【创新设计】2011高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题五 第一讲 空间几何体 理

用心 爱心 专心 第一讲第一讲 空间几何体空间几何体 一 选择题 1 2010 广东 如图 ABC为正三角形 AA BB CC CC 平面ABC且 3AA BB CC AB 则多面体 3 2 ABC A B C 的正视图 也称主视图 是 解析 根据三视图的定义 几何体的主视图是几何体在它的正前方的竖直平面上的 正投影 故选 D 答案 D 2 2010 陕西 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 A B C 1 D 2 1 3 2 3 解析 由几何体的三视图知几何体是底面为以 1 和为直角边的直角三角形 高为 2 的直三棱柱 V 1 1 故选 C 2 1 222 答案 C 3 四面体的六条棱中 有五条棱长都等于a 则该四面体的体积的最大值为 A a3 B a3 3 8 2 8 C a3 D a3 1 8 1 12 解析 方法一 设三棱锥另一棱长BC x 如右图 取BC的中点E 连结AE DE 易证BC垂直于平面ADE 用心 爱心 专心 故VA BCD S ADE BE S ADE EC S ADE BC a x 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3a2 x2 2 a 12x2 3a2 x2 a 12 x2 3a2 x2 2 a3 8 当且仅当x2 3a2 x2 x a时取得等号 6 2 方法二 如上图 底ABD是固定的 当C动起来时 显然当平面CAD 平面ABD 时高最大 体积最大 Vmax a 1 3 3 4 a2 3 2 a3 8 答案 C 4 如右图 在多面体ABCDEF中 已知ABCD是边长为 1 的正方形 且 ADE BCF 均为正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 A B C D 2 3 3 2 4 3 3 2 解析 如右图 分别过点A B作EF的垂线 垂足分别为G H 连结DG CH 容易求得EG HF AG GD BH HC 1 2 3 2 S AGD S BHC 1 1 2 2 2 2 4 V VE ADG VF BHC VAGD BHC 1 故选 A 1 3 2 4 1 2 1 3 2 4 1 2 2 4 2 3 答案 A 5 2010 全国 已知在半径为 2的球面上有A B C D四点 若AB CD 2 则四 面体ABCD的体积的最大值为 A B C 2 D 2 3 3 4 3 33 8 3 3 用心 爱心 专心 解析 解法一 设AB a CD b 异面直线AB与CD所成角为 距离为h 将 BCD补成平行四边形BCDE 则BE b ABE VA BCD VA BDE VD ABE absin h abhsin 由题意知a b 2 分别以 1 3 1 2 1 6 AB CD为直径作两个互相平行的圆面 则h 2 VA BC D 2 2 2sin 3 1 63 sin 当 90 时取等号 4 3 3 4 3 3 解法二 分别以AB CD为直径作两个互相平行的圆面 将四面体ABCD放入长方 体中 如图 设长方体的底面边长为a b 则VA BCD V长方体 ab 2 ab 1 3 1 33 2 3 3 又由a2 b2 4 2ab得ab 2 则VA BCD 故选 B 4 3 3 解法三 过CD作平面PCD 使AB 面PCD 交AB于P 设点P到CD的距离为 h 则有VA BCD 2 2 h h 当球直径通过AB与CD的中点时h最 大 1 3 1 2 2 3 hmax 2 2 故Vmax 22 123 4 3 3 答案 B 二 填空题 6 2010 辽宁 如图 网格纸的小正方形的边长是 1 在其上用粗线画出了某多面体的 三视图 则这个多面体最长的一条棱的长为 用心 爱心 专心 解析 由几何体的三视图知 几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥 其最长棱为正方体的对角线 因正方体棱长为 2 因此最长棱为 2 3 答案 2 3 7 半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF 则此正六棱锥的侧面积是 解析 由题意可知 P在圆面上的射影是圆心O 易得PA 2 AO 2 AF 2 2 S PAF AF 1 2 PA2 AF 2 27 正六棱锥的侧面积为 6 7 答案 6 7 8 2009 江西 正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为 2 的球 若A B两点的球面距离 为 则正三棱柱的体积为 解析 设O为球心 O1为正 ABC的中心 连接OO1 则OO1 平面ABC 由已 知条件 AOB 则AB AO 2 AO1 AB OO1 222 3 3 2 6 3OA2 AO2 1 2 3 则V正三棱柱 S ABC 2OO1 2 2 8 3 42 4 3 答案 8 9 2010 江西 如图 在三棱锥O ABC中 三条棱OA OB OC两两垂直 且OA OB OC 分别经过三条棱OA OB OC作一个截面平分三棱锥的体积 截面面积依次为S1 S2 S3 则 S1 S2 S3的大小关系为 用心 爱心 专心 解析 将三棱锥O ABC补形成如图所示的长方体 连CF OE OE与AB交于点 D 则平面OCD将三棱锥体积平分 A到平面OCD的距离d 有 2 OA OB OA2 OB2 d S3 OA OB OC 1 3 1 3 1 2 则S3 OC OA2 OB2 4 同理S2 OB OA2 OC2 4 S1 OA OB2 OC2 4 而S 2 1 OA2 OB2 OA2 OC2 16 S 2 2 OA2 OB2 OB2 OC2 16 S 2 3 OB2 OC2 OA2 OC2 16 S S S 因此S1 S2 S3 2 12 22 3 答案 S3 S2 S1 三 解答题 10 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示 单位 m 1 画出它的直观图 不要求写出画法 2 求几何体的表面积和体积 用心 爱心 专心 解 1 由三视图可知 该几何体由一个正方体和一个四棱柱组成 如图所示 2 表面积为 2 1 1 7 1 1 3 1 15 m2 2 3 222 正方体的体积为 13 1 m3 四棱柱的体积为 1 1 所以 几何体的体 2 3 2 5 2 积为 m3 7 2 11 如图所示 长方体ABCD A B C D 中 用截面截下一个棱锥C A DD 求棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比 解 已知长方体可以看成直四棱柱ADD A BCC B 设它的底面ADD A 面积为S 高为h 则它的体积为V Sh 而棱锥C A DD 的底面面积为S 高 1 2 是h 因此 棱锥C A DD 的体积VC A DD Sh Sh 1 3 1 2 1 6 剩余部分的体积是Sh Sh Sh 1 6 5 6 所以棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比为 1 5 12 三棱锥一条侧棱长为 16 cm 和这条棱相对的棱长是 18 cm 其余四条棱长都是 17 cm 求棱锥的体积 解 如图 设AD 16 cm BC 18 cm 取AD的中点E 连结CE BE 据题意 DC DB AC AB 17 cm AD 16 cm BC 18 cm AC CD E为AD中点 CE AD 又DE AD 8cm 1 2 CE 15 cm 172 82 同理BE 15 cm BE CE 取BC的中点F 连结EF 则EF BC EF 12 cm CE2 CF2152 92 用心 爱心 专心 S BCE BC EF 18 12