【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第7单元 7.7空间向量的坐标运算随堂训练 理 新人教B版

用心 爱心 专心 7 77 7 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 一 选择题一 选择题 1 已知 已知 ABCD 且 且 A 4 1 3 B 2 5 1 C 3 7 5 则顶点 则顶点 D 的坐标为的坐标为 A 4 1 B 2 3 1 C 3 1 5 D 5 13 3 7 2 解析 解析 设设 x y z 则则 7 8 2 x 2 y 5 z 1 x 5 y 13 z 3 即 即 5 13 3 答案 答案 D 2 已知 已知 ABC 的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为 A 2 3 1 B 4 1 2 C 6 3 7 则 则 ABC 的重心的重心 坐标为坐标为 A 6 3 B 4 2 C 8 4 D 2 1 7 2 7 3 14 3 7 6 解析 解析 ABC 的重心坐的重心坐标为标为 x 4 y z 2 2 4 6 3 3 1 3 3 7 3 1 2 7 3 答案 答案 B 3 若向量 若向量 a 1 2 b 2 1 2 cos a b 则 则 等于等于 8 9 A 2 B 2 C 2 或或 D 2 或 或 2 55 2 55 解析 解析 a b 3 a b 6 根据已知条件 根据已知条件 解得 解得 2 或或 2 5 6 3 2 5 8 9 2 55 答案 答案 C 4 已知两空间向量已知两空间向量 a 2 cos sin b sin 2 cos 则 则 a b 与与 a b 的夹角的夹角 为为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 解析 a b a b a2 b2 0 a b a b 90 答案 答案 D 二 填空题二 填空题 5 与 与 A 1 2 3 B 0 0 5 两点距离相等的点满足的等式为两点距离相等的点满足的等式为 解析 解析 设设到到 A B 两点距离相等的点两点距离相等的点为为 P x y z 由 由 PA PB 用心 爱心 专心 即即 x 1 2 y 2 2 z 3 2 x2 y2 z 5 2 整理得 整理得 2x 4y 4z 11 0 答案 答案 2x 4y 4z 11 0 6 已知向量 已知向量 a 1 2 3 b 1 1 1 则向量 则向量 a 在向量在向量 b 方向上的投影为方向上的投影为 解析 解析 b a 1 1 1 1 2 3 则则 a 在向量在向量 b 上的投影上的投影为为 1 b 1 3 4 3 3 4 3 3 答案 答案 4 3 3 7 已知 已知 a 2 1 2 b 2 2 1 则以 则以 a b 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为 解析 解析 a 3 b 3 a b 2 2 1 22 1 2 22 22 22 12 2 2 1 4 cos a b sin a b S平行四 平行四边边形形 a b sin a b a b a b 4 9 65 965 答案 答案 65 三 解答题三 解答题 8 如右图 在四棱锥 如右图 在四棱锥 P ABCD 中 底面中 底面 ABCD 为矩形 侧棱为矩形 侧棱 PA 底面底面 ABCD AB BC 1 PA 2 E 为为 PD 的中点 的中点 3 1 求直线求直线 AC 与与 PB 所成角的余弦值 所成角的余弦值 2 在侧面在侧面 PAB 内找一点内找一点 N 使 使 NE 面面 PAC 并求出 并求出 N 点到点到 AB 和和 AP 的距离 的距离 解答 解答 1 如右图 建立直角坐标系如右图 建立直角坐标系 A xyz 则 则 P 0 0 2 B 0 0 C 1 0 33 1 0 0 2 cos 33 3 7 14 则直线则直线 AC 与与 PB 所成角的余弦值为所成角的余弦值为 3 7 14 2 设设 N x 0 z 又又 E 0 1 x z 1 1 2 1 2 由由 0 得 得 2 z 1 0 由 由 0 得 得 x 0 解得 解得 x z 1 3 1 2 3 6 用心 爱心 专心 因此因此 N 点到点到 AB 和和 AP 的距离分别为的距离分别为 1 3 6 9 如右图 点如右图 点 P E F 在矩形在矩形 ABCD 所在平面外 所在平面外 PC 平面平面 ABCD 于于 C EB 平面平面 ABCD 于于 B FD 平面平面 ABCD 于于 D AB 4 BC 2 PC 6 BE DF 且四边形且四边形 AEPF 是平行四边形 是平行四边形 1 建立适当坐标系 求点建立适当坐标系 求点 E F 的坐标 的坐标 2 求平面求平面 AEPF 与平面与平面 PEBC 所成的二面角所成的二面角 锐角锐角 的大小 的大小 解答 解答 如右图 建立空间直角坐标系 如右图 建立空间直角坐标系 1 P 0 0 6 A 4 2 0 设 设 BE DF m 则 则 E 0 2 m F 4 0 m 0 0 6 0 2 m 0 2 6 m 4 0 m 4 2 0 0 2 m 四边形四边形 AEPF 是平行四边形 是平行四边形 6 m m 即 即 m 3 E 0 2 3 F 4 0 3 2 0 2 3 0 2 3 4 2 0 4 0 3 设平面 设平面 AEPF 的法向量的法向量 n1 x y z n1 x y z 0 2 3 0 即 即 2y 3z 0 n1 x y z 4 0 3 0 即 即 4x 3z 0 令令 z 4 得得 y 6 x 3 n1 3 6 4 显然平面 显然平面 PEBC 的法向量的法向量 n2 1 0 0 n1 n2 3 6 4 1 0 0 3 n1 n2 1 62 42 3261 cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 3 61 3 61 61 平面平面 AEPF 与平面与平面 PEBC 所成的二面角所成的二面角 锐角锐角 的大小是的大小是 arccos 3 61 61 10 如右图 已知长方体 如右图 已知长方体 ABCD A1B1C1D1 AB 2 AA1 1 直线 直线 BD 与平面与平面 AA1B1B 用心 爱心 专心 所成的角为所成的角为 30 AE 垂直垂直 BD 于于 E F 为为 A1B1的中点 的中点 1 求异面直线求异面直线 AE 与与 BF 所成的角 所成的角 2 求平面求平面 BDF 与平面与平面 AA1B 所成二面角所成二面角 锐角锐角 的大小 的大小 3 求点求点 A 到平面到平面 BDF 的距离 的距离 解答 解答 在长方体在长方体 ABCD A1B1C1D1中 以中 以 AB 所在直线为所在直线为 x 轴 轴 AD 所在直线为所在直线为 y 轴 轴 AA1所在直线为所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如右图 轴建立空间直角坐标系如右图 由已知由已知 AB 2 AA1 1 可得 可得 A 0 0 0 B 2 0 0 F 1 0 1 又又 AD 平面平面 AA1B1B 从而 从而 BD 与平面与平面 AA1B1B 所成的角即为所成的角即为 DBA 30 又又 AB 2 AE BD AE 1 AD 2 3 3 从而易得从而易得 E 0 D 0 0 1 2 3 2 2 3 3 1 0 1 0 1 1 2 3 2 1 2 2 2 4 即异面直线即异面直线 AE BF 所成的角为所成的角为 arccos 2 4 2 易知平面易知平面 AA1B 的一个法向量的一个法向量 m 0 1 0 设 设 n x y z 是平面是平面 BDF 的一个法向的一个法向 量 量 2 0 由 由 Error Error 2 3 3 取取 n 1 1 cos m n 3 m n m n 3 1 5 15 5 即平面即平面 BDF 与平面与平面 AA1B 所成二面角所成二面角 锐角锐角 大小为大小为 arccos 15 5 3 点点 A 到平面到平面 BDF 的距离 即的距离 即 AB 在平面在平面 BDF 的法向量的法向量 n 上的投影的绝对值 上的投影的绝对值 所以距离所以距离 d cos n 2 5 2 5 5 用心 爱心 专心 所以点所以点 A 到平面到平面 BDF 的距离为的距离为 2 5 5 1 已知空间三点已知空间三点 A 0 2 3 B 2 1 6 C 1 1 5 若 若 a 且 且 a 分别与分别与 AB AC 垂垂 3 直 则向量直 则向量 a 为为 A 1 1 1 B 1 1 1 C 1 1 1 或或 1 1 1 D 1 1 1 或或 1 1 1 解析 解析 由已条件由已条件 2 1 3 1 3 2 可 可观观察出察出 a 1 1 1 答案 答案 C 2 已知 在右图所示的几何体 已知 在右图所示的几何体 ABCED 中 中 EC 面面 ABC DB 面面 ABC CE CA CB 2DB ACB 90 M 为为 AD 的中点 的中点 1 证明 证明 EM AB 2 求直线求直线 BM 和平面和平面 ADE 所成角的大小 所成角的大小 解答 解答 解法一 解法一 1 如右图 以如右图 以 C 为原点 为原点 CA CB CE 所在的直线分别为所在的直线分别为 x y z 轴轴 建立空间直角坐标系 建立空间直角坐标系 不妨设不妨设 BD 1 则 则 E 0 0 2 A 2 0 0 D 0 2 1 B 0 2 0 由 由 M 是是 AD 的中点 得的中点 得 M 1 1 1 2 1 1 2 2 0 3 2 0 得 得 2 2 2 1 2 0 2 设面 设面 ADE 的法向量的法向量 n x y z 由由 AD n 0 n 0 易求平面易求平面 ADE 的一个法向量为的一个法向量为 n 1 1 1 2 又又 BM 1 1 cos n 直线直线 BM 和平面和平面 ADE 所成角为所成角为 arccos 1 2 4 9 2 4 9 解法二解法二 1 如上图如上图 过过 M 作作 MN AB 由由 DB 面面 ABC 面面 ABD 面面 ABC 得得 用心 爱心 专心 MN 面面 ABC MN BD CE M 是是 AD 中点中点 N 是是 AB 中点中点 CA CB CN AB 由三垂线定理由三垂线定理 得得 EM AB 2