模糊控制12229

模糊控制理论 3 1 概 述 3 1 1 模糊控制理论简介 由于客观世界的千变万化 错综复杂 人们对客观世界的认识以及语言表达不像逻辑 推理那么定性和精确化 使得 模糊概念 更适合人们对事物的认识 理解和决策 这也 更适合于客观现象和事物的模糊性 模糊控制理论正是基于这种思想下由美国学者 L A Zadeh 于 1965 年首先提出的 它是以模糊数学为基础 用语言规则描述知识和经验的 方法 结合先进的计算机技术 通过模糊推理进行判断的一种高级控制策略 本章的重点 就是介绍模糊数学的基础知识以及模糊控制的基本理论 3 1 2 模糊理论的发展简史 20 世纪 60 年代为模糊理论的萌芽阶段 模糊理论是由 Zadeh 于 1965 年在名为 模糊 集合 的开创性文章中创立的 由于模糊理论在初期没有实际应用 所以它很难击败这种 传统观点的质疑 当时 几乎世界上所有的大型研究机构都未将模糊理论作为一个重要的 研究领域 20 世纪 70 年代为模糊理论的成熟阶段 模糊理论的大多数基本概念都是在 60 年代末 70 年代初提出来的 1973 年 Zadeh 发表了另一篇开创性文章 分析复杂系统和决策过程 的新方法纲要 该文建立了研究模糊控制的基础理论 1975 年 Mamdani 和 Assilian 创 立了模糊控制器的基本框架 并将模糊控制器用于控制蒸汽机 在该时期 模糊水泥窑控 制器的建立为整个工业过程开发出了第一个模糊控制器 这类最初的应用也已经表明了这 一领域的潜力 20 世纪 80 年代为模糊理论的飞跃阶段 因为模糊控制不需要过程的数学模型 所以 它可以应用到很多因数学模型未知而无法使用传统控制论的系统中去 日立公司的 Yasunobu 和 Miyamoto 为仙台地铁开发的模糊系统创造了世界上最先进的地铁系统 模糊 机器人手臂 倒立摆的平衡等模糊控制系统的实现 使得该领域的应用非常振奋人心并引 起了模糊领域的一场巨变 20 世纪 90 年代为模糊理论的再发展阶段 模糊系统的成功 使得更多的学者转变传统观念并致力于该领域的研究 1992 年 2 月 首届 IEEE 模糊系统 国际会议在圣地亚哥召开 这次大会标志着模糊理论已被世界上最大的工程师协会 IEEE 所接受 而且 IEEE 还于 1993 年创办了 IEEE 模糊系统会刊 同时 模糊控制与其他学科的 交叉发展和融合也在该时期得到了充分的发挥 模糊系统应用于控制理论的整体图景已经 越来越清晰 3 模糊控制理论智能控制理论 方法与应用 3 1 3 模糊控制理论的特点 模糊控制在动力系统控制 船舶自动驾驶 智能机器人和锅炉控制等方面已得到广泛 应用 目前 在工业上投入运行的模糊控制器 大多由一组模糊控制规则组成 通过一定 的模糊推理机制确定控制作用 模糊控制 fuzzy control FC 是以模糊集合论 模糊语言 变量及其模糊逻辑推理为基础的计算机智能控制 与常规控制方法相比具有以下几个优点 1 模糊逻辑比常规逻辑更接近人直观的思维方式 控制系统的设计不要求掌握受控对 象精确的数学模型 只需要提供现场操作人员的经验知识及操作数据 经常选用的隶属函数 都比较简单 而所需要的控制规则不会过多 从这些简单的建造模块出发 系统却可以完 成非常复杂的任务 2 模糊控制采用人类思维中的模糊量 控制量由模糊推理导出 推理过程模仿人的思 维过程 是一种反映人类智慧思维的智能控制 模糊控制的核心是控制规则 这些规则以人 类语言表达 易于接受 3 模糊控制器易于构造和修改 模糊控制器以语言变量代替常规的数学变量 易于形 成专家系统的知识 开始可以用某些近似的隶属集合和规则 然后再对参数重新定义 并 不断对系统进行优化 模糊推理的各种成分都是独立地对函数进行处理 所以系统可以较 容易地被修改 4 模糊控制系统的鲁棒性强 对过程参数的变化不敏感 对系统参数变化的适应性强 在所有工作点上都能做到较稳定的控制 常规的基于数学模型的控制系统倾向于是一个相 互依赖的整体 如果一个方程失败 或者如果物理系统的条件改变使得模型不再有效 则 整个控制过程有可能崩溃 而模糊逻辑含有大量功能独立的元素与规则 模糊输出是多个 规则影响的合并 所以即使一个规则失效了 其他的规则往往可以补偿 此时的系统可能 不是最佳控制 但是仍然会正常工作 3 2 模糊集合与隶属函数 本节主要阐述了模糊集合的定义 模糊集有关的一些基本概念 支撑集 截集 凸集等 及 隶属函数的确定 3 2 1 从经典集合到模糊集合 集合是数学中最基本的概念 它是描述和表现各种学科的抽象语言和系统 所谓集合 是指具有某种特定属性的对象的全体 经典集合论是康托尔在 19 世纪末创立的 它依据一 定的标准进行分类 根据不同的分类方法 人们可以把不同的事物归于这一类 或者不归 于这一类 并通过这种方法来明确区分不同类的事物 一般来说 常用的分类方法有三种 列举法 描述法和特征函数法 1 列举法 适用于元素是有限的集合 例如 10 以内的正整数可表述为 10 以内的 正整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 1 2 描述法 适用于有很多元素 而不能一一列举的集合 此时用集合中元素的共性来描述集合 如集合 A 可以表示为 A x x 满足某些条件 3 2 3 特征函数法 它是利用经典 集合非此即彼的明晰性来表示集合的 因为某一集合中的元素要么属于这个集合 要么就 不属于这个集合 二者必居其一 例如用 0 表示不属于 用 1 表示属于 该集合即可表述 为 X A x 1 x A 0 x A 3 3 但是在日常生活中 常常会遇到经典集合所解决不了的问题 特别是 当我们涉及与人的认识有关的概念和现象时 例如 天气暖和 个子高 年轻人 等都无法用经典集合来描述划分 这也恰恰说明了经典集合有其局限性 根据常识 这些 描述实际上都是一个范围 而且这种范围很可能没有一个明确的界限 因而界限是模糊的 但是人们正是用这种方法进行判断和思维 以达到低精度高效率处理问题 其结果往往反 而比高精度处理更准确 于是引发了人们如何用数学语言来处理这类问题的探索 1965 年 Zadeh 创立的模糊集合论正是通过把经典集合扩充成他命名的模糊集合来解 释那些模糊的范围性的概念 并以此来弥补经典集合的局限性 以经典集合的特征函数法为例 经典集合对事物只是用 1 和 0 简单表示 属于 和 不属于 的分类 而模糊集合则用从 0 到 1 之间连续的变化值来描述元素属于该集合的 程度 我们把该值称作隶属度 用 A x 表示 其中 A 表示模糊集合 而 x 是 A 的元素 如图 3 1 所示 由此可以看出模糊集合是经典集合的一种推广 定义 3 1 设 U 为论域或全集 论域 U 上的模糊集合是用隶属函数 A x 来表征的 A x 的取值范围是 0 1 模糊集合 论域 U 中的模糊集 A 用一个在区间 0 1 上取值的隶属函数 A 来表 示 即 A U 0 1 A x 1 表示 x 完全属于 U A x 0 表示 x 完全不属于 U 0 A0 3 4 如图 3 2 所示 如果一个模糊集合的支撑集为空 则称该模糊集为空模糊集 2 截集 模糊集 A 的截集包含所有在 A 上具有大于某一隶属度 的模糊集合 A x x U A x 3 5 同理 可以定义模糊集的强截集为 A x x U A x 3 6 3 单点 singleton 模糊集合 在论域 U 中 若模糊集合 A 的 Supp A 仅有一个元素 x 0 且 A x 0 1 则 称 A 为单点模糊集合 如图 3 3 所示 单点模糊集合 A 的 Zadeh 表示法 见下文 为 A A x 0 x 0 单点模糊集合不仅给出了元素 x 0 而且给出了元素的隶属度 A x 0 因此 单点模糊集合在模糊控制中特别有用 图 3 2 支撑集与 截集 图 3 3 单点模糊集合 4 模糊集的高度 模糊集的高度是指 max x U A x 在任意点所能达到最大 隶属度的值 5 正则 nomal 模糊集 设模糊集合 A U 若 max x U A x 1 则 称 A 为 U 上的正则模糊集合 见图 3 4 6 凸模糊集 collvex 设 x 1 x 2 x 3 U 模糊集合 A R 且 x 2 x 1 1 x 3 0 1 若存在 A x 1 1 x 3 min A x 1 A x 3 则称 A 为 U 上的凸模糊集 7 模糊集的中心 center 如果模糊集的隶属函数达到其最大值的所有点的均 值是有限值 则将该均值定义为模糊集的中心 如果该均值为正 负 无穷大 则将该模 糊集的中心定义为所有达到最大隶属值的点中最小 最大 点的值 见图 3 5 图 3 4 正则 非正则凸模糊集 图 3 5 典型模糊集合的中心 2 模糊集合的表示法 1 Zadeh 表示法 离散论域 如果论域 U 中只包含有限个元素 该论域称为离散论域 设离散论域 U x 1 x 2 x n U 上的模糊集合 A 的 Zadeh 表示法可表示为 A A x 1 x 1 A x 2 x 2 A x n x n 3 7 其 中 A x i x i 不是分数 也不是通常意义上的求和运算 只具有符号意 义 它表示点 x i 对模糊集 A 的隶属度是 A x i 连续论域 如果论域 U 是实数域 即 U R 论域中有无数多个连续的点 该论域称为连 续论域 连续论域上的模糊集合可以表示为 A x U A x x 3 8 同 样 这里 不是积分号 A x x 也不是分数 该式只表示对论域中的每个元 素 x 都定义了相应的隶属函数 A x 2 序偶表示法 若将论域 U 中元素 x i 与其对应的隶属函数值 A x i 组成序偶 x i A x i 来表示模糊子集 A 可以写成 A x 1 A x 1 x 2 A x 2 x n A x n 3 9 3 向量表示法 如果单纯地将论域 U 中的元素 x i 所对应的隶属度值 A x i 按顺序写成矢量形 式来表示模糊子集 A 则可以写成 A A x 1 A x 2 A x n 3 10 例 3 1 小张家中有 5 件电器设备 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 其智能化程度的隶属度分别为 A x 1 0 4 A x 2 0 8 A x 3 1 0 A x 4 0 6 A x 5 0 0 则模糊子集 A 由 Zadeh 表示法记作 A 0 4x 1 0 8x 2 1 0 x 3 0 6x 4 0 0 x 5 在前面已介绍过 A 的支撑集 supp A x x U A x 0 对于隶属度为 0 的元素 认为它不属于此集合 该项表示式可不列入 其表达式为 supp A 0 4x 1 0 8x 2 1 0 x 3 0 6x 4 同样 对于一个元素个数有限的支撑集来说 写成一般形式为 supp A A x 1 x 1 A x 2 x 2 A x n x n ni 1 A x i x i 3 11 对于上述例子 用序偶法可以表示成 A x 1 0 4 x 2 0 8 x 3 1 0 x 4 0 6 x 5 0 对于上述例子 用向量法可以表示成 A 0 4 0 8 1 0 0 6 0 3 模糊集合的运算 既然模糊集合是普通集合的推广 那么普通集合的一些性质也可以相应地被扩展到模糊集 合中 模糊集合之间运算的定义与普通集合的定义是平行的 是普通集合运算的推广 由 于模糊集合中没有点与集合之间的绝对隶属关系 因而其运算的定义只能以隶属函数之间 的关系来确定 两个模糊集合 A 和 B 的相等 equality 包含 containment 补集 complement 并 集 union 和交集 intersection 的定义如下 1 一般运算 设 A B 是同一论域 U 上的两个模糊集合 它们之间的包含 相等的关系定义如下 A 包含 B 记作 A B 有 A x B x x U 3 12 A 等于 B 记作 A B 有 A x B x x U 3 13 2 交 并 补 运算 设 A B 是同一论域 U 上的两个模糊集合 它们之间的交 并 补运算定义如下 A 与 B 的交 intersection 记作 A B 有 A B x A x B x min A x B x x U 3 14 A 与 B 的并 union 记作 A B 有 A B x A x B x max A x B x x U 3 15 A 的补 complement 记作 A 有 A x 1 A x x U 3 16 其中 min 和 表示取 小运算 max 和 表示取大运算 图 3 6 显示了这三种运算对应的隶属函数图形 图 3 6 集合运算示意图 模糊集合之间的交和并运算可以推广到 U 上的 n 个模糊集合 A 1 A 2 A n 表示 为 ni 1A i A 1 A 2 A n 3 17 A i ni 1 A i u min A 1 u A 2 u A n u u U 3 18 ni 1A i A 1 A 2 A n 3 19 A i ni 1 A i u max A 1 u A 2 u A n u u U 3 20 4 模糊集合的基本运算定律 论域 U 上的模糊全集 E 和模糊空集 定义如下 E u 1 u U 3 21 u 0 u U 3 22 设 A B C 是论域 U 上的三个模糊集合 它们的交 并 补运算有下列定律 恒等律 A A A A A A 交换律 A B B A A B B A 结合律 A B C A B C A B C A B C 分配律 A B C A B A C A B C A B A C 吸收律 A B A A A B A A 同一律 A E E A E A A A A 复原律 A A 对偶律 A B A B A B A B 以上 8 条运算定律 模糊集合和普通集合是完全相同的 但是普通集合的 互补律 对模 糊集合却不成立 即 A A E A A 3 23 这是因为模糊集合不具有 非此 即彼 或 非真即伪 的特性 也可以说 这是模糊集合带来的本质的特性 例 3 2 设论域 U 上的模糊子集 A 1 0 2 x 1 0 4 x 2 0 6 x 3 A 2 0 4 x 1 0 6 x 2 0 x 3 A 3 0 x 1 0 8 x 2 0 2 x 3 试求 S A 1 A 2 A 3 解 S 0 2 0 4 0 x 1 0 4 0 6 0 8 x 2 0 6 0 0 2 x 3 0 x 1 0 4 x 2 0 x 3 3 2 3 隶属函数 1 隶属函数的确定 隶属函数的正确选择将有助于问题的解决 现给出 四条必须遵守的原则 1 表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 一般来说 在一定范围内或一定的条件下 所用语言的语义分析中的模糊概念的隶属 度具有相当的稳定性 所以根据专家经验确定的隶属函数就有一定的可信度 尤其是最大 隶属度中心点或区域的确定 然而 从最大值向两边模糊延伸点的隶属度就可能差别较大 它们的确定可以根据人们对于实际情况的不同以及经验的不同而不同 以温度为例 要确 定 舒适 温度的隶属函数 某人可以根据他自身经验表示如下 M 0 25 0 0 5 10 1 0 20 0 5 30 0 25 40 其中 30 的隶属度可能确定为 0 5 当 然也可以将其隶属度确定为 0 4 甚至可能是 0 6 从连接各点后经过平滑处理的特征曲线 来看 隶属度减小 该曲线就变得尖锐 隶属度增大 曲线就平坦 从控制角度看 曲线 越平坦 其响应灵敏度和分辨率就越低 但控制平滑性越好 反之亦然 所以这是一种 大处确定 小处含糊 的处理策略 尽管小处可以含糊 但是还必须遵守一条原则 那 就是由最大隶属度区域向两边延伸时 其隶属度只能单调递减 而不允许呈波浪形 这实 际上是很好理解的 比如把 30 的隶属度定为 0 5 而把 40 的隶属度定为 0 6 的话 那就 是说 认为 20 左右是 舒适 温度的情况下 又认为 40 比 30 更接近于 舒适 温 度 这显然是不合逻辑的 形象地说 这就要求所确定的隶属函数必须呈单峰馒头形 用 数学语言说 就是要求是凸模糊集合 这是第一个要遵守的原则 在实际应用中为了简化 计算 常把隶属函数设定成三角形或梯形 这是满足凸模糊集合要求的 2 变量所取隶属函数通常是对称和平衡的 在模糊系统中 每个语言变量可取多个语言值 语言变量稍后作介绍 一般情况下 描述变量的语言值安排得越多 即论域中的隶属函数的密度越大 模糊控制系统的分辨率 就越高 其控制相应的结果就越平滑 同时计算时间也大大增大 反之 则会出现相反的 效果甚至有时候系统输入会在希望值附近振荡 经实践证明 变量的语言值取奇数个 在 零或正常作用集合的两边通常取对称平衡的语言值的隶属函数 这就是说 设计了变量 温度 的模糊区域 低 那么一般就有相应的模糊区域 高 与之对应 这也符合人 的正常思维 3 隶属函数要遵循语意顺序和避免不恰当的重叠 在相同论域上使用的具有语义顺序关系的若干语言值的模糊集合其排列一定要遵循语 意顺序 不能违背常识和经验 例如把 暖 和 热 的位置对调一下就不适合了 同时 由中心值向两边延伸的范围也有限制 间隔的两个模糊集合的隶属函数不能相交重叠 这 显然与人的感觉相矛盾 在一个模糊控制系统中 隶属函数之间的重叠程度直接影响着系 统的性能 在一个极端 如果隶属函数没有重叠 该模糊系统就退化为一般的基于布尔逻 辑的系统 当有多个隶属函数相重叠时 给一个确切的输入值 就会同时激活多个规则 隶属函数之间不恰当的重叠 就可能最终导致模糊控制系统产生随意的混乱行为 所以确 定隶属函数的第三个原则是间隔的模糊集合不要交叉越界 在大多数实用的例子中 都采 用相同斜率的三角形以避免产生交叉越界现象 4 确定模糊控制系统隶属函数的原则 1 论域中的每个点应该属于至少一个隶属函数的定义域 同时它一般应该属于至多 不超过两个隶属函数的定义域 2 对同一个输入没有两个隶属函数会同时有最大隶属度 3 当两个隶属函数重叠时 重叠部分对两个隶属函数的最大隶属度不应该有交叉 4 当两个隶属函数重叠时 重叠部分的任何点的隶属函数值的和应该小于等于 1 2 常用的隶属函数 常用的隶属函数有三角形 梯形和正态形 高斯 3 种 如图 3 7 所示 1 三角形隶属函数 A x x a b a a x b c x c b b x c 0 xc 3 24 2 梯形隶属函数 A x 0 x a x a b a a x b 1 b x c d x d c cd 3 25 3 高斯隶属函数 A x e x ab 2 3 26 图 3 7 隶属函数的三种形态 a 三角形隶属函数 b 梯形隶属函数 c 高斯隶属函数 3 3 模糊矩阵与模糊关系 模糊矩阵可以看做普通关系矩阵的推广 模糊关系在模糊集合论中占有重要的地位 而当 论域为有限时 可以用模糊矩阵来表示模糊关系 这一节首先讨论模糊矩阵的定义及其运 算性质 然后介绍模糊关系的定义 性质及其合成 3 3 1 模糊矩阵的定义及其运算 1 模糊矩阵 如果对任意的 i n 及 j m 都有 r ij 0 1 则称 R r ij n m 为模糊矩阵本章 矩阵不再用黑斜体表示 因为后 文矩阵 向量 集合混用 无法统一 通常以 n m 表示全体 n 行 m 列的模糊矩阵 2 模糊矩阵的基本运算 模糊矩阵的运算亦类似于模糊集合的运算 可分为一般运算和交 并 补运算 1 一般 运算 对任意 R S n m R r ij n m S s ij n m 如果 r ij