矩阵在自动控制中的应用+

矩阵理论在控制中的应用矩阵理论在控制中的应用 吴祥 矩阵 5 班 201022070738 摘要 摘要 本文就控制中的常见问题进行了讨论 并应用矩阵 对控制 中的一些问题进行描述 运用矩阵的线性变换对控制理论中一些问 题的求解进行了简化 关键字 关键字 状态空间 对角标准型 约当标准型 1 引言 引言 20 世纪 60 年代 随着计算机技术的进步 航空航天技术和综 合自动化的发展需要 推动了以状态空间为基础 最优控制为核心 主要在时域研究多输入多输出系统的现代控制理论的诞生 经典控制理论是以系统的输入输出为研究依据 其基本数学模 型为线性定常高阶微分方程 传递函数 对线性定常离散系统 其 数学模型为线性定常高阶微分方程 脉冲传递函数 这些模型仅仅 描述系统输入 输出之间的外部特性 不能揭示系统的内部物理状 态量的运动规律 若要揭示系统内部特性 就引入了状态空间 2 用矩阵来建立状态空间用矩阵来建立状态空间 假设单输入 单输出线性定常 n 阶连续系统 n 个状态变量为 1 x 其状态方程的一般形式为 2 x n x 111 112211 221 122222 1 122 nn nn nnnnnnn xa xa xa xbu xa xa xa xb u xa xa xa xb u 输出方程为 1 122 nnn yc xc xc xb u 其向量 矩阵法方程形式的状态空间表达式为 111 11121 21222222 12 n n nnnn nnn xxb aaa aaaxxb u aaa xxb 1 2 12 n n x x yc ccDu x 简单记为 1 1 xAxBu 1 2 yCxDu 其中 1 1 和 1 2 叫做状态空间 1 1 式叫做状态方程 1 2 式叫做输 出方程 3 状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型 状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型 实际上 为了便于揭示系统特性和简化系统的分析 综合工作 通常通过线性奇异变换 将系统的状态空间表达式等价为某种标准 型 如能控标准型 能观标准型 对角标准型 约当标准型 3 1 对角标准型 对线性定常系统 xAxBu yCx 若系统的特征值为 互异 则必存在非奇异变换矩阵 1 2 n T 使 A 矩阵变换为对角阵 即 A 1 2 n 3 2 约当标准型 但如果 非互异时就不能变为对角阵 那么必存 1 2 n 在非奇异变换矩阵 T 使系统变换为约当标准型 即 A 1 2 n J J J 其中 i J 1 1 1 i i i 4 线性定常齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程的解 对线性系统动态性能进行定量分析的实质是求解其动态数学模 型方程并分析解得性质 有传递函数和状态空间两种分析方法 传 递函数分析方法是经典控制中常用的方法 状态空间分析法是现代 控制理论的主要分析方法 其直接将系统的微分方程或差分方程化 为描述系统的输入 输入与内部状态的关系的数学模型 状态空 间方程 运用矩阵方法求解状态方程 直接确定其动态响应 研究 系统方程的解法及分析解得性质 是现代控制理论的主要任务 4 1 线性定常齐次方程的解 假设线性定常系统在输入 u 为 0 时 由初始状态引起的运动称 为自由运动其状态方程为 2 0 t t0 x Ax x t x t 1 式 2 1 的解称为自由运动的解或零输入响应 若矩阵 A 为一 x t 阶即 A a 则 2 1 式变为式 2 2 所示的标量方程 即 2 0 t t0 x ax x t x t 2 其解为 将其展开为泰勒级数 0 0 a t t x tex t 2 0 22 11 0002 1 a t tkk k ea tta ttatt 3 将 2 3 式代入 2 1 中得到 0 22 111 00002 0 A t tkkkk kk k eIA ttA ttA ttA tt 于是 2 1 方程的解可用系统矩阵指数表达为 2 0 0 A t t x tex t 4 一般把称为状态转移矩阵记为 0 A t t e 0 tt 4 2 利用特征值标准形及相似变换计算状态转移矩阵 由于就矩阵转移函数时涉及到 但对一般矩阵的计算比较 k A k A 困难而当 A 矩阵为对角矩阵 约当矩阵时对的计算比较容易 下 k A 面用矩阵线性变换来求解 0 tt 若系统的特征值为 互异 则必存在非奇异变换 1 2 n 矩阵 T 使 A 矩阵变换为对角阵则 11 2211 k kk nn AVVVV 1 1 1 2 1 0 11 1 0 0 0 0 k k n k k k kAtkk k k k k k e e eA ttVVVV e 虽然对角矩阵能很好的计算出 但是由于只有单纯矩阵才能 k A 相似对角化 所以对一般矩阵往往采用的时将其变为约当标准型 不失一般性设 2 1 2 n J J J J 5 式中为形如下式所示的维约当阵 即 i J i m 2 i J 1 1 1 ii i i i mm 6 所以 1 2 11 n J J Atk J e e ePe PPP e 有矩阵指数的定义为上三角矩阵 即 i J t e 12 2 2 1 2 1 1 1 mi i mi i ii ii tt m t m J tt mm t t ee 5 5 应用小结 应用小结 5 1 用到的矩阵论相关知识 矩阵指数函数的定义和性质 对角线标准形和约当标准型 矩阵的运算法则 包括矩阵加法和乘法运算和求逆运算 矩阵特征值和特征向量计算以及可逆变换矩阵的求解 矩阵的可逆变换 5 2 解题思路 给定线性定常系统的自治方程的一般形式 xAx 要求解线性定常系统的零输入响应的表达式时 可