高中数学 第三章 第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切(三)教案 苏教版必修3_第1页
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文档简介

1 第九课时二倍角的正弦 余弦 正切第九课时二倍角的正弦 余弦 正切 三三 教学目标 灵活应用和 差 倍角公式 掌握和差化积与积化和差的方法 培养学生联系变化的观 点 提高学生的思维能力 教学重点 和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用 教学难点 二倍角公式的变形式的灵活应用 教学过程 课题导入 现在我们进一步探讨和角 差角 倍角公式的应用 先看本章开始所提问题 在章头图中 令 AOB 则AB asin OA acos 所 以矩形ABCD的面积 S asin 2acos a2 2sin cos a2sin2 a2 当 sin2 1 即 2 90 45 时 a2sin2 a2 S 不难看出 这时A D两点与O点的距离都是a 矩形的面积最大 于是问题得到解决 2 2 讲授新课 例 1 求证 sin2 2 1 cos 2 分析 此等式中的 可作为的 2 倍 2 证明 在倍角公式 cos2 1 2sin2 中以 代替 2 以代替 即得 2 cos 1 2sin2 sin2 2 2 1 cos 2 请同学们试证以下两式 1 cos2 2 tan2 2 1 cos 2 2 1 cos 1 cos 证明 1 在倍角公式 cos2 2cos2 1 中以 代替 2 以代替 2 即得 cos 2cos2 1 cos2 2 2 1 cos 2 2 由 tan2 sin2 cos2 2 2 1 cos 2 2 1 cos 2 得 tan2 2 1 cos 1 cos 这是我们刚才所推证的三式 不难看出这三式有两个共同特点 1 用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数 2 2 由左式的 二次式 转化为右式的 一次式 即用此式可达到 降次 的目的 这一组式子也可称为半角公式 但不要求大家记忆 只要理解并掌握这种推证方法 另外 在这三式中 如果知道 cos 的值和角的终边所在象限 就可以将右边开方 2 从而求得 sin cos与 tan 2 2 2 下面 再来看一例子 例 2 求证 sin cos sin sin 1 2 分析 只要将S S 公式相加 即可推证 证明 由 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 得 sin sin 2sin cos 即 sin cos sin sin 1 2 请同学们试证下面三式 1 cos sin sin sin 1 2 2 cos cos cos cos 1 2 3 sin sin cos cos 1 2 证明 1 由 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 得 sin sin 2cos sin 即 cos sin sin sin 1 2 2 由 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin 得 cos cos 2cos cos 即 cos cos cos cos 1 2 3 由 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin 得 cos cos 2sin sin 即 sin sin cos cos 1 2 不难看出 这一组式子也有一共同特点 即 左式均是乘积形式 右式均为和差形式 利用这一式可将乘积形式转化为和差形式 也可称为积化和差公式 3 和差形式是否可以化为乘积的形式呢 看这一例子 例 3 求证 sin sin 2sincos分析 可有 代替 2 2 2 2 2 2 证明 左式 sin sin sin sin 2 2 2 2 sincos cossin sincos cossin 2 2 2 2 2 2 2 2 2sincos 右边 2 2 请同学们再证下面三式 1 sin sin 2cos sin 2 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 3 cos cos 2sin sin 2 2 证明 1 令 2 2 2 2 则左边 sin sin sin sin 2 2 2 2 sincos cossin sincos cossin 2 2 2 2 2 2 2 2 2cossin 右边 2 2 2 左边 cos cos cos cos 2 2 2 2 coscos sinsin coscos sinsin 2 2 2 2 2 2 2 2 2coscos 右边 2 2 3 左边 cos cos cos cos 2 2 2 2 coscos sinsin coscos sinsin 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2sinsin 右边 2 2 这组式子的特点是左式为和差形式 右式为积的形式 所以这组式子也可称为和差化积 公式 只要求掌握这种推导方法 不要求记忆 课堂练习 1 已知 为锐角 且 3sin2 2sin2 1 3sin2 2sin2 0 求证 2 2 证法一 由已知得 3sin2 cos2 3sin2 2sin2 得 tan tan 2 cos2 sin2 2 为锐角 0 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 证法二 由已知可得 3sin2 cos2 3sin2 2sin2 cos 2 cos cos2 sin sin2 cos 3sin2 sin sin2 3sin2 cos sin 3sin cos 0 3 2 又由 2 0 3 2 2 2 证法三 由已知可得 2sin22sin3 2cossin3 2 sin 2 sin cos2 cos sin2 sin 3sin2 cos sin2 3sin sin2 cos2 3sin 3 2 又由 得 3sin cos sin2 2 2 得 9sin4 9sin2 cos2 1 sin 即 sin 2 1 1 3 又 0 2 2 3 2 2 5 评述 一般地 若所求角在 0 上 则一般取此角的余弦较为简便 若所求角在 上 则一般取此角的正弦较为简便 当然 若已知条件与正切函数关系比较密切 2 2 也可考虑取此角的正切 2 在 ABC中 sinA是 cos B C 与 cos B C 的等差中项 试求 1 tanB tanC的值 2 证明 tanB 1 tanC cot 45 C 1 解 ABC中 sinA sin B C 2sin B C cos B C cos B C 2sinBcosC 2cosBsinC 2cosBcosC cosBcosC 0 tanB tanC 1 2 证明 又由上 tan 1 tanC 1 tanC 1 tanC tan 45 C 1 tanC cot 45 C 1 tanC 1 tanC 课时小结 通过这节课的学习 要掌握推导积化和差 和差化积公式的方法 虽不要求记忆 但要 知道它们的互化关系 另外 要注意半角公式的推导与正确使用 当然 这些都是在熟练掌握 二倍角公式的基础上完成的 课后作业 课本 P111习题 7 8 10 二倍角的正弦 余弦 正切 1 已知 sin 2 3 那么 sin cos等于 1 3 2 2 6 A B C D 6 3 6 3 2 3 3 2 3 3 2 sin10 sin30 sin50 sin70 的值是 A B C D 1 16 1 8 1 4 3 16 3 已知f sinx cos2x 则f x 等于 A 2x2 1 B 1 2x2 C 2xD 2x 4 设 sin sin 8 5 则 cos 等于 2 A B C D 1 4 5 7 25 12 13 5 sin cos sin cos 12 12 12 12 6 化简 cos cos 4 4 7 sin2 12 1 2 8 3tan67 50 1 tan267 50 9 已知 cos2 0 sin 求 cos 7 25 2 5 13 3 2 10 已知 sin sin cos cos 求 cos的值 1 2 1 3 2 7 11 已知 sin cos 且 求 3 4 5 13 4 3 5 4 4 4 3 4 cos 二倍角的正弦 余弦 正切答案 8 1 D 2 A 3 B 4 B 5 6 cos2 7 8 3 2 1 2 3 4 3 2 4 9 已知 cos2 0 sin 求 cos 7 25 2 5 13 3 2 解 由 0 得 sin cos 2 3 5 4 5 3 2 cos 1 sin2 12 13 代入 cos cos cos sin sin 4 5 12 13 3 5 5 13 33 65 10 已知 sin sin cos cos 求 cos的值 1 2 1 3 2 两式平方相加 得 1 1 2 cos cos sin sin 1 4 1 9 13 26 cos cos2 59 72 2

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