常见递推数列通项的求法

递推数列通项公式 李晓燕 第 1 页 共 13 页 常见递推数列通项的求法常见递推数列通项的求法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题 往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列 从而使问题简单明了 这类问题是高考数列命题的热点题型 下面介绍常见递推数列求通项的基本求法 类型类型 1 型型 ngaa nn 1 解题思路 利用累差迭加法 将 各式相 1 1 ngaa nn 1n a 2 n a 2 ng 2 a 1 a 1 g 加 正负抵消 即得 n a 例 1 在数列 中 求通项公式 n a3 1 a 1 1 1 nn aa nnn a 解 原递推式可化为 1 11 1 nn aa nn 则 2 1 1 1 12 aa 3 1 2 1 23 aa 4 1 3 1 34 aa nn aa nn 1 1 1 1 逐项相加得 故 n aan 1 1 1 n an 1 4 例 2 在数列中 且 求通项 n a0 1 a12 1 naa nnn a 解 依题意得 把以上各式相加 得0 1 a 32112 3 1 12312 nnaaaaaa nn 2 1 2 3211 3231 n nn nan 评注 由递推关系得 若是一常数 即第一种类型 直接可得是一等差数列 若非常数 ng nn aa 1 而是关于的一个解析式 可以肯定数列不是等差数列 将递推式中的分别用代入得n n an2 3 4 2 1 nn 个等式相加 目的是为了能使左边相互抵消得 而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和 1 n n a 例 3 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 3a132aa 1 n n1n a n 解 由132aa n n1n 得132aa n n1n 则 112232n1n1nnn a aa aa aa aa a 3 1n 3333 2 3 132 132 132 132 122n1n 122n1n 所以1n32n 31 33 2a n n n 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而求出132aa n n1n 132aa n n1n 即得数列的通项公式 112232n1n1nn a aa aa aa aa a n 练习 递推数列通项公式 李晓燕 第 2 页 共 13 页 1 已知 n a 满足 1 1 a 1 1 1 nn aa nn 求 n a 的通项公式 2 已知 n a 的首项 1 1 a naa nn 2 1 Nn 求通项公式 3 已知 n a 中 3 1 a n nn aa2 1 求 n a 类型类型 2 型型 nn anfa 1 解题思路 利用累乘法 将各式相乘得 1 2 1 1 2 2 1 1 f a a nf a a nf a a n n n n 即得 121 1 2 2 1 1 fnfnf a a a a a a n n n n n a 例 4 在数列中 求通项 n a1 1 a 1 1 n n a a n n n a 解 由条件等式得 1 1 n n a a n n nn n n n a a a a a a n n n n 1 2 1 1 21 1 2 2 1 1 得 n an 1 评注 此题亦可构造特殊的数列 由得 则数列是以为首项 以 1 1 1 n n a a n n 1 1 1 n n na an n na 1 a 为公比的等比数列 得 111 1 1 n n qana n an 1 例 5 设数列 是首项为 1 的正项数列 且 n 1 2 3 则它的通项公式 n a0 1 1 22 1 nnnn aanaan 是 2000 年高考 15 题 n a 解 原递推式可化为 0 1 11nnnn aanaan 0 nn aa 1 1 1 n n a a n n 则 4 3 3 2 2 1 3 4 2 3 1 2 a a a a a a n n a a n n 1 1 逐项相乘得 即 na an1 1 n a n 1 练习 1 已知 3 1 1 a 1 12 12 nn a n n a 2 n 求数列 n a 的通项 2 已知 n a 中 nn a n n a 2 1 且 2 1 a 求数列通项公式 递推数列通项公式 李晓燕 第 3 页 共 13 页 类型类型 3 3 型型 1 0 1 ccdcaa nn 解题思路 利用待定系数法 将化为的形式 从而构造新数列dcaa nn 1 xacxa nn 1 是以为首项 以为公比的等比数列 xan xa 1 c 例 6 数列满足 求 n a212 11 aaa nn n a 解 设 即对照原递推式 便有axax nn 1 2 2 1 xaa nn x 1 故由得 即 得新数列是以为首项 12 1 nn aa 1 21 1 nn aa2 1 1 1 n n a a 1 n a1121 1 a 以 2 为公比的等比数列 即通项 1 21 n n a12 1 n n a 评注 本题求解的关键是把递推式中的常数 作适当的分离 配凑成等比数列的结构 从而构造出1 一个新的等比数列 练习 1 已知 n a 满足 3 1 a 12 1 nn aa 求通项公式 2 已知 n a 中 1 1 a 23 1 nn aa 2 n 求 n a 分析 构造辅助数列 则 1 31 1 nn aa13 n n a 同类变式同类变式 1 已知数列满足 且 求通项 na 12 2 1 naa nn 2 1 a n a 分析 待定系数 构造数列使其为等比数列 bknan 即 解得 2 1 1 bknabnka nn 1 2 bk 求得1225 1 na n n 2 已知 1 1 a 2 n 时 12 2 1 1 naa nn 求 n a 的通项公式 解 解 设 1 2 1 1 BnAaBAna nn BAAnaa nn 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 BA A 解得 6 4 B A 364 1 a 递推数列通项公式 李晓燕 第 4 页 共 13 页 64 nan 是以 3 为首项 2 1 为公比的等比数列 1 2 1 364 n n na 64 2 3 1 na n n 3 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 3a132a3a 1 n n1n a n 解 两边除以 得132a3a n n1n 1n 3 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a 则 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a 故 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a a a a a 3 a 3 a 1 1 1 2 2 3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n n n 3 3 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 22n1nn 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1n 2 22n1nnn 因此 n 1n n n n 32 1 2 1 3 n2 1 31 31 3 1 3 1n 2 3 a 则 2 1 3 2 1 3n 3 2 a nn n 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 进而求出132a3a n n1n 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a 即得数列的通项公式 最后再求数列 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n 3 a 3 a 3 a 1 1 1 2 2 3 a n n 的通项公式 a n 类型类型 4 型型 ngaca nn 1 例 7 已知数列的前项和满足 n an n SnaS nn 22 1 写出数列的前 3 项 321 aaa 2 求数列的通项公式 n a 解 1 由 得 22 111 aSa2 1 a 由 得 42 2221 aSaa6 2 a 递推数列通项公式 李晓燕 第 5 页 共 13 页 由 得 321 aaa 62 33 aS14 3 a 2 当时 有 即 2 n 22 11 nnnnn aaSSa22 1 nn aa 令 则 与 比较得 1 2 nn aa 1 2 nn aa2 是以为首项 以 2 为公比的等比数列 2 n a42 1 a 故 11 22 4 2 nn n a22 1 n n a 引申题目 引申题目 1 已知 n a 中 1 1 a n nn aa22 1 2 n 求 n a 2 在数列 中 求通项公式 n a 342 1 1 11 n nn aaa n a 解 原递推式可化为 3 23 1 1 n n n n aa 比较系数得 4 式即是 34 234 1 1 n n n n aa 则数列是一个等比数列 其首项 公比是 2 34 1 n n a534 11 1 a 11 2534 nn n a 即 11 2534 nn n a 3 已知数列满足 求数列的通项公式 a n n n1n 23a2a 2a1 a n 解 两边除以 得 则 n n1n 23a2a 1n 2 2 3 2 a 2 a n n 1n 1n 2 3 2 a 2 a n n 1n 1n 故数列是以为首 以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 2 a n n 1 2 2 2 a 1 1 2 3 2 3 1n 1 2 a n n 所以数列的通项公式为 a n n n 2 2 1 n 2 3 a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 说明数列是等差数列 n n1n 23a2a 2 3 2 a 2 a n n 1n 1n 2 a n n 再直接利用等差数列的通项公式求出 进而求出数列的通项公式 2 3 1n 1 2 a n n a n 4 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1 1 1 1 32 3 n nn a aan A 5 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1 1 1 3 2 3 n nn a aan A 递推数列通项公式 李晓燕 第 6 页 共 13 页 6 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 6a53a2a 1 n n1n a n 解 设 5xa 25xa n n 1n 1n 将代入 式 得 等式两边消去 得 n n1n 53a2a n n 1nn n 5x2a25x53a2 n a2 两边除以 得 则 x 1 代入 式 n1nn 5x25x53 n 5x25x3 得 5a 25a n n 1n 1n 由 0 及 式 得 则 则数列是以为首1565a 1 1 05a n n 2 5a 5a n n 1n 1n 5a n n 15a 1 1 项 以 2 为公比的等比数列 则 故 1nn n 215a n1n n 52a 评注 本题解题的关键是把递推关系式转化为 从而可知数列 n n1n 53a2a 5a 25a n n 1n 1n 是等比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列的通项公式 5a n n 5a n n a n 类型类型 5 取倒数 取倒数 例 8 已知数列 中 其中 且当 n 2 时 求通项公式 n a 1 1 a 12 1 1 n n n a a a n a 解 将两边取倒数得 这说明是一个等差数列 首项是 12 1 1 n n n a a a2 11 1 nn aa 1 n a 1 1 1 a 公差为 2 所以 即 122 1 1 1 nn an12 1 n an 例 9 数列中 且 求数列的通项公式 na 3 1 1 a 12 2 1 n n n a a a na 提示 1 1 2 11 1 nn aa 例 10 求1 12 11 a a a a n n n nn a 解 即 n nn aa 2 11 1 n nn bb2 1 则 12 1 12221 21 212 1 1 n n nn n n abb 递推数列通项公式 李晓燕 第 7 页 共 13 页 例 11 数列 n a 中 n n n n n a a a 1 1 1 2 2 2 1 a 求 n a 的通项 解 解 n n n n n a a a 1 1 1 2 21 1 1 2 111 n nn aa 设 n n a b 1 1 1 2 1 n nn bb n nn bb 2 1 1 n nn bb 2 1 1 1 21 2 1 n nn bb 2 32 2 1 n nn bb 3 23 2 1 bb 2 12 2 1 bb n n bb 2 1 2 1 2 1 32 1 n n 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n n b 2 12 2 1 2 1 2 1 12 2 n n n a 练习 1 在数列中 求 n a 3 1 11 n n n a a aa n a 类型类型 6 6 取对数法 取对数法 例 12 若数列 中 3 且 n 是正整数 则它的通项公式是 2002 年上海高考题 n a 1 a 2 1nn aa n a 解 由题意知 0 将两边取对数得 即 所以数列是以 n a 2 1nn aa nn aalg2lg 1 2 lg lg 1 n n a a lg n a 为首项 公比为 2 的等比数列 即 1 lga3lg 1 21 1 3lg2lglg n n n aa 1 2 3 n n a 例 13 已知数列满足 求数列的通项公式 a n 5 n n 1n a32a 7a1 a n 递推数列通项公式 李晓燕 第 8 页 共 13 页 解 因为 所以 在式两边取常用对数得7aa32a 1 5 n n 1n 0a0a 1nn 5 n n 1n a32a 2lg3lgnalg5alg n1n 设 yxna lg5y 1n xalg n1n 11 将 式代入式 得 两边消去并整理 得 11 yxna lg5y 1n x2lg3lgnalg5 nn n alg5 则y5xn52lgyxn x3 lg 故 y52lgyx x5x3lg 4 2lg 16 3lg y 4 3lg x 代入式 得 11 4 2lg 16 3lg 1n 4 3lg alg 1n 4 2lg 16 3lg n 4 3lg a lg5 n 12 由及式 0 4 2lg 16 3lg 1 4 3lg 7lg 4 2lg 16 3lg 1 4 3lg alg 1 12 得 0 4 2lg 16 3lg n 4 3lg alg n 则 5 4 2lg 16 3lg n 4 3lg alg 4 2lg 16 3lg 1n 4 3lg alg n 1n 所以数列是以为首项 以 5 为公比的等比数列 则 4 2lg 16 3lg n 4 3lg a lg n 4 2lg 16 3lg 4 3lg 7lg 因此 1n n 5 4 2lg 16 3lg 4 3lg 7 lg 4 2lg 16 3lg n 4 3lg alg 4 2lg 6 3lg n 4 3lg 5 4 2lg 16 3lg 4 3lg 7 lgalg 1n n 1n 4 1 6 1 4 1 5 2lg3lg3lg7 lg 233lg 5 2337 lg 2lg3lg3lg 4 1 16 1 4 n 1n 4 1 16 1 4 1 4 1 16 1 4 n 1n 4 1 16 1 4 1 5 2337lg 则 237lg 2337lg 233lg 4 15 16 1n4n5 1n5 4 15 16 15 4 n5 1n5 4 1 16 1 4 n 1n1n1n1n 4 15 16 1n4n5 5 n 1n 1n 237a 评注 本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为 5 n n 1n a32a 从而可知数列是等 4 2lg 16 3lg n 4 3lg a lg5 4 2lg 16 3lg 1n 4 3lg alg n1n 4 2lg 16 3lg n 4 3lg a lg n 比数列 进而求出数列的通项公式 最后再求出数列的通项公式 4 2lg 16 3lg n 4 3lg a lg n a n 递推数列通项公式 李晓燕 第 9 页 共 13 页 练习 1 若数列的递推公式为 求这个数列的通项公式 1 2 1 2 nn a aan A 类型类型 7 7 平方 开方 法 平方 开方 法 例 13 若数列 中 2 且 n 求它的通项公式是 n a 1 a 2 1 3 nn aa2 n a 解 将两边平方整理得 数列 是以 4 为首项 3 为公差的等差数列 2 1 3 nn aa3 2 1 2 nn aa 2 n a 2 1 a 因为 0 所以 133 1 2 1 2 nnaan n a13 nan 评注 求递推数列的通项的主要思路是通过转化 构造新的熟知数列 使问题化陌生为熟悉 我们要根据 不同的递推关系式 采取不同的变形手段 从而达到转化的目的 其他类型 其他类型 1 数列中 且满足 n a2 8 41 aa nnn aaa 12 2 Nn 求数列的通项公式 n a 设 求 21nn aaaS n S 设 是否存在最大的整数 使得对任意 n b 12 1 n an 21 NnbbbTNn nn m 均有成立 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 Nn n T 32 m m 解解 1 由题意 为等差数列 设公差为 nnnn aaaa 112 n a d 由题意得 2382 ddnnan210 1 28 2 若 50210 nn则 5 21nn aaaSn 时 2 12 8102 9 2 n n aaannn 时 6n nn aaaaaaS 76521 4092 2 555 nnSSSSS nn 故 n S 409 9 2 2 nn nn 6 5 n n 3 1 11 2 1 1 2 1 12 1 nnnnan b n n n T 1 11 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1 nnnn 1 2 n n 若对任意成立 即对任意成立 32 m Tn Nn 161 m n n Nn 的最小值是 的最大整数值是 7 1 Nn n n 2 1 2 1 16 m m 即存在最大整数使对任意 均有 7 m Nn 32 m Tn 说明 说明 本例复习数列通项 数列求和以及有关数列与不等式的综合问题 递推数列通项公式 李晓燕 第 10 页 共 13 页 提高相关阅读提高相关阅读 利用递推数列求通项公式 在理论上和实践中均有较高的价值 下面介绍一下利用构造法求递推数列的通 项公式的方法和策略 一 构造等差数列法一 构造等差数列法 例 1 在数列 an 中 求通项公式 an ananan nn nn11 32212 解 对原递推式两边同除以可得 n nn 12 a nn a nn nn 1 211 2 令 b a nn n n 1 则 即为 则数列 bn 为首项是 公差是的等差数列 因而bb nn 1 2b a 1 1 111 3 2 bb nn 1 2 代入 式中得 bnn n 3 2 212 1 2 an nn n 1 2 1 41 故所求的通项公式是 an nn n 1 2 1 41 二 构造等比数列法二 构造等比数列法 1 定义构造法 利用等比数列的定义 通过变换 构造等比数列的方法 q a a n n 1 例 2 设在数列 an 中 求 an 的通项公式 aa a a n n n 11 2 2 2 2 解 将原递推式变形为 a a a n n n 1 2 2 2 2 a a a n n n 1 2 2 2 2 递推数列通项公式 李晓燕 第 11 页 共 13 页 得 a a a a n n n n 1 1 2 2 2 2 2 即 lglg a a a a n n n n 1 1 2 2 2 2 2 设 b a a n n n lg 2 2 式可化为 则数列 bn 是以 b1 为首项 公比为 2 的 a a n n 1 2lg lglg a a 1 1 2 2 22 22 221 等比数列 于是 代入 式得 解得bn nn 2212221 1 lg lg a a n n 2 2 21 2 n 为所求 an n n 2211 211 2 2 2 A B 为常数 型递推式aAaB nn 1 可构造为形如的等比数列 aA a nn 1 例 3 已知数列 其中 求通项公式 anaaa nn11 132 an 解 原递推式可化为 则数列是以为首项 公比为 3 的等比数列 aa nn 1 131 an 1a112 于是 故 aa n nn 11323 1 11 an n 231 1 3 A B C 为常数 下同 型递推式 aAaBC nn n 1 可