高中数学《归纳与类比》素材1 北师大版选修2-2

用心 爱心 专心 探究问题解决的巧妙之法探究问题解决的巧妙之法 归纳与类比归纳与类比 数学学习过程的本身往往是对已有知识的不断提升 比如我们在学习分式的基本性质 和分式的混合运算时通常是类比分数来进行的 这就是运用类比的方法来学习新知识 在 考试中也经常由简单问题切入 不断改变问题的条件 升级问题的难度 并在此过程中通 过类比和归纳的方法来获得解决问题的途径 进而解决问题 下面通过分析典型例题来诠释归纳和类这种数学思想方法的运用 例 1 两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起 其中 AC 1 固定 60A ABC 不动 将 DEF 进行如下操作 1 如图 1 1 DEF 沿线段 AB 向右平移 即 D 点在线段 AB 内移动 连结 DC CF FB 四边形 CDBF 的形状在不断的变化 但它的面积不变化 请求出其面积 2 如图 1 2 当 D 点移动到 AB 的中点时 请你猜想四边形 CDBF 的形状 并说明理由 3 如图 1 3 DEF 的 D 点固定在 AB 的中点时 然后绕 D 点按顺时针方向旋转 DEF 使 DF 落在 AB 边上 此时 F 点恰好与 B 点重合 连结 AE 请你求出 sin 的值 解 1 过 C 点作 CG AB 于 G 在 Rt AGC 中 sin sin60 60 1AAC A AC CG 又 AB 2 2 3 CG S梯形 CDBF S ABC 1 2 AB CG 2 3 2 3 2 2 1 2 菱形 理由如下 CD BF FC BD 四边形 CDBF 是平行四边形 DF AC ACB 90 CB DF 四边形 CDBF 是菱形 3 过 D 点作 DH AE 于 H 则 S ADE 2 3 31 2 1 EBAD 2 1 又 S ADE 则 2 3 2 1 DHAE 7 21 7 33 或 AE DH 在 Rt DHE 中 sin 14 21 72 3 或 DE DH A BE FC D 图 1 1 A B E FC D 图 1 2 A B E F C D 图 1 3 E F A B E F C D 解图 1 3 E F H A BE FC D 解图 1 1 G 用心 爱心 专心 图 3 A B D C E F O 1 7 2 8 39 4 10 5 11 6 12 点评 点评 如果单看第 3 问是不易求解的 但借助前两问的铺垫 并且在解决问题时运用类 比的方法就可以获得解决问题的渠道 例 2 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开 得到图 2 1 中的两张三角形胶片 ABC 和DEF 将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合 把DEF 绕点 B顺时针方向旋转 这时AC与DF相交于点O 1 当DEF 旋转至如图 2 2 位置时 点 B E 在同一直线上时 AFD 与C D DCA 的数量关系是 2 当DEF 继续旋转至如图 2 3 位置时 1 中的结论还成立吗 请说明理由 3 在图 2 3 中 连接 探索BO与AD之间有怎样的位置关系 并证明 BOAD 解 1 AFDDCA 或相等 2 AFDDCA 或成立 理由如下 由ABCDEF 得到 ABDEBCEF 或BFEC ABCDEFBACEDF ABCFBCDEFCBF ABFDEC 在ABF 和DEC 中 ABDE ABFDEC BFEC ABFDECBAFEDC BACBAFEDFEDCFACCDF AODFACAFDCDFDCA AFDDCA 3 如图 BOAD 由ABCDEF 点B与点E重合 得到BACBDFBABD 点B在AD的垂直平分线上 且BADBDA OADBADBAC ODABDABDF OADODA OAOD 点O在AD的垂直平分线上 直线BO是AD的垂直平分线 BOAD 点评 点评 本题是对直线型问题的综合考察 为了降低难度 题目由浅入深 给学生搭建了类 比和归纳的空间 其中第 2 问的 结论还成立吗 这样的字眼可以引导学生进 行探究和类比 例 3 如图 3 平面内有公共端点的六条射线 OAOB 从射线开始按逆时针OCODOEOFOA 方向依次在射线上写出数字 1 2 3 4 5 6 7 E O B CA FD CD A F B E A D O F C B E 图 2 1 图 2 2 图 2 3 A D O F C B E G 用心 爱心 专心 1 17 在射线 上 2 请任意写出三条射线上数字的排列规律 3 2007 在哪条射线上 解 1 17 在射线上 OE 2 射线上数字的排列规律 射线上数字的排列规律 OA65n OB64n 射线上数字的排列规律 射线上数字的排列规律 OC63n OD62n 射线上数字的排列规律 射线上数字的排列规律 OE61n OF6n 3 在六条射线上的数字规律中 只有有整数解 解为 632007n 335n 2007 在射线上 OC 点评 点评 一般地 找规律的题目实际上均蕴含了归纳的思想 例 4 如图 4 在平面直角坐标系中 已知点的坐标为 将线段按逆时针方向 0 P 10 0 OP 旋转 再将其长度伸长为的 2 倍 得到线段 又将线段按逆时针方45 0 OP 1 OP 1 OP 向旋转 长度伸长为的 2 倍 得到线段 如此下去 得到线段 45 1 OP 2 OP 3 OP 为正整数 4 OP n OPn 1 求点的坐标 2 求的面积 6 P 56 POP 3 我们规定 把点 nnn P xy 012 3n 的横坐标 纵坐标都取绝对值后得到的新坐标 n x n y 称之为点的 绝对坐标 nn xy n P 根据图中点的分布规律 请你猜想点的 n P n P 绝对坐标 并写出来 解 1 根据旋转规律 点落在轴的负半轴 而点到坐标原点的距离始终等于前 6 Py n P 一个点到原点距离的倍 故其坐标为 即 2 6 6 0 2 P 6 0 64 P 2 由已知可得 01121nn POPPOPP OP 设 则 111 P xy 1 2sin452y 01 01 112 12 222 P OP SOPy 又 6 1 32 OP OP 56 01 2 2 6 1 32 1024 1 POP P OP S OP SOP 5601 2 10241024512 2 2 POPP OP SS Ox y 0 10 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 图 4 用心 爱心 专心 3 由题意知 旋转次之后回到轴正半轴 在这次中 点分别落在坐标象限 0 OP8x8 n P 的平分线上或轴或轴上 但各点绝对坐标的横 纵坐标均为非负数 因此 点xy 的坐标可分三类情况 n P 令旋转次数为 n 当或时 其中为自然数 点落在轴上 此时 点的绝对8nk 84nk k n Px n P 坐标为 2 0 n 当或或或时 其中为自然数 点落81nk 83nk 85nk 87nk k n P 在各象限的平分线上 此时 点的绝