高中数学《变化率与导数 综合》学案1 北师大版选修2-2

用心 爱心 专心1 变化率与导数变化率问题变化率与导数变化率问题 学习目标 1 理解函数的增量的概念 2 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 学习重点 函数的增量 瞬时速度 切线的斜率 边际成本 学习难点 极限思想 教学过程 一 导入新课 1 瞬时速度 问题 1 一个小球自由下落 它在下落 3 秒时的速度是多少 析 大家知道 自由落体的运动公式是 其中 g 是重力加速度 2 2 1 gts 当时间增量很小时 从 3 秒到 3 秒这段时间内 小球下落的快慢变化不大 t t 因此 可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒时的速度 从 3 秒到 3 秒这段时间内位移的增量 t 222 9 4 4 2939 4 3 9 4 3 3 tttstss 从而 t t s v 9 4 4 29 从上式可以看出 越小 越接近 29 4 米 秒 当无限趋近于 0 时 无限t t s t t s 趋近于 29 4 米 秒 此时我们说 当趋向于 0 时 的极限是 29 4 t t s 当趋向于 0 时 平均速度的极限就是小球下降 3 秒时的速度 也叫做t t s 瞬时速度 一般地 设物体的运动规律是 s s t 则物体在 t 到 t 这段时间内的平均速t 度为 如果无限趋近于 0 时 无限趋近于某个常数 a 就说 t tstts t s t t s 当趋向于 0 时 的极限为 a 这时 a 就是物体在时刻 t 的瞬时速度 t t s 2 切线的斜率 问题 2 P 1 1 是曲线上的一点 Q 是曲线上点 P 附近的一个点 当点 Q 沿曲线 2 xy 逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况 析 设点 Q 的横坐标为 1 则点 Q 的纵坐标为 1 2 点 Q 对于点 P 的纵坐标x x 用心 爱心 专心2 的增量 即函数的增量 22 21 1 xxxy 所以 割线 PQ 的斜率 x x xx x y kPQ 2 2 2 由此可知 当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时 变得越来越小 越来越接近 2 x PQ k 当点 Q 无限接近于点 P 时 即无限趋近于 0 时 无限趋近于 2 这表明 割线 PQx PQ k 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线 我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线 由点 斜式 这条切线的方程为 12 xy 一般地 已知函数的图象是曲线 C P Q xfy 00 y xyyxx 00 是曲线 C 上的两点 当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时 割线 PQ 绕着点 P 转动 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P 即趋向于 0 时 如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT x 那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 此时 割线 PQ 的斜率无限趋近于切线 x y kPQ PT 的斜率 k 也就是说 当趋向于 0 时 割线x PQ 的斜率的极限为 k x y kPQ 3 边际成本 问题 3 设成本为 C 产量为 q 成本与产量的函数关系式为 我们来研103 2 qqC 究当 q 50 时 产量变化对成本的影响 在本问题中 成本的增量为 q 222 3300 10503 10 50 3 50 50 qqqCqCC 产量变化对成本的影响可用 来刻划 越小 越接近 300 q q q C 3300q q C 当无限趋近于 0 时 无限趋近于 300 我们就说当趋向于 0 时 的极限是q q C q q C 300 我们把的极限 300 叫做当 q 50 时的边际成本 q C 103 2 qqC 一般地 设 C 是成本 q 是产量 成本与产量的函数关系式为 C C q 当产量为 时 产量变化对成本的影响可用增量比刻划 如果 0 qq q qCqqC q C 00 用心 爱心 专心3 无限趋近于 0 时 无限趋近于常数 A 经济学上称 A 为边际成本 它表明当产量q q C 为时 增加单位产量需付出成本 A 这是实际付出成本的一个近似值 0 q 二 小结 瞬时速度是平均速度当趋近于 0 时的极限 切线是割线的极限位置 切线的斜 t s t 率是割线斜率当趋近于 0 时的极限 边际成本是平均成本当趋近于 0 时的 x y x q C q 极限 三 练习与作业 1 某物体的运动方程为 位移单位 m 时间单位 s 求它在 t 2s 时的速度 2 5 tts 2 判断曲线在点 P 1 2 处是否有切线 如果有 求出切线的方程 2 2xy 3 已知成本 C 与产量 q 的函数关系式为 求当产量 q 80 时的边际成本 52 2 qC 4 一球沿某一斜面自由滚下 测得滚下的垂直距离 h 单位 m 与时间 t 单位 s 之 间的函数关系为 求 t 4s 时此球在