【步步高】2014届高三数学一轮 4.7解三角形应用举例课时检测 理 （含解析）北师大版

1 4 74 7 解三角形应用举例解三角形应用举例 一 选择题 1 在某次测量中 在A处测得同一平面方向的B点的仰角是 50 且到A的距离为 2 C 点的俯角为 70 且到A的距离为 3 则B C间的距离为 A B 1617 C D 1819 解析 因 BAC 120 AB 2 AC 3 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos BAC 4 9 2 2 3 cos 120 19 BC 19 答案 D 2 如图所示 为了测量某障碍物两侧A B间的距离 给定下列四组数据 不能确定A B 间距离的是 A a b B a C a b D b 解析 选项 B 中由正弦定理可求b 再由余弦定理可确定AB 选项 C 中可由余弦定理确定 AB 选项 D 同 B 类似 故选 A 答案 A 3 某人向正东方向走x km 后 向右转 150 然后朝新方向走 3 km 结果他离出发点恰 好是 km 那么x的值为 3 A B 2 C 或 2 D 3 3333 解析 如图所示 设此人从A出发 则AB x BC 3 AC ABC 30 由余弦定 3 理得 2 x2 32 2x 3 cos 30 整理得x2 3x 6 0 解得x 或 2 3333 答案 C 4 如图 设A B两点在河的两岸 一测量者在A的同侧 在所在的河岸边选定一点C 测出AC的距离为 50 m ACB 45 CAB 105 后 就可以计算出A B两点的距离 为 2 A 50 m B 50 m 23 C 25 m D m 2 25 2 2 解析 由题意 得B 30 由正弦定理 得 AB sin ACB AC sinB AB 50 m AC sin ACB sinB 50 2 2 1 22 答案 A 5 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km 灯塔A在观察站C的北偏东 20 灯塔B在观察站C的南偏东 40 则灯塔A与灯塔B的距离为 A a km B a km 2 C 2a km D a km 3 解析 依题意得 ACB 120 由余弦定理 得 cos120 AC2 BC2 AB2 2AC BC AB2 AC2 BC2 2AC BCcos120 a2 a2 2a2 3a2 1 2 AB a 故选 D 3 答案 D 6 据新华社报道 强台风 珍珠 在广东饶平登陆 台风中心最大风力达到 12 级以上 大风降雨给灾区带来严重的灾害 不少大树被大风折断 某路边一树干被台风吹断后 折 成与地面成 45 角 树干也倾斜为与地面成 75 角 树干底部与树尖着地处相距 20 米 则折断点与树干底部的距离是 A 米 B 10米 C 米 D 20米 20 6 3 6 10 6 3 2 解析 如图所示 设树干底部为O 树尖着地处为B 折断点为A 则 ABO 45 AOB 75 OAB 60 由正弦定理知 AO sin 45 20 sin 60 AO 米 20 6 3 答案 A 7 如图 飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内 若飞机的高度为海拔 18 km 速度为 1 000 km h 飞行员先看到山顶的俯角为 30 经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75 则 3 山顶的海拔高度为 精确到 0 1 km A 11 4 B 6 6 C 6 5 D 5 6 解析 AB 1 000 1 000 m 1 60 50 000 3 BC sin 30 m AB sin 45 50 000 3 2 航线离山顶h sin 75 11 4 km 50 000 3 2 山高为 18 11 4 6 6 km 答案 B 二 填空题 8 一船以每小时 15 km 的速度向东航行 船在A处看到一个灯塔M在北偏东 60 方向 行驶 4 h 后 船到B处 看到这个灯塔在北偏东 15 方向 这时船与灯塔的距离为 km 解析 如图所示 依题意有AB 15 4 60 MAB 30 AMB 45 在 AMB中 由正弦定理得 60 sin 45 BM sin 30 解得BM 30 2 答案 30 2 9 如图 为测得河对岸塔AB的高 先在河岸上选一点C 使C在塔底B的正东方向上 测得点A的仰角为 60 再由点C沿北偏东 15 方向走 10 米到位置D 测得 BDC 45 则塔AB的高是 米 解析 在 BCD中 CD 10 BDC 45 BCD 15 90 105 DBC 30 BC 10 在 Rt ABC中 tan 60 AB BCtan BC sin 45 CD sin 30 CDsin 45 sin 30 2 AB BC 60 10 米 6 答案 10 6 4 10 2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式 如图 在坡度为 15 的观礼台上 某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面 在该列的第一个座位A和最后一个座位 B测得旗杆顶端N的仰角分别为 60 和 30 且座位A B的距离为 10米 则旗杆的高 6 度为 米 解析 由题可知 BAN 105 BNA 30 由正弦定理得 解得AN 20 米 AN sin 45 10 6 sin 30 3 在 Rt AMN中 MN 20 sin 60 30 米 故旗杆的高度为 30 米 3 答案 30 11 如图 在日本地震灾区的搜救现场 一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m 到达B处 发现一个生命迹象 然后向右转 105 进行 10 m 到达C处发现另一生命迹象 这时它向 右转 135 后继续前行回到出发点 那么x 解析 由题知 CBA 75 BCA 45 BAC 180 75 45 60 x sin 45 10 sin 60 x m 10 6 3 答案 m 10 6 3 12 如图 一船在海上自西向东航行 在A处测得某岛M的方位角为北偏东 角 前进m 海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东 角 已知该岛周围n海里范围内 包括边界 有 暗礁 现该船继续东行 当 与 满足条件 时 该船没有触礁危险 解析 由题可知 在 ABM中 根据正弦定理得 解得 BM sin 90 m sin 5 BM 要使该船没有触礁危险需满足BMsin 90 mcos sin n 所以当 与 的关系满足 mcos cos sin mcos cos nsin 时 该船没有触礁危险 答案 mcos cos nsin 三 解答题 13 隔河看两目标A与B 但不能到达 在岸边先选取相距千米的C D两点 同时 测 3 得 ACB 75 BCD 45 ADC 30 ADB 45 A B C D在同一平面内 求两目标A B之间的距离 解析 如图所示 在 ACD中 ADC 30 ACD 120 CAD 30 AC CD 千米 3 在 BDC中 CBD 180 45 75 60 由正弦定理得 BC 千米 3sin 75 sin 60 6 2 2 在 ABC中 由余弦定理 可得 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos BCA 即AB2 2 2 2 cos 75 5 3 6 2 2 3 6 2 2 AB 千米 5 所以两目标A B间的距离为千米 5 14 如图 渔船甲位于岛屿A的南偏西 60 方向的B处 且与岛屿A相距 12 海里 渔船 乙以 10 海里 时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用 2 小时追上 此时到达C处 1 求渔船甲的速度 2 求 sin 的值 解析 1 依题意知 BAC 120 AB 12 海里 AC 10 2 20 海里 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得 BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 6 122 202 2 12 20 cos 120 784 解得BC 28 海里 所以渔船甲的速度为 14 海里 时 BC 2 2 在 ABC中 因为AB 12 海里 BAC 120 BC 28 海里 BCA 由正弦 定理 得 AB sin BC sin 120 即 sin ABsin 120 BC 12 3 2 28 3 3 14 15 如图所示 甲船由A岛出发向北偏东 45 的方向作匀速直线航行 速度为 15 n 2 mile h 在甲船从A岛出发的同时 乙船从A岛正南 40 n mile 处的B岛出发 朝北偏东 的方向作匀速直线航行 速度为m n mile h tan 1 2 1 若两船能相遇 求m 2 当m 10时 求两船出发后多长时间距离最近 最近距离为多少 n mile 5 解析 1 设t小时后 两船在M处相遇 由 tan 得 sin cos 1 2 5 5 2 5 5 所以 sin AMB sin 45 10 10 由正弦定理 AM 40 AM sin AB sin AMB2 同理得BM 40 5 t m 15 40 2 15 2 8 3 40 5 8 35 2 以A为原点 BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 设在t时刻甲 乙 两船分别在P x1 y1 Q x2 y2 处 则 AP 15t BQ 10t 25 由任意角三角函数的定义 可得 7 Error 即点P的坐标是 15t 15t Error 即点Q的坐标是 10t 20t 40 PQ 5t 2 5t 40 250t2 400t 1600 20 50 t 4 2 8002 当且仅当t 4 时 PQ 取得最小值 20 即两船出发 4 小时时 距离最近 最近距离为 2 20 n mile 2 16 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船 位于港口O北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 时的航行速度沿 正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 时的航行速度匀速行驶 经过t小时 与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 时 试设计航行方案 即确定航行方向和航 行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 思路分析 第 1 问建立航行距离与时间的函数关系式 第 2 问建立速度与时间的函数关 系式 解析 1 设相遇时小艇航行的距离为S海里 则 S 900t2 400 2 30t 20 cos 90 30 900t2 600t 400 900 t 1 3 2 300 故当t 时 Smin 10 海里 1 33 此时v 30 海里 时 10 3 1 33 即小艇以 30海里 时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小 3 2 设小艇与轮船在B处相遇 则v2t2 400 900t2 2 20 30t cos 90 30 故v2 900 0 v 30 900 900 即