高中数学《函数模型及其应用》学案9 苏教版必修1

用心 爱心 专心1 函数模型及其应用函数模型及其应用 学习导航学习导航 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1 了解解实际应用题的一般步骤 2 初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法 3 渗透建模思想 初步具有建模的能力 自学评价自学评价 1 数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括 再从数学角度来反映或近似地反 映实际问题 得出关于实际问题的数学描述 2 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程 是数学地解决问题的关键 3 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 精典范例精典范例 例例 1 1 写出等腰三角形顶角 单位 度 与底角的函数关系 yx 解解 1802yx 090 x 点评点评 函数的定义域是函数关系的重要组成部分 实际问题中的函数的定义域 不仅要使 函数表达式有意义 而且要使实际问题有意义 例例 2 2 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元 生产每台计算机的可200 变成本为元 每台计算机的售价为元 分别写出总成本 万元 单位成本30005000C 万元 销售收入 万元 以及利润 万元 关于总产量 台 的函数关系式 PRLx 分析 分析 销售利润销售收入成本 其中成本 固定成本可变 L x R x C x C x 成本 解解 总成本与总产量的关系为 2000 3 Cx xN 单位成本与总产量的关系为 建立数学模型 得出数学结果 解决实际问题 实际问题 听课随笔 用心 爱心 专心2 200 0 3 PxN x 销售收入与总产量的关系为 0 5 Rx xN 利润与总产量的关系为 0 2200 LRCxxN 例例 3 3 大气温度随着离开地面的高度增大而降低 到上空为止 大约每 y C x km11km 上升 气温降低 而在更高的上空气温却几乎没变 设地面温度为 1km6 C 22 C 求 1 与的函数关系式 yx 2 以及处的气温 3 5xkm 12xkm 解解 1 由题意 当时 011x 226yx 当时 11x 226 1144y 从而当时 11x 44y 综上 所求函数关系为 226 0 11 44 11 x x y x 2 由 1 知 处的气温为3 5xkm 226 3 51y C 处的气温为 12xkm 44 C 点评点评 由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同 因此本例第 1 小题得到的是关于自变 量的分段函数 第 2 小题是已知自变量的值 求函数值的问题 追踪训练一追踪训练一 1 生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本 可表示为商品数量的函数 现知道一 企业生产某种产品的数量为件时的成本函数是 元 若每售x 2 1 200 10 2 C xxx 出一件这种商品的收入是元 那么生产并销售这种商品的数量是件时 该企业所200200 得的利润可达到 17800元 2 某医药研究所开发一种新药 如果成年人按规定的剂量服用 据监测 服药后每毫升血 液中的含药量 微克 与时间 小时 之间近似满足如图所示的曲线 为线段 ytOA 为某二次函数图象的一部分 为原点 ABO 用心 爱心 专心3 1 写出服药后与 之间的函数关系式 yt yf x 2 据进一步测定 每毫升血液中含药量不少于微克时 对治疗有效 求服药一次治 4 9 疗疾病有效的时间 解 1 由已知得 2 401 1 5 15 4 tt y tt 2 当时 得 01t 4 4 9 t 1 1 9 t 当时 15t 2 14 5 49 t 得 1911 33 tt 或 11 1 3 t 111 93 t 11132 399 因此服药一次治疗疾病有效的时间约为小时 3 5 选修延伸选修延伸 一 函数与图象一 函数与图象 高考热点高考热点1 2002 年高考上海文 理 16 一般地 家庭用电量 千瓦时 与气温 有一定的关系 如图所示 图 1 表示某年个月中每月的平均气温 图 2 表12 示某家庭在这年个月中每个月的用电量 根据这些信息 以下关于该家庭用电量与其气12 温间关系的叙述中 正确的是 用心 爱心 专心4 A 气温最高时 用电量最多 B 气温最低时 用电量最少 C 当气温大于某一值时 用电量随气温增高而增加 D 当气温小于某一值时 用电量随气温渐低而增加 答案 C 分析 该题考查对图表的识别和理解能力 解解 经比较可发现 月份用电量最多 而月份气温明显不是最高 因此项错误 同理22A 可判断出项错误 由 三个月的气温和用电量可得出项正确 B567C 思维点拔 思维点拔 数学应用题的一般求解程序数学应用题的一般求解程序 1 审题 弄清题目意 分清条件和结论 理顺数量关系 2 建模 将题目条件的文字语言转化成数学语言 用数学知识建立相应的数学模型 3 解模 求解数学模型 得到数学结论 4 结论 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义 并根据题意下结论 追踪训练二追踪训练二 1 有一块半径为的半圆形钢板 计划剪裁成等腰梯形的形状 它的下底是RABCDAB O 的直径 上底的端点在圆周上 写出这个梯形周长和腰长间的函数关系式 CDyx 并求出它的定义域 分析 关键是用半径与腰长表示上底 由对称性 故只要求Rx2CDABAE 出 AE 解 设腰长 作垂足为 连结 则 ADBCx DEAB EBD90ADB Rt ADE Rt ABD 2 ADAEAB 2 2 x AE R 2 22 x CDABAER R 周长 听课随笔 用心 爱心 专心5 2 2 22 2 24 x yRxR R x xR R 是圆内接梯形 ABCD 0 0 0ADAECD 即 解得 2 2 0