高中数学 2.1.2正弦定理（二）复习学案 北师大版必修5

用心 爱心 专心 1 2 1 22 1 2 正弦定理 二 正弦定理 二 知识梳理知识梳理 1 在 中 A Ba bsinA sinB 2 在 中 A B C 222 ABC sin sinABC cos cosABC sincos 22 ABC 3 若为锐角 则 A BsinA cosBcosAtanB 且 C 为钝角 故 b 最小 c 最大 由 tanB 得 sinB 3 1 10 10 由正弦定理得 最短边长 b l 5 5 点评 利用正弦定理解三角形中 要注意三角形和三角函数的有关知识 备选题备选题 正弦定理的综合应用正弦定理的综合应用 例 3 已知 ABC 的面积为 1 tanB tanC 2 求 ABC 的边长以及 ABC 外接圆的面积 2 1 解 tanB 0 B sinB cosB 2 1 2 5 5 5 52 用心 爱心 专心 2 又tanC 2 C sinC cosC 2 5 52 5 5 则 sinA sin B C sinBcosC cosBsinC 5 5 5 5 5 52 5 52 5 3 a b sinsin ab AB B Ab sin sin 5 3 则 S absinC b 1 ABC 2 1 2 1 5 3 2 5 52 解得 b 于是 a 3 15 3 再由正弦定理得 c A Ca sin sin 3 152 外接圆的直径 2R A a sin3 35 R 于是外接圆的面积的面积 S 6 35 2 R 12 25 点评 综合应用同角三角函数关系式 正弦定理和三角形的面积公式进行计算 点击双基点击双基 1 在 ABC 中 角均为锐角 且则 ABC 的形状是 A B sincosBA A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 解 都是锐角 则cossin sin 22 AABA B 222 AB ABC 答案 C 2 在中 则 ABC 4 1 1A B C a b c A B C D 4 1 12 1 12 1 13 1 1 解解 A 120 B C 30 4 1 1A B C a b c 3 1 1 答案 D 3 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状是 2 2 tan tan b a B A A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 解 2 2 sincossincossin sincossincos cossinsincossin ABABA AABB ABBAB 用心 爱心 专心 3 sin2sin2 2222ABABAB 或 答案 B 4 在在 ABC 中 若中 若则则一定大于一定大于 对吗 填 对吗 填 对或错 对或错 sinsinBA AB 解 解 则则 sinsinBA 22 ab abAB RR 答案答案 对对 5 在 在 ABC 中 若中 若 aCBb则 135 30 2 00 解 解 00 sin62 15 4sin4sin154 sinsinsin4 abbA AaA ABB 答案 答案 26 课后作业课后作业 一 选择题一 选择题 1 在 ABC 中 若 则 ABC 的形状是 CBAcossin2sin CBA 222 sinsinsin A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形 解 a b cA 90B C 90 cosC sinB CBA 222 sinsinsin 222 又 sinB B 45 C CBAcossin2sin 2 2 答案 C 2 在 ABC 中 已知 b 6 c 10 B 30 则解此三角形的结果是 A 无解 B 一解 C 两解 D 解的个数不能确定 解 B b sin sinC 有两解 C c sin b Bcsin 6 5 答案 C 3 已知 ABC 中 三角形面积 则角 A 等于 2b 3c 3 2 S A B C 或 D 或30 60 30 150 60 120 解 由可得 或 1 sin 2 SbcA 3 sin 2 A 60A 120 答案 D 4 已知 ABC 中 a b c 1 2 则 A B C 等于 3 A 1 2 3 B 2 3 1 C 1 3 2 D 3 1 2 解 解 a b c 1 2c a b ABC 是直角三角形且 C 90 A 30 B 60 3 222 答案 A 用心 爱心 专心 4 5 在 在 ABC 中 若中 若 则 则 ABC 的形状是 的形状是 2lgsinlgcoslgsinlg CBA A 直角三角形 直角三角形 B 等边三角形 等边三角形 C 不能确定 不能确定 D 等腰三角形 等腰三角形 解 解 sinsin lglg2 2 sin2cossin cossincossin AA ABC BCBC sin 2cossin sincoscossin0 BCBCBCBC sin 0 BCBC 答案 等腰三角形答案 等腰三角形 6 在 ABC 中 A 60 a b 4 那么满足条件的 ABC 6 A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 解 bsinA 2 a bsinA 不能构成三角形 3 答案 D 7 已知 为的三个内角 的对边 向量 abcABC ABC 31 m 若 且 则角 的大小分别 cossin AA n mncoscossinaBbAcC AB 为 A B C D 6 3 2 36 3 6 3 3 解 mn3cossin0AA 3 A 又coscossinaBbAcC 2 sincossincossin ABBAC 2 sincossincossin sinsinABBAABCC 2 C 6 B 答案 C 8 ABC 中 则 ABC 的周长为 3 3 ABC A B 4 3sin 3 3 B 4 3sin 3 6 B C D 6sin 3 3 B 6sin 3 6 B 解 在中 由正弦定理得 化简得 AC ABC 2 3 3 sin B AC sin32B 化简得 AB 2 3 3 3 sin B AB 3 2 sin 32B 用心 爱心 专心 5 所以三角形的周长为 3 AC AB 3 Bsin32 3 2 sin 32B 3 3 6 sin 6cos3sin33 BBB 答案 D 二 填空二 填空 9 在中 若 且 则 ABC sin sin sin4 5 6ABC 15abc a b c 解 a b c 4 5 64 5 6 sin sin sin4 5 6ABC a b c 10 若在 若在 ABC 中 中 则则 0 60 1 3 ABC AbS CBA cba sinsinsin 解 解 2 113 sin3 4 13 13 222 ABC SbcAccaa 132 39 sinsinsinsin33 2 abca ABCA 答案 答案 3 392 11 在锐角ABC 中 1 2 BCBA 则 cos AC A 的值等于 AC的取值范围为 解 设 2 AB 由正弦定理得 12 sin2sin2coscos ACBCACAC 由锐角ABC 得0290045 又01803903060 故 23 3045cos 22 2cos 2 3 AC 答案 答案 2 2 3 三 解答题三 解答题 12 在 ABC 中 已知 且 sinAsinB sin C 判断 ABC 的形状 a ab AB B sinsin sin 2 解 由 b a ab a ab AB B sinsin sin ab b 22 又 sinAsinB sin C 由正弦定理得 ab c b a c 即 b a c 22 222222 ABC 为直角三角形 用心 爱心 专心 6 13 在中 ABC 1 tan 4 A 3 tan 5 B 1 求角 C 的大小 2 若的最长边为 求最短边的长 ABC 17 解 1 CAB tantan tantan 1tantan AB CAB AB 13 45 1 13 1 45 又 角 C 为的内角 ABC 3 4 C 2 为最长边 3 4 C AB17AB 又 角最小 边最短 tantanAB AB 0 2 AB ABC 由得 1 tan 4 A 17 sin 17 A 由正弦定理 得 sinsin ABBC CA 1717 sin2 3 sin17 sin 4 AB BCA C 所以最短边的长为 2 14 已知 ABC的三个内角A B C成等差数列 其外接圆半径为1 且有 1 求A B C的大小 2 求 ABC的的面积 2 2 cos 2 2 sinsin CACA 解 A B C 180 且2B A C B 60 A C 120 C 120 A 2 2 cos 2 2 sinsin CACA 60 sin21 2 2 cos 2 3 sin 2 1 02 AA