【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第3篇 第1讲 导数及导数的计算限时训练 理

1 导数及其应用导数及其应用 第第 1 1 讲讲 导数及导数的计算导数及导数的计算 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 曲线y ex在点A 0 1 处的切线斜率为 A 1 B 2 C e D 1 e 解析 由题意知y ex 故所求切线斜率k ex x 0 1 答案 A 2 2013 合肥模拟 函数y x2cos x在x 1 处的导数是 A 0 B 2cos 1 sin 1 C cos 1 sin 1 D 1 解析 y 2xcos x x2sin x 当x 1 时 y 2cos 1 sin 1 答案 B 3 2012 青岛一模 设曲线y 在点处的切线与直线x ay 1 0 平行 1 cos x sin x 2 1 则实数a等于 A 1 B 1 2 C 2 D 2 解析 y sin2x 1 cos x cos x sin2x 1 cos x sin2x y x 1 由条件知 1 a 1 故选 A 2 1 a 答案 A 4 2013 广州模拟 已知曲线C f x x3 ax a 若过曲线C外一点A 1 0 引曲线C 的两条切线 它们的倾斜角互补 则a的值为 A B 2 27 8 C 2 D 27 8 解析 设切点坐标为 t t3 at a 由题意知 f x 3x2 a 2 切线的斜率为k y x t 3t2 a 所以切线方程为y t3 at a 3t2 a x t 将点 1 0 代入 式得 t3 at a 3t2 a 1 t 解之得 t 0 或t 3 2 分别将t 0 和t 代入 式 得k a和k a 3 2 27 4 由题意得它们互为相反数得a 27 8 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 设直线y x b是曲线y ln x x 0 的一条切线 则实数b的值为 1 2 解析 由已知条件可得直线的斜率k y ln x 得切点的横坐标为 1 2 1 x 1 2 x 2 切点坐标为 2 ln 2 由点 2 ln 2 在切线y x b上可得b ln 1 2 2 2 ln 2 1 1 2 答案 ln 2 1 6 2012 金华十校联考 在平面直角坐标系xOy中 点P在曲线C y x3 10 x 3 上 且在第二象限内 已知曲线C在点P处的切线的斜率为 2 则点P的坐标为 解析 由y x3 10 x 3 得y 3x2 10 曲线C在点P处的切线的斜率为 2 令y 3x2 10 2 得x2 4 因为点P在第二 象限 x 2 又点P在曲线C上 y 8 20 3 15 则点P的坐标为 2 15 答案 2 15 三 解答题 共 25 分 7 12 分 如图所示 已知 A 1 2 为抛物线 C y 2x2 上的 点 直线 l1 过点 A 且与抛物线 C 相切 直线 l2 x a a 1 交抛物线 C 于点 B 交直线 l1 于点 D 1 求直线 l1 的方程 2 求 ABD 的面积 S 解 1 由条件知点 A 1 2 为直线 l1 与抛物线 C 的切点 y 4x 直线 l1 的斜率 k 4 3 所以直线 l1 的方程为 y 2 4 x 1 即 4x y 2 0 2 点 A 的坐标为 1 2 由条件可求得点 B 的坐标为 a 2a2 点 D 的坐标为 a 4a 2 ABD 的面积为 S 2a2 4a 2 1 a 1 2 a 1 3 a 1 3 8 13 分 已知函数f x x3 x 16 1 求曲线y f x 在点 2 6 处的切线的方程 2 直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 3 如果曲线y f x 的某一切线与直线y x 3 垂直 求切点坐标与切线的方程 1 4 解 1 可判定点 2 6 在曲线y f x 上 f x x3 x 16 3x2 1 f x 在点 2 6 处的切线的斜率为k f 2 13 切线的方程为y 6 13 x 2 即 13x y 32 0 2 设切点为 x0 y0 则直线l的斜率为f x0 3x 1 2 0 直线l的方程为y 3x 1 x x0 x x0 16 2 03 0 又 直线l过点 0 0 0 3x 1 x0 x x0 16 2 03 0 整理得x 8 x0 2 3 0 y0 2 3 2 16 26 k 3 2 2 1 13 直线l的方程为y 13x 切点坐标为 2 26 3 切线与直线y 3 垂直 x 4 切线的斜率k 4 设切点的坐标为 x0 y0 则f x0 3x 1 4 2 0 x0 1 Error 或Error 所以切线方程为y 14 4 x 1 或y 18 4 x 1 即 4x y 18 0 或 4x y 14 0 分层 B 级 创新能力提升 1 设f0 x sin x f1 x f0 x f2 x f1 x fn x f n 1 x n N N 则f2 013 x 等于 A sin x B sin x C cos x D cos x 解析 f1 x f0 x cos x f2 x f1 x sin x f3 x f2 x cos x f4 x f3 x sin x 由规律知 这一系列函数式值的周期为 4 故f2 013 x 4 cos x 答案 C 2 2013 豫东 豫北十所名校测试 在函数y x3 9x的图象上 满足在该点处的切线的 倾斜角小于 且横 纵坐标都为整数的点的个数是 4 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 依题意得 y 3x2 9 令 0 y 1 得 3 x2 显然满足该不等式的整数 10 3 x不存在 因此在函数y x3 9x的图象上 满足在该点处的切线的倾斜角小于 且 4 横 纵坐标都为整数的点的个数是 0 选 A 答案 A 3 设函数f x x3 x2 tan 其中 则导数f 1 的 sin 3 3cos 2 0 5 12 取值范围是 解析 f x sin x2 cos x 3 f 1 sin cos 2sin 3 3 0 5 12 3 3 3 4 sin 3 2 2 1 f 1 2 2 答案 2 2 4 2013 湖南十二校联考 设曲线y xn 1 n N N 在点 1 1 处的切线与x轴的交点的横 坐标为xn 则x1 x2 x3 x2 013的值为 解析 y n 1 xn 曲线在点 1 1 处的切线斜率k n 1 切线方程为 y 1 n 1 x 1 即y n 1 x n 令y 0 得 xn x1 x2 x3 x2 013 n n 1 1 2 2 3 3 4 2 013 2 014 1 2 014 答案 1 2 014 5 2012 佛山调研 已知函数f x x3 ax2 10 1 当a 1 时 求曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 2 在区间 1 2 内至少存在一个实数x 使得f x x x3 10 x2 10 x2 设g x x 1 x 2 g x 1 10 x2 20 x3 1 x 2 g x 9 2 9 2 即实数a的取值范围是 9 2 6 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 7x 4y 12 0 b x 1 求f x 的解析式 2 证明 曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0 和直线y x所围成的三角形面 积为定值 并求此定值 1 解 方程 7x 4y 12 0 可化为y x 3 7 4 当x 2 时 y 又f x a 于是Error 1 2 b x2 解得Error 故f x x 3 x 2 证明 设P x0 y0 为曲线上任一点 由f x 1 知曲线在点P x0 y0 处的切线方程为y y0 x x0 即 3 x2 1 3 x2 0 y x0 x x0 3 x0 1 3 x2 0 令x 0 得y 从