【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十四章 第5讲 数学归纳法配套训练 理 新人教A版

1 第第 5 5 讲讲 数学归纳法数学归纳法 分层训练 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 用数学归纳法证明命题 当n是正奇数时 xn yn能被x y整除 在进行第二步证明 时 给出四种证法 假设n k k N N 证明n k 1 命题成立 假设n k k是正奇数 证明n k 1 命题成立 假设n 2k 1 k N N 证明n k 1 命题成立 假设n k k是正奇数 证明n k 2 命题成立 正确证法的序号是 解析 中 k 1 不一定表示奇数 只有 中k为奇数 k 2 为奇数 答案 2 用数学归纳证明 对任意的n N N 34n 2 52n 1能被 14 整除的过程中 当n k 1 时 34 k 1 2 52 k 1 1可变形为 答案 34 34k 2 52k 1 52k 1 56 3 2010 寿光一中模拟 若存在正整数m 使得f n 2n 7 3n 9 n N N 能被m整除 则m 解析 f 1 6 f 2 18 f 3 18 猜想 m 6 答案 6 4 用数学归纳法证明 n3 n 1 3 n 2 3 n N N 能被 9 整除 要利用归纳假设证 n k 1 时的情况 只需展开的式子是 解析 假设当n k时 原式能被 9 整除 即k3 k 1 3 k 2 3能被 9 整除 当n k 1 时 k 1 3 k 2 3 k 3 3为了能用上面的归纳假设 只需将 k 3 3 展开 让其出现k3即可 答案 k 3 3 5 用数学归纳法证明 1 2 3 n2 则当n k 1 时左端应在n k的基础 n4 n2 2 上加上 解析 当n k时 左侧 1 2 3 k2 当n k 1 时 2 左侧 1 2 3 k2 k2 1 k 1 2 当n k 1 时 左端应在n k的基础上加上 k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 答案 k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 6 若f n 12 22 32 2n 2 则f k 1 与f k 的递推关系式是 解析 f k 12 22 2k 2 f k 1 12 22 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 答案 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 2012 苏中三市调研 已知数列 an 满足 a1 an 1 n N N 1 2 2an an 1 1 求a2 a3的值 2 证明 不等式 0 an an 1对于任意的n N N 都成立 1 解 由题意 得a2 a3 2 3 4 5 2 证明 当n 1 时 由 1 知 0 a1 a2 即不等式成立 设当n k k N N 时 0 ak0 而ak 2 ak 1 2ak 1 ak 1 1 2ak ak 1 2ak 1 ak 1 2ak ak 1 1 ak 1 1 ak 1 0 2 ak 1 ak ak 1 1 ak 1 0 ak 1 ak 2 即当n k 1 时 不等式成立 由 得不等式 0 an an 1对于任意n N N 成立 8 2011 盐城调研 已知数列 an 满足an 1 a pan p R R 且a1 0 2 试猜想p 2n 的最小值 使得an 0 2 对n N N 恒成立 并给出证明 证明 当n 1 时 a2 a pa1 a1 a1 p 2 1 因为a1 0 2 所以欲使a2 0 2 恒成立 则要Error 恒成立 解得 2 p 2 2 由此猜想p的最小值为 2 因为p 2 所以要证该猜想成立 只要证 当p 2 时 an 0 2 对n N N 恒成立 现用数学归纳法证明 3 当n 1 时结论显然成立 假设当n k时结论成立 即ak 0 2 则当n k 1 时 ak 1 a 2ak ak 2 ak 2k 一方面 ak 1 ak 2 ak 0 成立 另一方面 ak 1 ak 2 ak ak 1 2 1 1 2 所以ak 1 0 2 即当n k 1 时结论也成立 由 可知 猜想成立 即p的最小值为 2 分层训练 B 级 创新能力提升 1 用数学归纳法证明不等式 1 n N N 成立 其初始值至少应取 1 2 1 4 1 2n 1 127 64 解析 右边 1 2 代入验证可知n的最小值是 8 1 2 1 4 1 2n 1 1 1 2 n 1 1 2 1 2n 1 答案 8 2 用数学归纳法证明 1 则当n k 1 时 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 2n 左端应在n k的基础上加上 解析 当n k时 左侧 1 当n k 1 时 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 左侧 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 答案 1 2k 1 1 2k 2 3 在数列 an 中 a1 且Sn n 2n 1 an 通过计算a2 a3 a4 猜想an的表达式是 1 3 解析 当n 2 时 a1 a2 6a2 即a2 a1 1 5 1 15 当n 3 时 a1 a2 a3 15a3 即a3 a1 a2 1 14 1 35 当n 4 时 a1 a2 a3 a4 28a4 即a4 a1 a2 a3 1 27 1 63 a1 a2 a3 a4 1 3 1 1 3 1 15 1 3 5 1 35 1 5 7 1 7 9 4 故猜想an 1 2n 1 2n 1 答案 an 1 2n 1 2n 1 4 已知Sn 12 22 32 42 1 n 1 n2 当n分别取 1 2 3 4 时的值依次为 所以猜想原式 解析 当n 1 时 S1 12 1 1 1 1 1 1 1 2 当n 2 时 S2 12 22 3 1 2 1 2 2 1 2 当n 3 时 S3 12 22 32 6 1 3 1 3 3 1 2 当n 4 时 S4 12 22 32 42 10 1 4 1 4 4 1 2 猜想Sn 1 n 1 n n 1 2 答案 1 3 6 10 1 n 1 n n 1 2 5 2010 全国卷 在数列 an 中 a1 1 an 1 c 1 an 1 设c bn 求数列 bn 的通项公式 5 2 1 an 2 2 求使不等式an an 1 3 成立的c的取值范围 解 1 an 1 2 2 5 2 1 an an 2 2an 2 即bn 1 4bn 2 1 an 1 2 2an an 2 4 an 2 bn 1 4 又a1 1 2 3 bn 2 3 故b1 1 1 a1 2 所以是首项为 公比为 4 的等比数列 bn 2 3 1 3 bn 4n 1 bn 2 3 1 3 4n 1 3 2 3 2 a1 1 a2 c 1 由a2 a1 得c 2 用数学归纳法证明 当c 2 时 an an 1 当n 1 时 a2 c a1 命题成立 1 a1 设当n k时 ak ak 1 5 则当n k 1 时 ak 2 c c ak 1 1 ak 1 1 ak 故由 知当c 2 时 an an 1 当c 2 时 因为c an 1 an 1 an 1 an 所以a can 1 0 有解 2n 所以 an 令 c c2 4 2 c c2 4 2 c c2 4 2 当 2 c 时 an 3 10 3 当c 时 3 且 1 an 于是 an 1 an an 10 3 1 an 1 3 an 1 1 1 32 1 3n 所以 an 1 1 1 3n 当n log3时 an 1 3 an 1 3 与已知矛盾 1 3 因此c 不符合要求 10 3 所以c的取值范围是 2 10 3 6 2012 扬州中学最后冲刺 已知在正项数列 an 中 对于一切的n N N 均有 a an an 1成立 2n 1 证明 数列 an 中的任意一项都小于 1 2 探究an与 的大小 并证明你的结论 1 n 1 证明 由a an an 1 得an 1 an a 2n2n 因为在数列 an 中 an 0 所以an 1 0 所以an a 0 所以 0 an 1 2n 故数列 an 中的任意一项都小于 1 2 解 由 1 知 0 an 1 1 1 那么a2 a1 a 2 2 1 a1 1 2 1 4 1 4 1 2 由此猜想 an n 2 下面用数学归纳法证明 1 n 当n 2 时 显然成立 当n k时 k 2 k N N 时