【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.2 函数的单调性与最值课时检测 理 苏教版

1 2 32 3 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 一 填空题 1 函数f x log2 x2 4x 5 的单调增区间为 解析 由题意知x2 4x 5 0 解得x5 即函数f x log2 x2 4x 5 的定义 域为 1 5 根据外层函数为单调增函数 而内层函数 u x2 4x 5 x 2 2 9 在 5 上单调递增 所以所求函数的单调增区间为 5 答案 5 2 下列函数中 在区间 0 2 上为增函数的是 填所有正确的编号 y x 1 y y x2 4x 5 y x 2 x 解析 y x 1 在 R R 上递减 y 在 R R 上递增 y x2 4x 5 在 2 上递减 在 x 2 上递增 y 在 R R 上递减 2 x 答案 3 定义在 R R 的奇函数f x 单调递增 且对任意实数a b满足f a f b 1 0 则 a b 解析 f x 为奇函数 f x f x f a f b 1 f 1 b 又 f x 单调递增 a 1 b即a b 1 答案 1 4 若函数f x x2 a2 4a 1 x 2 在区间 1 上是减函数 则a的取值范围是 解析 因为f x 是二次函数且开口向上 所以要使f x 在 1 上是单调递减函数 则必有 1 即a2 4a 3 0 解得 1 a 3 a2 4a 1 2 答案 1 3 5 下列函数 y x3 y x 1 y x2 1 y 2 x 既是偶函数又在 0 单调递增的函数序号是 解析 y x3是奇函数 y x2 1 与y 2 x 在 0 上是减函数 答案 6 已知f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f x 在 1 1 上是减函数 不等式f 1 x f 1 x2 0 的解集为 解析 由f x 是定义在 1 1 上的奇函数 2 及f 1 x f 1 x2 0 得f 1 x f 1 x2 所以f 1 x f x2 1 又因为f x 在 1 1 上是减函数 所以Error 故原不等式的解集为 0 1 答案 0 1 7 已知函数y f x 是定义在 R R 上的偶函数 当x 0 时 y f x 是减函数 若 x1 x2 则结论 f x1 f x2 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 0 中成立的是 填所有正确的编号 解析 由题意 得f x 在 0 上是增函数 且f x1 f x1 f x2 f x2 从 而由 0 x1 x2 得f x1 f x2 即f x1 f x2 f x1 f x2 0 只能 是 正确的 答案 8 设 a logloglog则 a b c 的大小关系是 54 b 2 53 c 45 解析 因为 0 logloglog所以 b a c 53 54 1 45 答案 b a0 且 b2 4a 0 恒成立 即a 0 且 a 1 2 0 恒成立 a 1 b 2 2 由 1 可知f x x2 2x 1 g x x2 2 k x 1 g x 在x 2 2 时是单调函数 2 2 或 2 2 k 2 2 k 2 2 2 或 2 解得k 6 或k 2 k 2 2 k 2 2 即实数k的取值范围为 2 6 16 已知函数f x 对于任意x y R R 总有f x f y f x y 且当x 0 时 f x 0 f 1 2 3 1 求证 f x 在 R R 上是减函数 2 求f x 在 3 3 上的最大值和最小值 解析 1 证明 法一 函数f x 对于任意x y R R 总有f x f y f x y 5 令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在 R R 上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0 时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在 R R 上是减函数 法二 设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0 时 f x 0 而x1 x2 0 f x1 x2 0 即f x1 f x2 f x 在 R R 上为减函数 2 f x 在 R R 上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和最小值分别为f 3 与f 3 而f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大值为 2 最小值为 2 17 函数f x 的定义域为D x x 0 且满足对于任意x1 x2 D 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值 范围 解析 1 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2 f x 为偶函数 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x有f x f 1 f x 即f x f x 所以f x 为偶函数 3 f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 所以f 3x 1 f 2x 6 3 即f 3x 1 2x 6 f 64 因为f x 在 0 上是增函数 所以 等价于不等式组 Error 或Error Error 或Error 6 所以 3 x 5 或 x 或 x 3 7 3 1 3 1 3 故x的取值范围为 x x 或 x 3 或 3 x 5 7 3 1 3 1 3 18 在区间D上 如果函数f x 为增函数 而函数f x 为减函数 则称函数f x 为 弱 1 x 增函数 已知函数f x 1 1 1 x 1 判断函数f x 在区间 0 1 上是否为 弱增函数 2 设x1 x2 0 且x1 x2 证明 f x1 f x2 x1 x2 1 2 3 当x 0 1 时 不等式 1 ax 1 bx恒成立 求实数a b的取值范围 1 1 x 解析 1 显然f x 在区间 0 1 上为增函数 因为f x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 所以f x 为减函数 因此f x 是 弱增 函数 1 1 x 1 x 1 x 2 证明 f x1 f x2 1 1 x1 1 1 x2 1 x2 1 x1 1 x1 1 x2 x1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2 因为x1 x2 0 x1 x2 所以 2 所以 1 x11 x21 x11 x2 f x1 f x