【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第5篇 第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算限时训练 理

1 第第 2 2 讲讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算平面向量的基本定理及向量坐标运算 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2013 湛江模拟 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b A 6 3 B 7 3 C 2 1 D 7 2 解析 a 2b 3 5 2 2 1 7 3 答案 B 2 2012 嘉兴模拟 已知平面内任一点O满足 xO yO x y R 则 x y 1 OP A B 是 点P在直线AB上 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 根据平面向量基本定理知 xO yO x y R 且x y 1 等价于P在直 OP A B 线AB上 答案 C 3 设向量a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量 4a 4b 2c 2 a c d的有向线段首尾相连能构成四边形 则向量d为 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 解析 设d x y 由题意知 4a 4 12 4b 2c 6 20 2 a c 4 2 又 4a 4b 2c 2 a c d 0 解得x 2 y 6 所以 d 2 6 故选 D 答案 D 4 已知向量a a 1 2 b b 1 0 c c 3 4 若 为实数 a a b b c c 则 A B 1 4 1 2 C 1 D 2 解析 依题意得a a b b 1 2 由 a a b b c c 得 1 4 3 2 0 1 2 答案 B 2 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 若三点A 2 2 B a 0 C 0 b ab 0 共线 则 的值为 1 a 1 b 解析 a 2 2 2 b 2 依题意 有 a 2 b 2 4 0 AB AC 即ab 2a 2b 0 所以 1 a 1 b 1 2 答案 1 2 6 2013 杭州模拟 已知A 7 1 B 1 4 直线y ax与线段AB交于C 且 2 1 2 AC CB 则实数a 解析 设C x y 则 x 7 y 1 1 x 4 y AC CB 2 Error 解得Error AC CB C 3 3 又 C在直线y ax上 1 2 3 a 3 a 2 1 2 答案 2 三 解答题 共 25 分 7 12 分 已知a 1 2 b 3 2 当k为何值时 ka b与a 3b平行 平行时它 们是同向还是反向 解 法一 ka b k 1 2 3 2 k 3 2k 2 a 3b 1 2 3 3 2 10 4 当ka b与a 3b平行时 存在唯一实数 使ka b a 3b 由 k 3 2k 2 10 4 得 Error 解得k 1 3 当k 时 ka b与a 3b平行 1 3 这时ka b a b a 3b 1 3 1 3 0 ka b与a 3b反向 1 3 法二 由法一知ka b k 3 2k 2 a 3b 10 4 ka b与a 3b平行 3 k 3 4 10 2k 2 0 解得k 1 3 此时ka b a 3b 1 3 3 2 3 2 1 3 当k 时 ka b与a 3b平行 并且反向 1 3 8 13 分 2013 盐城模拟 已知a b是两个不共线的非零向量 1 设 a tb t R a b 当A B C三点共线时 求t的值 OA OB OC 1 3 2 如图 若a b a与b夹角为 120 OD OE a b 1 点P是以O为圆心的圆弧上一动点 设 DE x y x y R 求x y的最大值 OP OD OE 解 1 由题意 可设 k AB BC 将 tb a a b代入上式 得 AB OB OA BC OC OB 1 3 1 3 t tb a a kb 解得k 3 t k 3 1 3 t 1 2 2 法一 以O为原点 OD为x轴建立直角坐标系 则D 1 0 E 1 2 3 2 设 POD 则P cos sin 0 2 3 由 x y 得 cos x y sin y OP OD OE 1 2 3 2 所以y sin x cos sin 2 3 1 3 所以x y cos sin 2sin 3 6 又 0 故当 时 x y的最大值为 2 2 3 3 法二 设 POD 由 x y x 0 2 3 OP OD OD OD OE OD OP OE OD y OE OE OE 可得 cos x y cos x y 1 2 2 3 1 2 于是x y 2 2sin cos cos 2 3 6 4 又 0 故当 时 x y的最大值为 2 2 3 3 分层 B 级 创新能力提升 1 2012 台州模拟 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 设向量 p p a c b q q b a c a 若p p q q 则角C的大小为 A 30 B 60 C 90 D 120 解析 由p p q q 得 a c c a b b a 整理得b2 a2 c2 ab 由余弦定理得 cos C a2 b2 c2 2ab 1 2 又 0 C0 b 0 O为坐 OA OB OC 标原点 若A B C三点共线 则 的最小值为 1 a 2 b 解析 a 1 1 b 1 2 AB OB OA AC OC OA A B C三点共线 AB AC 2 a 1 b 1 0 2a b 1 2a b 1 a 2 b 1 a 2 b 4 4 2 8 b a 4a b b a 4a b 5 当且仅当 时取等号 的最小值是 8 b a 4a b 1 a 2 b 答案 8 4 2012 浙大附中期末 设i j是平面直角坐标系 坐标原点为O 内分别与x轴 y轴正 方向相同的两个单位向量 且 2i j 4i 3j 则 OAB的面积等于 OA OB 解析 由题意得点A的坐标为 2 1 点B的坐标为 4 3 5 OA 5 OB sin AOB sin AOy BOy sin AOycos BOy cos AOysin BOy 2 5 5 3 5 5 5 4 5 2 5 5 故S AOB sin AOB 5 5 1 2 OA OB 1 25 2 5 5 答案 5 5 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 已知向量a 2 1 A 1 0 B cos t 1 若a 且 求向量的坐标 AB AB 5 OA OB 2 若a 求y cos2 cos t2的最小值 AB 解 1 cos 1 t AB 又a 2t cos 1 0 AB cos 1 2t 又 cos 1 2 t2 5 AB 5 OA 由 得 5t2 5 t2 1 t 1 当t 1 时 cos 3 舍去 当t 1 时 cos 1 B 1 1 1 1 OB 2 由 1 可知t cos 1 2 y cos2 cos cos2 cos cos 1 2 4 5 4 3 2 1 4 6 2 5 4 cos2 6 5cos 1 4 5 4 cos 3 5 1 5 当 cos 时 ymin 3 5 1 5 6 已知向量v v x y 与向量d d y 2y x 的对应关系用d d f v v 表示 1 设a a 1 1 b b 1 0 求向量f a a 与f b b 的坐标 2 求使f c p q p q为常数 的向量c的坐标 3 证明 对任意的向量a b及常数m n恒有f ma a nb b mf a a nf b b 1 解 f a a 1 2 1 1 1 1 f b b 0 2 0 1 0 1 2 解 设c c x y 则由f c y 2y x p q 得Error 所以Error 所以c c 2p q p 3 证明 设a a a a1 a a2 b b b b1 b b2 则ma a nb b ma a1 nb b1 ma a2 nb b2 所以f ma a nb b