初中数学竞赛——余数定理和综合除法.doc

7初一数学联赛班年级第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一除法定理：和是两个一元多项式，且，则恰好有两个多项式及，使，其中，或者比次数小。这里称为被除式，称为除式，称为商式，称为余式.二余数定理：对于一元次多项式，用一元多项式去除，那么余式是一个数。设这时商为多项式，则有也就是说，去除时，所得的余数是.三试根法的依据（因式定理）：如果，那么是的一个因式.反过来，如果是的一个因式，那么。四试根法的应用：假定是整系数多项式，又设有理数是的根（是互质的两个整数），则是常数项的因数，是首项系数的因数.特别的，如果，即是首1多项式，这个时候，有理根都是整数根。典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知，试求除以所得的商式和余式.【例2】 已知，试求除以所得的商式和余式.【例3】 已知,，试求除以所得的商式和余式.二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：.【例5】 用综合除法求除以所得的商式和余数.（1），；（2），.【例6】 用综合除法计算：.【例7】 先用综合除法求出除以所得的商式和余式，不再作除法，写出除以的商式和余式.，.（1）；（2）.三. 余数定理和多项式理论【例8】 ，求余数的值.【例9】 除以的余数是多少？【例10】 （1）求除所得的余数；（2）求除所得的余数.【例11】 多项式可以被和整除，求，.【例12】 试确定、的值，使多项式被整除.【例13】 已知能被整除，求的值.【例14】 证明：当，是不相等的常数时，若关于的整式能被，整除，则也能被积整除.【例15】 多项式除以、所得的余数分别为3和5，求除以所得的余式.【例16】 已知关于若的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是.求这个三次多项式.【例17】 已知关于的三次多项式除以时，余式是；除以时，余式是，求这个三项式.【例18】 已知除以整数系数多项式所得的商式及余式均为，试求和，其中不是常数.【例19】 已知除以，其余数比除所得的余数少，求的值.【例20】 若多项式能被整除，求，的值.【例21】 如果当取，时，多项式分别取值，试确定一个二次多项式.四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：.【例23】 分解因式：.【例24】 分解因式：.【例25】 分解因式：.【例26】 分解因式：【例27】 分解因式：【例28】 分解因式：【例29】 分解因式：【例30】 分解因式：【例31】 分解因式：思维飞跃【例32】 若，求的值.【例33】 若（）既是多项式的因子，又是多项式的因子，求.【例34】 求证：若，则多项式除以所得的余式是.【例35】 除以，多得的余数分别为，求除以多得的余式.【例36】 求证：能被整除.作业1. 分解因式：（1）.（2）.（3）.2. 若除以所得的余数为7，除以所得的余数为5，试求的值.3. 多项式除以、和所得的余数分别为1、2、3，试求除以所得的余式.4. 若能被整除，求与的值.5. 分解因式：.6. 分解因式：.7. 分解因式：.8. 分解因式：.9. 分解因式：.10. 分解因式：.11. 分解因式：.12. 分解因式：.13. 已知多项式能被整除，求的值.14. 求证：，都是的因式，并分解因式.15. 一个