初中三角函数知识点总结及典型习题(含答案)

1 1 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1 1 勾股定理 直角三角形两直角边 勾股定理 直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方和等于斜边 的平方 的平方 abc 222 cba 2 2 如下图 在 如下图 在 Rt ABCRt ABC 中 中 C C 为直角 则为直角 则 A A 的锐角三角函数为的锐角三角函数为 A A 可换成可换成 B B 定定 义义表达式表达式取值范围取值范围关关 系系 正正 弦弦斜边 的对边A A sin c a A sin 1sin0 A A A 为锐角为锐角 余余 弦弦斜边 的邻边A A cos c b A cos 1cos0 A A A 为锐角为锐角 BAcossin BAsincos 1cossin 22 AA 正正 切切的邻边 的对边 A tan A A b a A tan 0tan A A A 为锐角为锐角 3 3 任任意意锐锐角角的的正正弦弦值值等等于于它它的的余余角角的的余余弦弦值值 任任意意锐锐角角的的余余弦弦值值等等于于它它的的余余角角的的正正弦弦值值 BAcossin BAsincos 90cos sinAA 90sin cosAA 5 5 30 30 45 45 60 60 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 重要重要 三角函数三角函数 30 30 45 45 60 60 sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 1 3 6 6 正弦 余弦的增减性 正弦 余弦的增减性 当当 0 0 90 90 时 时 sinsin随随的增大而增大 的增大而增大 coscos随随的增大而减小 的增大而减小 7 7 正切 的增减性 正切 的增减性 当当 0 0 90 90 时 时 tantan随随的增大而增大 的增大而增大 1 1 解直角三角形的定义 已知边和角 两个 其中必有一边 解直角三角形的定义 已知边和角 两个 其中必有一边 所有未知的边和角 所有未知的边和角 依据 依据 边的关系 边的关系 角的关系 角的关系 A B 90 A B 90 边角关系 三角函数的定义 边角关系 三角函数的定义 注意 注意 222 cba 尽量避免使用中间数据和除法尽量避免使用中间数据和除法 2 2 应用举例 应用举例 1 1 仰角 视线在水平线上方的角 俯角 视线在水平线下方的角 仰角 视线在水平线上方的角 俯角 视线在水平线下方的角 A90B 90 得 由BA 对边 邻边 斜边 AC B b a c 2 2 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 仰 ih l h l 2 2 坡面的铅直高度坡面的铅直高度和水平宽度和水平宽度 的比叫做坡度的比叫做坡度 坡比坡比 用字母 用字母 表示 即表示 即 坡度一般写成 坡度一般写成hli h i l 的形式 如的形式 如等 等 1 m1 5i 把坡面与水平面的夹角记作把坡面与水平面的夹角记作 叫做坡角叫做坡角 那么 那么 tan h i l 3 3 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角 叫做方位角 如图 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角 叫做方位角 如图 3 3 OAOA OBOB OCOC ODOD 的的 方向角分别是 方向角分别是 45 45 135 135 225 225 4 4 指北或指南方向线与目标方向 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于线所成的小于 90 90 的水平角 叫做方向角 如图的水平角 叫做方向角 如图 4 OA4 OA OBOB OCOC ODOD 的方向角分别是 北偏东的方向角分别是 北偏东 30 30 东北方向 东北方向 南偏东南偏东 45 45 东南方向 东南方向 南偏西南偏西 60 60 西南方向 西南方向 北偏西北偏西 60 60 西北方向 西北方向 例例 1 1 已知在中 则的值为 RtABC 3 90 sin 5 CA tan B A B C D 4 3 4 5 5 4 3 4 解析 本题考查三角函数的定义和勾股定理 在 RT ABC 中 C 90 则 sin a A c 和 由知 如果设 则 结合得 tan b B a 222 abc 3 sin 5 A 3ax 5cx 222 abc 4bx 所以选 A 44 tan 33 bx B ax 例例 2 2 10 4cos30 sin60 2 20092008 解析 本题考查特殊角的三角函数值 零指数幂 负整数指数幂的有关运算 10 4cos30 sin60 2 20092008 故填 3313 41 2222 3 2 1 某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶 梯子的倾斜角 梯子与地面的夹角 不能大于 60 否则 就有危险 那么梯子的长至少为 C A 8 米B 米C 米D 米8 3 8 3 3 4 3 3 3 3 2 一架 5 米长的梯子斜靠在墙上 测得它与地面的夹角是 则梯子底端到墙的距离为 B 40 A B C D 5sin40 5cos40 5 tan40 5 cos40 3 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图 其中AB CD分别表示一楼 二楼地面的水平 线 ABC 150 BC的长是 8m 则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 B A 8 3 3 m B 4 m C 4 3m D 8 m 4 河堤横断面如图所示 堤高 BC 5 米 迎水坡 AB 的坡比是 1 坡比是坡3 面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比 则 AC 的长是 A A 米 B 10 米 5 3 C 15 米 D 米10 3 5 如图 在矩形 ABCD 中 DE AC 于 E EDC EDA 1 3 且 AC 10 则 DE 的长度是 D A 3 B 5 C D 25 2 25 6 如图所示 小明在家里楼顶上的点A处 测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的 高 在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为 60 在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为 45 两栋楼之间的距离为 30m 则电梯楼的高BC为 82 0 米 精确到 0 1 参考数据 21 414 31 732 7 如图 热气球的探测器显示 从热气球看一栋大楼顶部的俯AB 角为 看这栋大楼底部的俯角为 热气球的高度为 240 米 求这栋大楼的高度 30 C60 A 解 过点作直线的垂线 垂足为点 ABCD 则 240 米 90CDA 60CAD 30BAD CD AB C D 1 50 h B CA A A A a 4 4 在中 RtACD tan CD CAD AD 240 80 3 tan603 CD AD 在中 RtABD tan BD BAD AD 3 tan3080 380 3 BDAD 24080 160 BCCDBD 答 这栋大楼的高为 160 米 8 如图所示 城关幼儿园为加强安全管理 决定将园内的滑滑板的倾斜角由 45 降为 30 已 知原滑滑板AB的长为 4 米 点D B C在同一水平面上 1 改善后滑滑板会加长多少米 2 若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全 原滑滑板的前方有 6 米长的空地 像这 样改造是否可行 请说明理由 参考数据 以上结果均保留到小数点后两位 141 1 2 732 1 3 449 2 6 解 1 在Rt ABC中 ABC 45 AC BC AB sin45 22 2 2 4 在Rt ADC中 ADC 30 AD 24 2 1 22 30sin o AC AD AB 66 1 424 改善后滑滑板会加长约 1 66 米 2 这样改造能行 理由如下 989