【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.10 函数模型及其应用课时检测 理 苏教版

1 2 112 11 函数模型及其应用函数模型及其应用 一 填空题 1 某产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系是y 3 000 20 x 0 1 x2 0 x 240 x N N 若每台产品的售价为 25 万元 则生产者不亏本时 销售收 入不小于总成本 的最低产量是 台 解析 设利润为f x 万元 则f x 25x 3 000 20 x 0 1x2 0 1x2 5x 3 000 0 x 150 答案 150 2 某商品的单价为 5 000 元 若一次性购买超过 5 件 但不超过 10 件 则每件优惠 500 元 若一次性购买超过 10 件 则每件优惠 1 000 元 某单位购买 x 件 x N x 15 设最低的购买费用是 f x 元 则 f x 的解析式是 解析 f x Error 这是一个典型的分段函数问题 由题意很容易得到结论 答案 f x Error 3 从盛满 20 升纯消毒液的容器中倒出 1 升 然后用水加满 再倒出 1 升 再用水加 满 这样继续下去 则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为 解析 所倒次数 1 次 则y 19 所倒次数 2 次 则y 19 所倒次数x次 则 19 20 y 19 x 1 20 x 19 20 19 20 答案 y 20 x 19 20 4 一个人喝了少量酒后 血液中的酒精含量迅速上升到 0 3 mg mL 在停止喝酒后 血液 中的酒精含量以每小时 25 的速度减少 为了保障交通安全 某地根据 道路交通安全法 规定 驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0 09 mg mL 那么 一个喝了少量酒后的驾驶员 至少经过 小时才能开车 精确到 1 小时 解析 设至少经过x小时才能开车 由题意得 0 3 1 25 x 0 09 0 75x 0 3 x log0 750 3 5 答案 5 5 为了保证信息安全 传输必须使用加密方式 有一种方式其加密 解密原理如下 明文密文密文明文 加密 发送 解密 已知加密为y ax 2 x为明文 y为密文 如果明文 3 通过加密后得到密文为 6 再发送 接受方通过解密得到明文 3 若接受方接到密文为 14 则原发的明文是 2 解析 依题意y ax 2 中 当x 3 时 y 6 故 6 a3 2 解得a 2 所以加密为 y 2x 2 因此 当y 14 时 由 14 2x 2 解得x 4 答案 4 6 已知某食品厂需要定期购买食品配料 该厂每天需要食品配料 200 kg 配料的价格为 1 8 元 kg 每次购买配料需支付运费 236 元 每次购买来的配料还需支付保管费用 其标准如 下 7 天以内 含 7 天 无论重量多少 均按 10 元 天支付 超出 7 天以外的天数 根据 实际剩余配料的重量 以每天 0 03 元 kg 支付 当 9 天购买一次配料时该厂用于配料的保 管费用 P 解析 当 9 天购买一次配料时 该厂用于配料的保管费用 P 70 0 03 200 1 2 88 元 答案 88 元 7 某种储蓄按复利计算利息 若本金为a元 每期利率为r 存期是x 本利和 本金加利 息 为y元 则本利和y随存期x变化的函数关系式是 解析 已知本金为a元 利率为r 则 1 期后本利和为y a ar a 1 r 2 期后本利和为y a 1 r a 1 r r a 1 r 2 3 期后本利和为y a 1 r 3 x期后本利和为y a 1 r x x N N 答案 y a 1 r x x N N 8 2002 年初 甲 乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业 2010 年初在经济指标对 比时发现 这两家企业在 2002 年和 2009 年缴纳的地税均相同 其间每年缴纳的地税按各 自的规律增长 企业甲年增长数相同 而企业乙年增长率相同 则 2010 年两企业缴纳地税 的情况下列说法中正确的是 填序号 甲多 乙多 甲乙一样多 不能确定 解析 设企业甲每年缴纳的地税组成数列 an 由于企业甲年增长数相同 所以数列 an 是等差 数列 则an是关于n的一次函数 设企业乙每年 缴纳的地税组成数列 bn 由于企业乙年增长率 相同 所以数列 bn 是等比数列 则bn是关于n的 指数型函数 根据题意 a1 b1 a8 b8 如图知 a9 b9 故 2010 年企业乙缴纳的地税多 3 答案 9 将函数y 1 x 0 2 图象绕原点逆时针方向旋转 角 0 2 x 1 2 得到曲线C 若对于每一个旋转角 曲线C都是一个函数的图象 则 的最大值是 解析 由函数定义 若曲线对应的方程为函数 解析式时 直线x a与该曲线若相交 则仅有 一个交点 如图 当 时符合题意 4 答案 4 10 某种电热水器的水箱盛满水是 200 升 加热到一定温度可浴用 浴用时 已知每分钟 放水 34 升 在放水的同时注水 t分钟注入 2t2升 当水箱内水量达到最小值时 放水自 动停止 现假定每人洗浴用水 65 升 则该热水器一次至多可供 人洗浴 解析 由题意得水箱内的水量为y 200 34t 2t2 2 2 200 当t 时 t 17 2 172 2 17 2 水箱内的水量达到最小值 此时放水量为 34 289 升 而 4 5 所以该热水器一 17 2 289 65 次至多可供 4 个人洗浴 答案 4 11 某县计划十年内产值翻两番 则产值平均每年增长的百分率为 lg2 0 301 0 lg11 49 1 060 2 解析 设产值平均年增长率为 x 则 10 1 4x 两边同取以 10 为底的对数得 10lg 1 x 2lg2 lg 060 2 2 0 3010 1 0 10 x 又 lg11 49 1 060 2 0 0602 110 x 11 1 06020 0602 491010 10 149 0 0602 101 因此 1 x 1 149 x 0 149 14 9 答案 14 9 12 某商人购货 进价已按原价a扣去 25 他希望对货物订一新价 以便按新价让利 20 销售后仍可获得售价 25 的利润 则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之 间的函数关系式为 解析 设新价为b 依题意 有b 1 20 a 1 25 b 1 20 25 化简得 4 b a 所以y b 20 x a 20 x 即y x x N N 5 4 5 4 a 4 答案 y x x N N a 4 13 某医药研究所开发的一种新药 如果成年人按规定的剂量服用 据监测 服药后每毫 升血液中的含药量y 微克 与时间t 小时 之间近似满足如图所示的曲线 则第一次服药后y与t之间的函数关系式y f t 据进一步测定 每毫升血液中含药量不少于 0 25 微克时 治疗有效 则服药一次后治疗 有效的时间是 小时 解析 设y Error 当t 1 时 由y 4 得k 4 由 1 a 4 得a 3 则y Error 1 2 由y 0 25 得Error 或Error 解得 t 5 1 16 因此服药一次后治疗有效的时间是 5 小时 1 16 79 16 答案 y Error 79 16 二 解答题 14 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力 加速城市之间 的流通 根据测算 如果一列火车每次拖 4 节车厢 每天能来回 16 次 如果每次拖 7 节车 厢 则每天能来回 10 次 每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数 每节车厢一次能 载客 110 人 试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多 并求出每天最多的营 运人数 注 营运人数指火车运送的人数 解析 设这列火车每天来回次数为t次 每次拖挂车厢n节 则设t kn b 由Error 解得Error 所以t 2n 24 设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y人 则y tn 110 2 2 220n2 2 640n 当n 6 时 总人数最多为 15 840 人 2 640 440 5 故每次应拖挂 6 节车厢才能使每天的营运人数最多为 15 840 人 15 某销售商销售某品牌手机 该品牌手机的进价为每部 1 580 元 零售价为每部 1 880 元 为促进销售 拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法 且赠送礼物的价值不超过 180 元 统计表明 在促销期间 礼物价值每增加 15 元 礼物的价值都是 15 元的整数倍 如礼物价值为 30 元 可视为两次增加 15 元 其余类推 销售量都增加 11 1 当赠送礼物的价值为 30 元时 销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍 2 试问赠送礼物的价值为多少元时 商家可获得最大利润 解析 设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m部 1 原来利润为 1 880 1 580 m 300m 元 当赠送礼物的价值为 30 元时 销售的总利润为 1 880 1 580 30 m 1 11 2 1 232 1 270m 1 108 89 即当赠送礼物的价值为 30 元时 销售的总利润变为原来不 1 232 1 270m 300m 赠送礼物时的 1 1 倍 2 当赠送礼物的价值为 15x元时 销售的总利润为f x 元 则f x 1 880 1 580 15x m 1 11 x 15m 20 x 1 11x x N N 且x 12 f x 1 f x 15m 1 09 0 11x 1 11x 令f x 1 f x 0 得x 9 10 11 因为x N N 且x 12 所以当x 9 时 f x 1 f x 当 9 x 12 时 f x 1 f x 故当赠送礼物的价值为 150 元时 可以获得最大利润 16 某地区的农产品 A 第 x 天 1 x 20 的销售价格 p 50 x 6 元 百斤 一农户 在第 x 天 1 x 20 农产品 A 的销售量 q 40 x 8 百斤 1 求该农户在第 7 天销售农产品 A 的收入 2 问这 20 天中该农户在哪一天的销售收入最大 解析 1 由已知第 7 天的销售价格 p 49 销售量 q 41 第 7 天的销售收入W7 49 41 2 009 元 2 设第x天的销售收入为Wx 则Wx Error 当 1 x 6 时 Wx 44 x 48 x 2 2 116 44 x 48 x 2 当且仅当x 2 时取等号 当x 2 时取最大值W2 2 116 6 当 8 x 20 时 Wx 56 x 32 x 2 1 936 当且仅当x 12 56 x 32 x 2 时取等号 当x 12 时取最大值W12 1 936 由于W2 W7 W12 第 2 天该农户的销售收入最大 答 1 第 7 天的销售收入为 2 009 元 2 第 2 天该农户的销售收入最大 17 2014 年青奥会水上运动项目将在J地举行 截止 2010 年底 投资集团B在J地共投 资 100 万元用于地产和水上运动项目的开发 经调研 从 2011 年初到 2014 年底的四年间 B集团预期可从三个方面获得利润 一是房地产项目 四年获得的利润的值为该项目投资额 单位 百万元 的 20 二是水上 运动项目 四年获得的利润的值为该项目投资额 单位 百万元 的算术平方根 三是旅游 业 四年可获得利润 10 百万元 1 B集团的投资应如何分配 才能使这四年总的预期利润最大 2 假设 2012 年起 J地政府每年都要向B集团征收资源占用费 2012 年征收 2 百万元后 以后每年征收的金额比上一年增加 10 若B集团投资成功的标准是 从 2011 年初到 2014 年底 这四年总的预期利润中值 预期最大利润与最小利润的平均数 不低于投资额的 18 问B集团投资是否成功 解析 1 设B集团用于水上运动项目的投资为x百万元 四年的总利润为y百万元 由题意 y 0 2 100 x 10 x 0 2x 30 x 0 100 x 即y 0 2 2 5 2 31 25 0 10 xx 所以当 2 5 即x 6 25 时 ymax 31 25 x 故B集团在水上运动项目投资 6 25 百万元 所获得的利润最大 为 31 25 百万元 2 由 1 知 在上交资源占用费前 ymax 31 25 ymin 20 由题意 得从 2012 年到 2014 年 B集团需上交J地政府资源占用费共为 2 1 1 11 1 12 6 62 百万元 所以B集团这四年的预期利润中值为 6 62 19 005 31 25 20 2 由于 19 005 18 所以B集团投资能成功 19 005 100 故B集团在J地投资能成功 18 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的房顶和外墙需要建造隔热层 某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每 年的能源消耗费用C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 C x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设f x 为隔热层建造 k 3x 5 费用与 20 年的能源消耗费用之和 7 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最