【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.10.7几何概型 文

1 师说系列师说系列 2014 2014 届高考数学一轮练之乐届高考数学一轮练之乐 1 10 71 10 7 几何概型几何概型 文文 一 选择题 1 如图 矩形ABCD中 点E为边CD的中点 若在矩形ABCD内部随机取一个点Q 则点 Q取自 ABE内部的概率等于 A B C D 1 4 1 3 1 2 2 3 解析 点E为边CD的中点 故所求的概率P 故选 C ABE的面积 矩形ABCD的面积 1 2 答案 C 2 在面积为S的 ABC的边AB上任取一点P 则 PBC的面积大于 的概率是 S 4 A B C D 1 4 1 2 3 4 2 3 解析 如图所示 设 ABC的BC边上的高为AD 在AB边上任取一点P 由点P作 PE BC 垂足为E 则易知当PE AD时 PBC的面积大于 即当 时 PBC的面 1 4 S 4 BP BA 1 4 积大于 S 4 记A PBC面积大于 S 4 由几何概型的概率公式 得P A 3 4 1 3 4 答案 C 3 如图所示 A是圆上一定点 在圆上其他位置任取一点A 连结AA 得到一条弦 则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为 A B C D 1 2 3 2 1 3 1 4 解析 当AA 的长度等于半径长度时 AOA A 点左右各一点 故由几何概型的 3 2 概率公式得P 故选 C 2 3 2 1 3 答案 C 4 分别在区间 0 5 和 0 3 内任取一个实数 依次记为m和n 则m n的概率为 A B C D 7 10 3 10 3 5 2 5 解析 建立平面直角坐标系 如图所示 则由图可知满足m n的点应在梯形OABD内 所 以所求事件的概率为P S梯形OABD S矩形OABC 7 10 答案 A 5 设不等式组Error 所表示的区域为A 现在区域A中任意丢进一个粒子 则该粒子落在 直线y x 1 下方的概率为 A B C D 1 3 7 8 1 2 3 4 解析 不等式组表示的平面区域A为图中阴影部分所示 直线y x 1 过平面区域中的 0 1 1 2 点 所以直线y x 1 下方的阴影部分的面积为 2 2 1 1 所以所 1 2 7 2 求的概率为 7 2 4 7 8 答案 B 6 若a是从区间 0 3 内任取的一个实数 b是从区间 0 2 内任取的一个实数 则关于x 的一元二次方程x2 2ax b2 0 有实根的概率为 A B C D 2 3 1 4 3 5 1 3 解析 方程有实根 则 4a2 4b2 0 则a b 0 不等式组Error 所满足的可行域如 3 图中阴影 部分所示 则根据几何概型概率公式可得 所求概率P 故 S四边形OABD S矩形OABC 4 6 2 3 选 A 答案 A 二 填空题 7 在区间 1 2 上随机取一个数x 则 x 1 的概率为 解析 由 x 1 得 1 x 1 故易知所求概率为 1 1 2 1 2 3 答案 2 3 8 有一个底面圆的半径为 1 高为 2 的圆柱 点O为这个圆柱底面圆的圆心 在这个圆柱 内随机取一点P 则点P到点O的距离大于 1 的概率为 解析 先求点P到点O的距离小于 1 或等于 1 的概率 圆柱的体积V圆柱 12 2 2 以O为球心 1 为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球 13 则点P到点O的距离小于 1 或等于 1 的概率为 故点P到点 1 2 4 3 2 3 2 3 2 1 3 O的距离要大于 1 的概率为 1 1 3 2 3 答案 2 3 9 已知圆C x2 y2 12 直线l 4x 3y 25 1 圆C的圆心到直线l的距离为 2 圆C上任意一点A到直线l的距离小于 2 的概率为 解析 根据点到直线的距离公式得d 5 设直线 4x 3y c到圆心的距离为 3 则 25 5 3 取c 15 则直线 4x 3y 15 把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值是 c 5 所求的概率 由于圆半径是 2 则可得直线 4x 3y 15 截得的圆弧所对的圆心角为 60 3 故所求的概率是 1 6 答案 5 1 6 三 解答题 10 求下列概率 1 已知x 1 1 求x2 1 的概率 2 已知x y 1 1 求x2 y2 1 的概率 3 已知x y z 1 1 求x2 y2 z2 1 的概率 解析 1 x 1 1 的结果是任意的且有无限个 属于几何概型 设x2 1 为事件A 则事件A构成的区域长度是 1 1 2 全部结果构成的区域长度是 1 1 2 则P A 1 即x2 1 的概率是 1 2 2 2 x y 1 1 的结果是任意的且有无限个 属于几何概型 设x2 y2 1 为事件B 则事件B构成的区域面积是平面直角坐标系中以原点为圆心 半径 4 为 1 的圆的面积 全部结果构成的区域面积是平面直角坐标系中直线x 1 y 1 围成的正方形的面积 22 4 则P B 即x2 y2 1 的概率是 4 4 3 x y z 1 1 的结果是任意的且有无限个 属于几何概型 设x2 y2 z2 1 为事件C 则事件C构成的区域体积是空间直角坐标系中以原点为球心 半径为 1 的球的体积 4 3 全部结果构成的区域体积是空间直角坐标系中平面x 1 y 1 z 1 围成的正方 体的体积 23 8 则P C 即x2 y2 z2 1 的概率是 4 3 8 6 6 11 已知复数z x yi x y R R 在复平面上对应的点为M 1 设集合P 4 3 2 0 Q 0 1 2 从集合P中随机取一个数作为x 从集合 Q中随机取一个数作为y 求复数z为纯虚数的概率 2 设x 0 3 y 0 4 求点M落在不等式组Error 所表示的平面区域内的概率 解析 1 记 复数z为纯虚数 为事件A 组成复数z的所有情况共有 12 个 4 4 i 4 2i 3 3 i 3 2i 2 2 i 2 2i 0 i 2i 且每 种情况出现的可能性相等 属于古典概型 其中事件A包含的基本事件共 2 个 i 2i 所求事件的概率为P A 2 12 1 6 2 依条件可知 点M均匀地分布在平面区域 x y Error 内 属于几何概型 该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域 面积为S 3 4 12 而所求事件构成的平面区域为 x y Error 其图形如图中的三角形OAD 阴影部分 又直线x 2y 3 0 与x轴 y轴的交点分别为A 3 0 D 0 3 2 OAD的面积为S1 3 1 2 3 2 9 4 所求事件的概率为P S1 S 9 4 12 3 16 12 已知函数f x ax2 2bx a a b R R 1 若a从集合 0 1 2 3 中任取一个元素 b从集合 0 1 2 3 中任取一个元素 求方程 f x 0 恰有两个不相等实根的概率 2 若b从区间 0 2 中任取一个数 a从区间 0 3 中任取一个数 求方程f x 0 没有实 根的概率 5 解析 1 a从集合 0 1 2 3 中任取一个元素 b从集合 0 1 2 3 中任取一个元素 a b取值的情况是 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 0 3 1 3 2 3 3 3 其中第一个数表示a的取 值 第二个数表示b的取值 即基本事件总数为 16 设 方程f x 0 恰有两个不相等的实根 为事件A 当a 0 b 0 时 方程f x 0 恰有两个不相等实根的充要条件为b a且a 0 当b a且a 0 时 a b取值的情况有 1 2 1 3 2 3 即事件A包含的基本事件 数为 3 方程f x 0 恰有两个不相等实根的概率P A 3 16 2 b从区间 0 2 中任取一个数 a从区间 0 3 中任取一个数