1张：多媒体课件：课本P19图113，在平面直角坐标系中，作出单位圆，角的终边，标出单位圆与角的终边的交点P(x，），过P向x轴作垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线与角的终边或终边的反向延长线交于点T(利用现代教育技术手段的优势，边讲述边作图，使学生看得清楚，听得明白).四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题导入前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0到360角的三角函数的一组公式，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法可以通过提问与学生自查相结合的形式，对所学知识加以回顾，进而加深对已有知识的巩固和提高，为下一步的学习做好知识储备。三角函数线的位置与角所在的象限有很大关系，因此在讲解新课之前做好知识的准备是十分必要的。新概念教学我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系。设P 点为转轮边缘上的一点，它表示座椅的位置，记，则由正弦函数的定义可知，为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长如1 cm、1 dm、1 m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).（使用多媒体课件，教师边叙述边作图).在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角的终边或其反向延长线交于点T.显然，线段OM的长度为x，线段MP的长度为，它们都只能取非负值.当角的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：如果x0，OM与x轴同向(利用多媒体课件的优势，将图、图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴同向)，规定此时OM具有正值x；如果x0，OM与x轴正向相反(即反向)，(将课件上图、图中的OM从O到M运动，让学生看清楚后再“定格”，运动的方向说明与x轴反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OMx.如果0，把MP看作与轴同向，规定此时MP具有正值；如果0，把MP看作与轴反向，规定此时MP具有负值，所以不论哪一种情况，都有MP(与前面所述相同，谈到MP与轴同向或反向时，仍作从M到P的演示，让学生观察)，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角的正弦线、余弦线.类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角的正切线.注意：(1)当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.(2)当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同. 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.充分发挥多媒体教学的优势，既有教师的动画演示，又有教师与学生之间的互动，尽可能多的调动学生的积极性，多动手，多思考，多探索，多尝试。1、用现实中的例子引入本节内容，学生不仅可以看到三角函数还可以用一条（有向）线段表示，而且可以感受到数学知识在现实生活中的巨大作用，从而激发他们学习数学的浓厚兴趣。2、单位圆是三角函数线建立的基石，离开单位圆就谈不上三角函数线，因此单位圆概念的建立是前提。单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。3、单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的，要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段，用轴上向量的数量表示三角函数值，其长度表示三角函数的绝对值，其方向表示三角函数的正负号。4、结合图形，引导学生弄清以下几点：（1）三角函数线的位置；（2）三角函数线的方向；（3）三角函数线的正负；例题讲解例题：分别作出和的正弦线、余弦线和正切线。因此在教学时仍以教师画图演示、讲解为主，同时更多的请学生参与作图，加深印象。此例题主要目的还是进一步巩固学生对于三角函数线的理解，课堂练习分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线：（1）（2）（3）（4）在前面详细讲解的基础上，此题主要是学生完成，鼓励学生独立完成，对于个别有困难的学生，可以小组为单位共同完成。加深理解三角函数线的有关知识。课时小结本节课我们学习了单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.以提纲形式对本节重点内容再总结。学习单位圆的目的在于利用它解