高中数学《空间直角坐标系》文字素材2 新人教B版必修2

用心 爱心 专心1 空间直角坐标系的建立技巧空间直角坐标系的建立技巧 运用 坐标法 解答空间几何体问题时 往往需要建立空间直角坐标系 依据空间几 何体的结构特征 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系 是解 决问题的基础和关键 为此 下面例谈几种常见的建系技巧 一 利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 例 1 如图 1 正方体的棱长为 分别是 的中点 1111 ABCDABC D aPQ 1 AC 1 C D 求的长 PQ 解 如图 以为坐标原点 分别以棱 所在的直线为轴建立AABAD 1 AAxyz 空间直角坐标系 则 由中点坐标 0 C aa 1 0 0 Aa 00 Da 1 C aaa 公式 得 2 2 2 a a a P 22 aa Qa 22 aa Qa 所以 222 222222 aaaaaa PQa 二 利用线面垂直关系建系 例 2 如图 2 已知 平面 且 ABC 90C SA ABC 2AC 求线段的长度 13BC 4SC SB 解 如图 2 以为坐标原点 分别以 所在直线为轴 轴 以在平面AACASxz 内过作垂直于的直线为轴 建立空间直角坐标系 则有 ABCAACyAxyz 2 0 0 C 213 0 B 用心 爱心 专心2 平面 平面 SA ABCAC ABC SAAC 又 4SC 在中 RtSAC 22 2 3SASCAC 0 0 2 3 S 故 222 20 130 02 3 29SB 三 利用面面垂直关系建系 例 3 如图 3 在三棱柱中 是边长为 4 的等边三角形 平面平SABC ABC SAC 面 为的中点 求证 ABC 2 3SASC DAB SASD 证明 取中点为 连结 ACOOSOB SASCABBC 且 ACSO ACBO 平面平面 SAC ABC 平面平面 SAC ABCAC 平面 SO ABCSOBO 如图 3 以为原点 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系OOAOBOS xyz 则 由中点公式得 Oxyz 2 0 0 A 0 2 3 0 B 0 0 2 2 S 13 0 D 222 1 0 30 02 2 2 3SD 又 2 3SA SASD 四 利用正棱锥的中心与高所在的直线建系 例 4 如图 4 所示 正四棱锥的底面边长为 侧棱长为 为的中点 S ABCDaaESC 与交于点 问在线段上是否存在一点 使得的长为 若存在 ACBDOBDFEF 3 3 a 找出点的位置 若不存在 请说明理由 F 用心 爱心 专心3 解 设分别为的中点 如图 4 以为原点 分别以所MN ABBC OOMONOS 在的直线为轴建立空间直角坐标系 则 xyz O xyz0 22 aa A 0 2 2 a a B 0 2 2 a a C 0 22 aa D 2 2 OCa 2 222 22 22 SOSCOCaaa 2 0 0 2 Sa 为的中点 ESC 2 4 44 a a Ea 所在的直线方程为 BDyx 假设在上存在一点 使得 BD 0 F xx 2 2 a a x 3 3 EFa 整理得 22 2 2 43 aa x 6 122 2 a a xa 故在线段上存在点或满足题意 BD 66 0 1212 Faa 66 0 1212 Faa 空间直角坐标系考点分析空间直角坐标系考点分析 空间直角坐标系是平面直角坐标系知识的推广 教材中涉及该知识的内容较少 空间 直角坐标系为将来学习向量方法解决立体几何问题打下了基础 因此空间直角坐标系也是 用心 爱心 专心4 高考的重点内容 高考对空间直角坐标系的考查一般是与空间向量结合起来 不单独命题 也可能以选择题 填空题的形式出现 如考查空间直角坐标系中有关点的坐标的求解 空 间两点的距离等 一 考查基本知识点 例 1 下列命题中 正确的个数是 1 在空间直角坐标系中 x 轴上的点的坐标一定是 0 b c 2 在空间直角坐标系中 yOz 平面上点的坐标可以写成 0 b c 3 在空间直角坐标系中 z 轴上点的坐标可以记做 0 0 c 4 在空间直角坐标系中 xOz 平面上点的坐标是 a 0 c A 1 B 2 C 3 D 4 解 在空间直角坐标系中 坐标轴上的点的坐标有两个为 0 如 x 轴上的点的纵坐标 竖坐标均为 0 坐标平面内的点的坐标有一个为 0 如 xOz 平面内的点的纵坐标为 0 因 此题目中 2 3 4 三个命题正确 故选 C 点评 学习空间直角坐标系必需会用空间直角坐标表示点的位置 求空间直角坐标系 中点的坐标时 可以由点向各坐标轴作垂线 垂足所对应的数值即为点在该轴上的坐标 二 解决实际应用问题 例 2 正方体的棱长为 a CBADOABC 2 2 MCBNCNAN 求 MN 的长 解 如图 建立空间直角坐标系 A a 0 0 C 0 a 0 所以 aAC2 因为 所以 N 点的坐标为 又 M 在平面 3 1 2 AC CN CNAN 0 3 2 3 aa 内 BCCB 所以同理可知 M 点的坐标为 3 2 3 a a a 所以 3 5 0 3 2 3 2 33 222 aaaa aa MN