【步步高】2014届高三数学一轮 12.4 离散型随机变量及其分布列导学案 理 北师大版

1 学案学案 6666 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 导学目标导学目标 1 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布列对于 刻画随机现象的重要性 2 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单的应用 自主梳理 1 离散型随机变量的分布列 1 随着试验结果变化而变化的变量称为 所有取值可以一一列出 这样 的随机变量叫做 2 设离散型随机变量X可能取的不同值为x1 x2 xi xn X取每一个值 xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 则称表 Xx1x2 xi xn Pp1p2 pi pn 为离散型随机变量X的概率分布列 它具有的性质 pi 0 i 1 2 n pi 1 n i 1 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 2 如果随机变量X的分布列为 X10 Ppq 其中 0 p 1 q 1 p 则称离散型随机变量X服从参数为p的 3 超几何分布列 在含有M件次品数的N件产品中 任取n件 其中恰有X件次品 则事件 X k 发生 的概率为P X k k 0 1 2 m 其中m min M n 且n N M N n M N N N 随机变量X的分布列具有以下表格的形式 X01 m P C0MCn 0N M Cn N C1MCn 1N M Cn N Cm MCn mN M Cn N 则称随机变量X服从超几何分布 自我检测 1 2011 福州月考 袋中有大小相同的红球 6 个 白球 5 个 从袋中每次任意取出 1 个球 直到取出的球是白球时为止 所需要的取球次数为随机变量 则 的可能值为 A 1 2 6 B 1 2 7 C 1 2 11 D 1 2 3 2 下列表中能成为随机变量X的分布列的是 A X 1 01 P0 30 40 4 B X123 P0 40 7 0 1 2 C X 1 01 P0 30 40 3 D X123 P0 30 40 4 3 已知随机变量X的分布列为P X i i 1 2 3 则P X 2 等于 i 2a A B C D 1 9 1 6 1 3 1 4 4 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍 用随机变量 描述 1 次试验成功的次数 则P 0 等于 A 0 B C D 1 2 1 3 2 3 5 2011 苏州模拟 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中随机取出 2 个球 设其中有 个红球 则随机变量 的概率分布列为 探究点一 离散型随机变量的分布列 例 1 一袋中装有编号为 1 2 3 4 5 6 的 6 个大小相同的球 现从中随机取出 3 个球 以X表示取出的最大号码 求X的分布列 变式迁移 1 将 3 个小球任意地放入 4 个大玻璃杯中去 杯子中球的最大数记为 求 的分布列 探究点二 超几何分布 例 2 2011 淮南模拟 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生 4 名女 生 从中选出 4 人参加数学竞赛考试 用X表示其中的男生人数 求X的分布列 3 变式迁移 2 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 设随机变量X表示所 选 3 人中女生的人数 1 求X的分布列 2 求 所选 3 人中女生人数X 1 的概率 探究点三 离散型随机变量分布列的应用 例 3 袋中装着标有数字 1 2 3 4 5 的小球各 2 个 从袋中任取 3 个小球 按 3 个小 球上最大数字的 9 倍计分 每个小球被取出的可能性都相等 用X表示取出的 3 个小球上 的最大数字 求 1 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率 2 随机变量X的分布列 3 计分介于 20 分到 40 分之间的概率 变式迁移 3 袋中有 4 个红球 3 个黑球 从袋中随机地抽取 4 个球 设取到一个红球 得 2 分 取到一个黑球得 1 分 1 求得分X的分布列 2 求得分大于 6 的概率 4 1 离散型随机变量的概率分布列是求随机变量的数学期望和方差的基础 而求分布列 需要综合应用排列 组合和概率的相关知识 是高考考查的重点内容之一 复习时应 注意 分布列的计算是概率部分计算的延伸 正确计算的基础是对基本概念的理解 注意明确数学符号的含义 2 求解离散型随机变量的概率分布问题的步骤 1 明确随机变量的取值范围 即找出随机变量X所有可能取值xi i 1 2 n 2 求出每个随机变量值的概率P X xi Pi 3 用数表表示出分布列 3 求解离散型随机变量的概率分布问题时的注意事项 1 搞清随机变量的每一个取值所对应的基本随机事件 2 计算必须准确无误 3 注意运用概率分布的两条性质检验所求概率分布是否正确 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 设X是一个离散型随机变量 其分布列为 1 01 P 1 2 1 2q q2 则q的值为 A 1 B 1 C 1 D 1 2 2 2 2 2 2 2 2011 聊城调研 袋中有大小相同的 5 只钢球 分别标有 1 2 3 4 5 五个号码 任 意抽取 2 个球 设 2 个球号码之和为X 则X的所有可能取值个数为 A 25 B 10 C 7 D 6 3 已知随机变量 的分布列为P k k 1 2 3 4 则P 2 4 等于 a 2k A B C D 1 16 1 5 1 4 1 3 4 已知随机变量 的概率分布如下 12345678910 P 2 3 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 m 则P 10 等于 A B C D 2 39 2 310 1 39 1 310 5 在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便 现从中任意选 10 个村庄 用X表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数 下列概率中等于的是 C4 7C6 8 C1015 A P X 2 B P X 2 C P X 4 D P X 4 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2011 宜城月考 若某一射手射击所得环数X的分布列如下 5 X45678910 P0 020 040 060 090 280 290 22 则此射手 射击一次命中环数X 7 的概率是 7 某电子管正品率为 次品率为 现对该批电子管有放回地进行测试 设第 次 3 4 1 4 首次测到正品 则P 3 8 如图所示 A B两点 5 条连线并联 它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为 2 3 4 3 2 现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 则P 8 三 解答题 共 38 分 9 12 分 已知随机变量 的分布列为 2 1 0123 P 1 12 3 12 4 12 1 12 2 12 1 12 分别求出随机变量 1 2 2的分布列 1 2 10 12 分 2011 芜湖模拟 设离散型随机变量 的分布列 P ak k 1 2 3 4 5 k 5 1 求常数a的值 2 求P 3 5 3 求P 1 10 7 10 6 11 14 分 某批产品成箱包装 每箱 5 件 一用户在购进该批产品前先取出 3 箱 再 从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验 设取出的第一 二 三箱中分别有 0 件 1 件 2 件 二等品 其余为一等品 1 用 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数 求 的分布列 2 若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品 用户就拒绝购买这批产品 求这批 产品被用户拒绝购买的概率 学案学案 6666 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 自主梳理 1 1 随机变量 离散型随机变量 2 概率之和 2 两点分布 3 Ck MCn kN M Cn N 自我检测 1 B 除了白球外 其他的还有 6 个球 因此取到白球时取球次数最少为 1 次 最多 为 7 次 2 C A D 的概率之和不等于 1 B 中P 3 0 1 0 故均不正确 所以选 C 3 C 由分布列的性质知 1 1 2a 2 2a 3 2a a 3 P X 2 2 2a 1 3 4 C P 0 P 1 P 0 2P 0 3P 0 1 P 0 1 3 5 012 P 1 10 3 5 3 10 解析 P 0 P 1 1 C2 5 1 10 C1 2C1 3 C2 5 6 10 3 5 P 2 C2 3 C2 5 3 10 012 P 1 10 3 5 3 10 课堂活动区 例 1 解题导引 求离散型随机变量的分布列步骤是 1 找出随机变量X的所有可能 取值xi i 1 2 2 求出取各值xi的概率P X xi 3 列表 求出分布列后要注 7 意应用性质检验所求的结果是否准确 解 X的可能取值为 3 4 5 6 从而有 P X 3 P X 4 C3 3 C3 6 1 20 C1 1 C2 3 C3 6 3 20 P X 5 P X 6 C1 1 C2 4 C3 6 3 10 C1 1 C2 5 C3 6 1 2 故X的分布列为 X3456 P 1 20 3 20 3 10 1 2 变式迁移 1 解 依题意可知 杯子中球的最大数 的所有可能值为 1 2 3 当 1 时 对应于 4 个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形 当 2 时 对应于 4 个杯 子中恰有一个杯子放两球的情形 当 3 时 对应于 4 个杯子恰有一个杯子放三个球的 情形 从而有P 1 P 2 P 3 A3 4 43 3 8 C2 3 C1 4 C1 3 43 9 16 C1 4 43 1 16 的分布列为 123 P 3 8 9 16 1 16 例 2 解题导引 对于服从某些特殊分布的随机变量 其分布列可以直接应用公式给 出 超几何分布描述的是不放回抽样问题 随机变量为抽到的某类个体的个数 解 依题意 随机变量X服从超几何分布 所以P X k k 0 1 2 3 4 Ck6C4 k4 C 4 10 P X 0 C0 6C4 4 C 4 10 1 210 P X 1 C1 6C3 4 C 4 10 4 35 P X 2 C2 6C2 4 C 4 10 3 7 P X 3 C3 6C1 4 C 4 10 8 21 P X 4 C4 6C0 4 C 4 10 1 14 X的分布列为 X01234 P 1 210 4 35 3 7 8 21 1 14 变式迁移 2 解 1 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 所选的 3 人中 女生随机变量X 0 1 2 其概率 P X k k 0 1 2 故X的分布列为 Ck2C3 k4 C3 6 X012 P 1 5 3 5 1 5 2 由 1 可得 所选 3 人中女生人数X 1 的概率为 P X 1 P X 0 P X 1 1 5 3 5 4 5 例 3 解题导引 1 是古典概型 2 关键是确定X的所有可能取值 3 计分介于 20 分到 40 分之间的概率等于X 3 与X 4 的概率之和 8 解 1 方法一 记 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同 为事件A 则P A C3 5C1 2C1 2C1 2 C 3 10 2 3 方法二 记 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同 为事件A 记 一次取出的 3 个小球上有两个数字相同 为事件B 则事件A和事件B是对立事件 因为P B C1 5C2 2C1 8 C 3 10 1 3 所以P A 1 P B 1 1 3 2 3 2 随机变量X的可能取值为 2 3 4 5 取相应值的概率分别为P X 2 C3 4 C 3 10 1 30 P X 3 C1 2C2 4 C 3 10 C2 2C1 4 C 3 10 2 15 P X 4 C1 2C2 6 C 3 10 C2 2C1 6 C 3 10 3 10 P X 5 C1 2C2 8 C 3 10 C2 2C1 8 C 3 10 8 15 随机变量X的分布列为 X2345 P 1 30 2 15 3 10 8 15 3 由于按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分 所以当计分介于 20 分 40 分时 X的取 值为 3 或 4 所以所求概率为 P P X 3 P X 4 2 15 3 10 13 30 变式迁移 3 解 1 得分X的所有可能值为 5 6 7 8 P X 5 C1 4C3 3 C4 7 4 35 P X 6 C2 4C2 3 C4 7 18 35 P X 7 C3 4C1 3 C4 7 12 35 P X 8 C4 4C0 3 C4 7 1 35 X的分布列为 X5678 P 4 35 18 35 12 35 1 35 2 得分大于 6 的概率为 P X 7 P X 8 12 35 1 35 13 35 课后练习区 1 D 由分布列的性质 有 Error 解得q 1 2 2 或由 1 2q 0 q 可排除 A B C 1 2 2 C X的可能取值为 1 2 3 1 3 4 1 4 5 2 3 1 5 6 4 2 2 5 7 3 4 3 5 8 4 5 9 9 3 B 1 a a 2 a 4 a 8 a 16 16 15 P 2 4 P 3 P 4 16 15 8 16 15 16 2 15 1 15 1 5 4 C P 10 1 2 3 1 1 39 1 1 3 1 39 5 C X服从超几何分布 P X k 故k 4 Ck7C10 k8 C1015 6 0 88 解析 环数X 7 的概率是 0 09 0 28 0 29 0 22 0 88 7 3 64 解析 P 3 1 4 1 4 3 4 3 64 8 4 5 解析 方法一 由已知 的取值为 7 8 9 10 P 7 P 8 C2 2C1 2 C3 5 1 5 C2 2C1 1 C2 2C1 2 C3 5 3 10 P 9 P 10 C1 2C1 2C1 1 C3 5 2 5 C2 2C1 1 C3 5 1 10 的概率分布列为 78910 P 1 5 3 10 2 5 1 10 P 8 P 8 P 9 P 10 3 10 2 5 1 10 4 5 方法二 P 8 1 P 7 1 C2 2C1 2 C3 5 4 5 9 解 由于 1 对于不同的 有不同的取值 1 1 2 所以 1的分布列为 1 1 1 2 0 1 2 1 3 2 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 6 分 2 2对于 的不同取值 2 2 及 1 1 2分别取相同的值 4 与 1 即 2取 4 这个值的概率应是 取 2 与 2 值的概率与