广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文试题

绝密绝密 启用前启用前 2013 学年高三调研测试 一 数学 文科 2013 8 本试卷共 6 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅 笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将答题卡一并交 回 参考公式 参考公式 锥体体积公式ShV 3 1 其中 S 为锥体的底面积 h为锥体的高 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 复数z满足 2 1 i2z i为虚数单位 则z的共轭复数z为 A 1 i B 1 i C 3i D 3 i 已知集合 A B均为全集 1 2U 形形3 4的子集 且 CUAB 4 1B 形2 则CUAB A 3 B 4 C 3 4形 D 3 已知等差数列 n a满足 24 4aa 35 10aa 则它的前 10 项和 10 S A 85 B 135 C 95 D 23 4 设 0 22 0 20 2 log2 log3 2 0 2abcd 则这四个数的大小关系是 A abcd B dcab C bacd D badc 5 对于平面 和直线a b m n 下列命题中真命题是 A 若 am an mn 则a B 若 ab 则 ab C 若 ab b 则 a D 若 abab 则 6 已知向量 2 1 a 1 0 b 2 kc 若 2 a b c 则k A 2 B 2 C 8 D 8 7 给出下列四个结论 若命题 2 000 10pxxx R 则 2 10pxxx R 340 xx 是 30 x 的充分而不必要条件 命题 若0m 则方程 2 0 xxm 有实数根 的逆否命题为 若方程 2 0 xxm 没有实数根 则m 0 若 0 0 4abab 则 ba 11 的最小 值为1 其中正确结论的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 将函数 sin 2 6 f xx 的图像向右平移 6 个单位 那么所得的图像所对应的函数解 析式是 A sin2yx B cos2yx C 2 sin 2 3 yx D sin 2 6 yx 9 某程序框图如图 1 所示 若该程序运行后输 出的值是 9 5 则 A 4a B 5a C 6a D 7a 10 已知函数 xf是定义在 上的奇函数 若对于任意的实数0 x 都有 2 xfxf 且当 2 0 x时 1 log 2 xxf 则 2012 2011 ff 的值为 A 1 B 2 C 2 D 1 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 一 必做题 一 必做题 1111 1313 题 题 11 在区间 33形上随机取一个数x 使得函数 131f xxx 有意义的概率为 12 设变量 x y满足约束条件 20 240 240 xy xy xy 则目标函数2zxy 的最大值 为 13 已知双曲线 22 22 10 0 xy ab ab 的两条渐近线与抛物线 2 20ypx p 的准线分别交 于 A B两点 O为坐标原点 若双曲线的离心率为 2 AOB 的面积为3 则p 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合 极轴与x轴的正半轴重合 且长度单位相 同 圆C的参数方程为 1 3cos 1 3sin x y 为参数 点Q的极坐标为 2 4 若点P是圆C上的任意一点 P Q两点间距离的最小 值为 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 2 AB是 O的直径 P是 AB延长线上的一点 过点P作 O的切线 切点为C 32 PC 若 30CAP 则 O的直径 AB 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分分 解答须写出文解答须写出文字说字说 明 证明过程和演算步骤明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分12分 在ABC 中 角 A B C的对边分别为 a b c向量 BABAm sin cos BBnsin cos 且 5 3 nm 求sin A的值 若4 2a 5b 求角B的大小及向量BA 在BC 方向上的投影 17 本小题满分 12 分 某中学作为蓝色海洋教育特色学校 随机抽取 100 名学生 进行一次海洋知识测试 按测试成 绩分组如下 第一组 65 70 第二组 70 75 第三组 75 80 第四组 80 85 第五 组 85 90 假设考试成绩均在 65 90 内 得到频率分布直方图如图 3 求测试成绩在 80 85 内的频率 从第三 四 五组 同学中用分层抽样的方法抽取 6 名同学组成海洋知识宣讲小 组 定期在校内进行义务宣讲 并在这 6 名同学中随机选取 2 名参加市组织的蓝色海洋教育 义务宣讲队 求第四组至少有 一名同学被抽中的的概率 18 本小题满分 14 分 如图 4 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为菱形 其中2PAPDAD 60BAD Q为AD的中点 1 求证 ADPQB 平面 2 若平面PAD 平面ABCD 且M为PC 的中点 求四棱锥MABCD 的体积 19 本小题满分 1 分 若数列 n a的前n项和为 n S 对任意正整数n都有61 2 nn Sa 记 1 2 log nn ba 1 求 1 a 2 a的值 2 求数列 n b的通项公式 3 若 11 0 nnn ccb c 求证 对任意 23 1113 2 4 n nnN ccc 都有 20 本小题满分14分 已知椭圆R 22 22 10 xy ab ab 的长轴长为 4 且过点 1 3 2 形 求椭圆R的方程 设A B M是椭圆上的三点 若 34 55 OMOAOB 点N为线段AB的中点 C D两点的坐标分别为 6 0 2 6 0 2 求证 2 2NCND 21 本小题满分 1 分 设函数 1 ln1 a f xxax x 1 当1a 时 求曲线 f x在1x 处的切线方程 2 当 1 3 a 时 求函数 f x的单调区间 3 在 2 的条件下 设 函数 2 5 2 12 g xxbx 若对于 1 x 1 2 2 x 0 1 使 12 f xg x 成立 求实数b的取值范围 201201 学年高三调研测试 学年高三调研测试 一一 文科数学参考答案与评分标准文科数学参考答案与评分标准 说明 1 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法 供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评 分标准给以相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查共一 选择题 本大题考查共10小题 每小题小题 每小题5分 满分分 满分50分 分 题号题号12345678910 答案答案 C AA 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 其中分 其中 14 15 题是选做题 考生只能选做题是选做题 考生只能选做 一题 一题 11 2 3 12 12 13 2 14 1 15 4 三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 本小题主要考查向量数量积 投影 三角特殊值的运算 本小题主要考查向量数量积 投影 三角特殊值的运算 三角函数的基本关系三角函数的基本关系 解三角形等知识 解三角形等知识 考查化归 转化 方程的数学思想方法 以及运算求解能力 考查化归 转化 方程的数学思想方法 以及运算求解能力 解 由 3 5 m n 得 3 coscossinsin 5 ABBABB 1 分 3 cos 5 ABB 2 分 3 cos 5 A 0A 2 sin1 cosAA 分 2 34 1 55 分 由正弦定理 有 sinsin ab AB 分 sin sin bA B a 4 5 2 5 24 2 分 ab AB 分 4 B 8 分 由余弦定理 有 2 22 3 4 2 5 2 5 5 cc 9 分 1c 或7c 舍去 10 分 故向量BA 在BC 方向上的投影为coscosBABcB 11 分 22 1 22 12 分 17 本小题满分 12 分 H A B C D P M Q 本小题主要考查考查分层抽样 互斥事件 古典概型等知识 考查或然与必然 本小题主要考查考查分层抽样 互斥事件 古典概型等知识 考查或然与必然 样本估计总体的样本估计总体的 统计思想方法 以及数据观察能力 抽象思维能力和应用意识 统计思想方法 以及数据观察能力 抽象思维能力和应用意识 解 测试成绩在 80 85 内的频率为 10 01 0 070 060 025 2 分 0 2 3 分 第三组的人数等于0 06 5 100 30 第四组的人数等于0 2 100 20 第五组的人数等于0 02 5 100 10 5 分 分组抽样各组的人数为第三组 人 第四组 人 第五组 人 6 分 设第三组抽到的 人为 123 A A A 第四组抽到的 人为 12 BB形 第五组抽到的 人为C 7 分 这 6 名同学中随机选取 2 名的可能情况有 种 如下 121311121232122 AAAAABABACAAABAB形形形形形形形形形形形形形形形 2313231212 ACAABACBBBCBC形形B形形形形形形形形 10 分 设 第四组 名同学至少有一名同学被抽中 为事件M 事件M包含的事件个数有 种 即 11 AB形形 12 AB形形 21 AB形 22 AB形 31 AB形 3212 ABBB形形形形 1 BC形 2 BC形 11 分 所以 事件M的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为 93 155 P M 12 分 18 本小题满分 14 分 本小题主要考查空间线面关系 几何体的体积等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方 本小题主要考查空间线面关系 几何体的体积等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方 法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 解 1 PAPD Q为中点 ADPQ 分 连DB 在ADB 中 ADAB 60BAD ABD 为等边三角形 Q为AD的中点 ADBQ 2 分 PQBQQ PQ 平面PQB BQ 平面PQB 三个条件少写一个不得三个条件少写一个不得该该步步骤骤分分 3 分 AD 平面PQB 4 分 2 连接QC 作MHQC 于H 5 分 PQAD PQ 平面PAD 平面PAD 平面 ABCDAD 平面PAD 平面 ABCD 6 分 PQABCD 平面 7 分 QC ABCD平面 PQQC 8 分 PQMH 9 分 MHABCD 平面 10 分 又 1 2 PMPC 1133 2 2222 MHPQ 11 分 在菱形ABCD中 2BD 方法一 0 1 sin60 2 ABD SABAD 13 2 2 3 22 12 分 22 3 ABDABCD SS 形形 13 分 MABCD V 1 3 ABCD SMH 13 2 3 32 1 14 分 方法二 22 2cosACABBCAB BCABC 220 222 2 2cos120 1 4 482 3 2 12 分 11 2 322 3 22 ABCD SACBD 形形 13 分 MABCD V 1 3 ABCD SMH 菱形 13 2 31 32 14 分 19 本小题 14 分 本小题主要考查数列通项 递推列项 裂项求和与不等式等知识 考查化归 转化 方程的数学 本小题主要考查数列通项 递推列项 裂项求和与不等式等知识 考查化归 转化 方程的数学 思想方法 以及运算求解能力 思想方法 以及运算求解能力 解 1 由 11 61 2Sa 得 11 61 2aa 解得 1 1 8 a 1 分 22 61 2Sa 得 122 61 2aaa 解得 2 1 32 a 3 分 2 由61 2 nn Sa 当2n 时 有 11 61 2 nn Sa 4 分 得 1 1 4 n n a a 分 数列 n a是首项 1 1 8 a 公比 1 4 q 的等比数列 分 121 1 1 111 842 nn n n aa q 分 21 11 22 1 loglog21 2 n nn ban 分 3 1 21 nnn ccbn 11 2 11 nnn ccbn 1 122 2 21 nnn ccbn 2 322 2 2 1 ccb 211 2 1 1 ccb 1n 分 1 2 1n 得 2 11 2 1 2 3 11 1 nn ccbnnn 10 分 11 n cnn 11 分 11111 11211 n cnnnn 12 分 23 1111111111111 1 232435211 n cccnnnn 111131 11 1 221421nnnn 13 分 1 11 0 21nn 23 1113 4 n ccc 对任意 2 nnN 均成立 14 分 20 本小题满分 14 分 本小题主要考查椭圆的定义 方程 向量的运算等知识 考查化归转化 方程 待定系数法等的 本小题主要考查椭圆的定义 方程 向量的运算等知识 考查化归转化 方程 待定系数法等的 思想方法 考查数学探究能力以及运算求解能力 思想方法 考查数学探究能力以及运算求解能力 解 1 由已知 22 24 1 3 4 1 a ab 分 解得2 1ab 分 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 分 设 1122 MM A x yB xyM xy形 则 2 2 1 1 1 4 x y 2 2 2 2 1 4 x y 6 分 由 34 55 OMOAOB 得 1212 3434 5555 MM xxxyyy 即 1212 3434 5555 Mxxyy 分 M是椭圆R上一点 所以 2 2 12 12 34 3455 1 455 xx yy 分 即 22 22 22 1212 1212 3434 21 4545554 xxx x yyy y 得 22 12 12 3434 21 55554 x x y y 故 12 12 0 4 x x y y 分 又线段AB的中点N的坐标为 1212 22 xxyy 10 分 2 12 2 22 22 121212 1212 112 21 2224244 xx yyxxx x yyy y 11 分 线段AB的中点N 1212 22 xxyy 在椭圆 2 2 21 2 x y 上 12 分 椭圆 2 2 21 2 x y 的两焦点恰为C 6 0 2 D 6 0 2 13 分 2 2NCND 14 分 21 本小题满分 14 分 本小题