高三数学高考复习：高考三角命题的“包装”与创新

用心 爱心 专心 高考三角命题的高考三角命题的 包装包装 与创新与创新 三角函数是高考的重点内容之一 以其基础性 工具性 综合性等特征 在数学中有 广泛的应用 本文将以近几年高考三角解答题为例 简述高考中三角命题的 包装 与创 新 一 用函数性质进行 包装 三角函数是一种特殊的函数 具有一些特殊的性质 比如有界性 周期性 对称性 等 因而在高考命题中 三角函数往往借这些函数性质进行 包装 高 考 资 源 网 例 1 已知函数 sin 0 0 f xx 是R上的偶函数 其图象关于点 3 0M 对称 且在区间0 上是单调函数 求 和 的值 解 由 f x是偶函数 得 fxf x 即sin sin xx 所以cossincossinxx 对任意x都成立 且0 所以得 cos0 由0 得 由 f x的图象关于点M对称 得 33 4 fxfx 取0 x 得 33 ff 所以 3 0f 333 sincos 4 f 3 cos0 又0 得 3 k 012k 2 21 012 3 kk 当0k 时 2 3 2 sin 3 f xx 在0 上是减函数 当1k 时 2 sin 2f xx 在0 上是减函数 当2k 时 10 3 sinf xx 在0 上不是单调函数 用心 爱心 专心 综上可知 2 3 或2 二 用向量进行 包装 三角函数与向量的交汇 通过考查向量的概念与运算 来考查三角恒等变形和求值等 问题 这已成为高考命题的一个重要考查方式 例 2 在直角坐标系xOy中 已知点 2cos12cos22 Pxx 和点 cos1 Qx 其中 0 x 若向量OP 与OQ 垂直 求x的值 解 2cos12cos22 OPxx cos1 OQx 由OPOQ 得cos 2cos1 2cos22 0 xxx 化简 得 2 2coscos0 xx 解得cos0 x 或 1 cos 2 x 0 x x 或x 例 3 设函数 f x Aa b 其中向量2cos 1x a cossin2xx 3b x R 1 若 13f x 且x 求x 2 若函数2sin2yx 的图象按向量 mnm c平移后得到函数 yf x 的 图象 求实数mn 的值 解 1 依题意 得 2 2cos3sin212sin 2f xxxx 由12sin 213x 得 3 sin 2 62 x 3 x 2 2 x 2 6 x 即x 2 函数2sin2yx 的图象按向量mnm c 平移后得到 2sin2 yxmn 的图象 即函数 yf x 的图象 由 1 得 2sin21f xx 用心 爱心 专心 m m 1n 三 用数列进行 包装 三角函数的周期性与数列有密不可分的关系 下面这道广东卷高考试题就是三角函数用数 列进行 包装 的很好的佐证 例 4 已知角 成公比为 2 的等比数列 0 2 sin sin sin 也成 等比数列 求 的值 解 成公比为 2 的等比数列 24 sinsinsin 成等比数列 sinsinsin2sin4 sinsinsinsin2 2 cos2coscos10 解得cos1 或 1 cos 2 当cos1 时 sin0 而等比数列的首项不能为零 故cos1 应舍去 当 1 cos 2 0 2 时 2 或 4 2 8 或 4 8 16 四 用解三角形进行 包装 在考查解三角形的同时又考查运用三角公式进行恒等变形的能力 故这类题型倍受命题者 青睐 如此 包装 顺理成章 例 5 已知锐角三角形ABC中 3 sin 5 AB 1 sin 5 AB 1 求证 tan2tanAB 2 设3AB 求AB边上的高 1 证明 3 sin 5 AB 1 sin 5 AB 3 sincoscossin 5 1 sincoscossin 5 ABAB ABAB 即 2 sincos 5 1 cossin 5 AB AB 两式相除 得 tan 2 tan A B 用心 爱心 专心 tan2tanAB 2 解 AB 3 sin 5 AB 3 tan 4 AB 即 tantan3 1tantan4 AB AB 将tan2tanAB 代入上式并整理 得 2 2tan4tan10BB 解得 26 tan 2 B 舍去