【新课标名师命题】2012届高三数学 函数单元验收试题（2） 新人教版

用心 爱心 专心 1 20112011 20122012 学年度上学期高三一轮复习数学单元验收试题 学年度上学期高三一轮复习数学单元验收试题 2 2 新人新人 教教 命题范围 函数命题范围 函数 说明 本试卷分第 卷和第 卷两部分 共 150 分 答题时间 120 分钟 第 卷 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代 号填在题后的括号内 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 函数 0 5 1 log 43 y x 的定义域为 A 3 4 1 B 3 4 C 1 D 3 4 1 1 2 函数164xy 的值域是 A 0 B 0 4 C 0 4 D 0 4 3 下列四类函数中 有性质 对任意的x 0 y 0 函数f x 满足f x y f x f y 的是 A 幂函数B 对数函数C 指数函数D 余弦函数 4 若 0 x是方程式 lg2xx 的解 则 0 x属于区间 A 0 1 B 1 1 25 C 1 25 1 75 D 1 75 2 5 函数y log x2 6x 17 的值域是 A RB 8 C 3 D 3 6 已知函数 lg f xx 若ab 且 f af b 则ab 的取值范围是 A 1 B 1 C 2 D 2 7 在下列四个函数中 满足性质 对于区间 1 2 上的任意 1 x 2 x 12 xx 用心 爱心 专心 2 2121 f xf xxx 恒成立 的只有 A 1 f x x B f xx C 2f x D 2 f xx 8 若函数 f x 2 1 2 log 0 log 0 x x x x 若 f a f a 则实数 a 的取值范围是 A 1 0 0 1 B 1 1 C 1 0 1 D 1 0 1 9 函数 2 2xyx 的图像大致是 10 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 则a A 64 B 32 C 16 D 8 11 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为 L1 5 06x 0 15 x 2和 L2 2 x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售 15 辆车 则能获 得的最大利润为 A 45 606B 45 6C 45 56D 45 51 12 设函数的集合 2 11 log 0 1 1 0 1 22 Pf xxab ab 平面上点的集 合 11 0 1 1 0 1 22 Qx y xy 则在同一直角坐标系中 P中函数 f x的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 A 4 B 6 C 8 D 10 用心 爱心 专心 3 第 卷 二 填空题 请把答案填在题中横线上 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 13 函数 f x对于任意实数x满足条件 1 2f x f x 若 15 f 则 5ff 14 已知0t 则函数 2 41tt y t 的最小值为 15 已知定义域为0 的函数f x 满足 对任意x0 恒有f 2x 2f x 成立 当x 1 2时 f x 2 x 给出如下结论 对任意mZ 有 m f 2 0 函数 f x 的值域为 0 存在nZ 使得 n f 2 1 9 函数f x 在区间 a b上 单调递减 的充要条件是 存在Zk 使得 1 2 2 kk a b 其中所有正确结论的序号是 16 汽车在行驶过程中 汽油平均消耗率 g 即每小时的汽油耗油量 单位 L h 与汽车行 驶的平均速度 v 单位 km h 之间有所示的函数关系 1500 5 50 2500 1 2 vvg 汽油的使用率最高 即每千米汽油平均消耗量最小 单位 L km 则汽油的使用率 最高时 汽车速度是 L km 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 个大题 共 76 分 17 12 分 设函数 2 1 ax f x bxc 是奇函数 a b c都是整数 且 1 2f 2 3f 求 a b c的值 当0 x f x的单调性如何 用单调性定义证明你的结论 18 12 分 已知二次函数cbxaxxf 2 用心 爱心 专心 4 若 a b c 且 f 1 0 证明 f x 的图象与 x 轴有 2 个交点 在 1 的条件下 是否存在m R 使池f m a 成立时 f m 3 为正数 若存在 证 明你的结论 若不存在 说明理由 若对 212121 xfxfxxRxx 且 2 2 1 21 个不等实根有方程xfxfxf 21 xx证明必有一个根属于 19 12 分 设函数 7 7 2 2 xfxfxfxfxf 上满足在 且 在闭区间 0 7 上 只有 0 3 1 ff 试判断函数 xfy 的奇偶性 试求方程0 xf在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 20 12 分 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年的能源消耗费用 C 单位 万元 与隔热层厚度 x 单位 cm 满足关系 用心 爱心 专心 5 C x 010 35 k x x 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x 为 隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 求 k 的值及 f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x 达到最小 并求最小值 21 12 分 已知函数 2 1 ln1f xaxax 讨论函数 f x的单调性 设2a 证明 对任意 12 0 x x 1212 4 f xf xxx 22 14 分 已知函数 3 x x xf 其图象记为曲线C 求函数 x f的单调区间 证明 若对于任意非零实数 1 x 曲线 C 与其在点 111 P x f x 处的切线交于另一点 用心 爱心 专心 6 222 P x f x 曲线 C 与其在点 222 P x f x 处的切线交于另一点 333 P x f x 线 段 1 122312 2 PP P P S S C S 与曲线所围成封闭图形的面积分别记为S则为定值 对于一般的三次函数 32 g x ax bx cx d a0 请给出类似于 ii 的 正确命题 并予以证明 参考答案 一 选择题 1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 6 C 7 A 8 C 9 A 10 A 11 B 12 B 二 填空题 用心 爱心 专心 7 13 5 1 14 2 15 16 650 v km h 三 解答题 17 解 由 2 1 ax f x bxc 是奇函数 得 fxf x 对定义域内 x 恒成立 则 22 11 axax bxcbxc bxcbxc 对对定义域内 x 恒成立 即0c 或由定义域关于原点对称得0c 又 1 2 1 2 2 341 3 2 a f b fa b 由 得21ab 代入 得 233 00 22 b b b 又 a b c是整数 得1ba 由 知 2 11 x f xx xx 当0 x f x在 1 上单调递增 在 1 0 上单调递减 下用定义证明之 设 12 1xx 则 21 121212 1212 11 xx f xf xxxxx xxx x 12 12 1 1 xx x x 因为 12 1xx 12 0 xx 12 1 10 x x 12 0f xf x 故 f x在 1 上单调递增 同理 可证 f x在 1 0 上单调递减 18 解 04 00 0 1 2 xfacbcacbacbaf 且且 的图象 与 x 轴有两个交点 0 1 0 1 xff为 的一个根 由韦达定理知另一根为 a c 10 00cabcba a c ca 又且 10 1 m a c am a c ma则13233 a c m xf 在 1 单调递增 0 1 3 fmf 即存在这样的 m 使 用心 爱心 专心 8 0 3 mf 令 2 1 21 xfxfxfxg 则 xg是二次函数 0 4 1 2 2 2 21 21 2 21 121 xfxf xfxf xf xfxf xfxgxg 0 0 2121 xgxgxgxfxf 又的根必有一个属于 21 xx 19 解 f x 是 R R 上的奇函数 且在 0 上是增函数 f x 是 R R 上的增函数 于是不等式可等价地转化为f cos2 3 f 2mcos 4m 即 cos2 3 2mcos 4m 即 cos2 mcos 2m 2 0 设t cos 则问题等价地转化为函数 g t t2 mt 2m 2 t 2 m 2 4 2 m 2m 2 在 0 1 上的值恒为正 又转化为 函数g t 在 0 1 上的最小值为正 当 2 m 0 即m0 m 1 与m0 4 22 m 4 22 4 221 即m 2 时 g 1 m 1 0 m 1 m 2 综上 符合题目要求的m的值存在 其取值范围是m 4 22 另法 仅限当m能够解出的情况 cos2 mcos 2m 2 0 对于 0 2 恒成 立 等价于m 2 cos2 2 cos 对于 0 2 恒成立 当 0 2 时 2 cos2 2 cos 4 22 m 4 22 20 用心 爱心 专心 9 21 解 f x 的定义域为 0 2 121 2 aaxa fxax xx 当a 0 时 fx 0 故f x 在 0 单调增加 当a 1 时 fx 0 故f x 在 0 单调减少 当 1 a 0 时 令 fx 0 解得x 1 2 a a 当x 0 1 2 a a 时 fx 0 x 1 2 a a 时 fx 0 故f x 在 0 1 2 a a 单调增加 在 1 2 a a 单调减少 不妨假设x1 x2 由于a 2 故f x 在 0 单调减少 所以 1212 4f xf xxx 等价于 12 f xf x 4x1 4x2 即f x2 4x2 f x1 4x1 令g x f x 4x 则 1 2 a g xax x 4 2 241axxa x 于是 g x 2 441xx x 2 21 x x 0 用