【步步高】2014届高考数学一轮复习章末检测备考练习 苏教版

1 章末检测章末检测 一 填空题 1 已知平面 和平面 的法向量分别为m m 3 1 5 n n 6 2 10 则平面 的位置关系为 2 已知向量a a 0 2 1 b b 1 1 2 则a a与b b的夹角为 3 如图 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 已知 a a b b c c 则用向量 AB AD AA1 a a b b c c可表示向量 BD1 4 已知P和不共线三点A B C四点共面且对于空间任一点O 都有 2 OP OA OB OC 则 5 已知A 2 1 0 点B在平面xOz内 若直线AB的方向向量是 3 1 2 则点B的坐 标是 6 平面 的法向量为m m 1 0 1 平面 的法向量为n n 0 1 1 则平面 与 平面 所成二面角的大小为 7 若平面 的法向量为n n 直线l的方向向量为a a 直线l与平面 的夹角为 则下 列关系式成立的是 填序号 cos cos n n a a n n a a n n a a n n a a sin sin n n a a n n a a n n a a n n a a 8 设A B C D是空间不共面的四点 且满足 0 0 0 则 AB AC AC AD AB AD BCD是 三角形 填 锐角 直角 钝角 9 在以下命题中 不正确的个数为 a a b b a a b b 是a a b b共线的充要条件 对a a b b 则存在唯一的实数 使a a b b 对空间任意一点O和不共线的三点A B C 若 2 2 则P A B C四 OP OA OB OC 点共面 a ba b c c a b ca b c 10 法向量为n n 1 1 1 的平面 过点M 1 2 1 则平面 上任意一点P的坐标 x y z 满足的方程为 11 设E F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点 在正方体的 12 条面对角线中 与截面 A1ECF成 60 角的对角线的数目是 2 12 如图 AB AC BD 1 AB 面M AC 面M BD AB BD与面M成 30 角 则C D间 的距离为 13 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a 点E F分别是BC AD的中点 则 的值为 AE AF 14 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 点 E F分别是棱AB BB1的中点 则直线EF和BC1所成的角为 二 解答题 15 已知四棱锥P ABCD的底面是平行四边形 如图 M是PC的中点 问向量 是 PA MB MD 否可以组成一个基底 并说明理由 16 如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1D1 AB的中点 E在AA1上 且AE 2EA1 F在CC1上且CF FC1 试证明ME NF 1 2 17 如图 在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 P是侧棱CC1上一点 CP m 试确定m使 3 得直线AP与平面BDD1B1所成角为 60 18 已知长方体ABCD A1B1C1D1 AB 2 AA1 1 直线BD与平面AA1B1B所成的角为 30 F为A1B1的中点 求二面角A BF D的余弦值 19 如图 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为 2的菱形 BAD 120 且PA 平面 3 ABCD PA 2 M N分别为PB PD的中点 6 1 证明 MN 平面ABCD 2 过点A作AQ PC 垂足为点Q 求二面角A MN Q的平面角的余弦值 20 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是棱DD1的中点 1 求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值 2 在棱C1D1上是否存在一点F 使B1F 平面A1BE 证明你的结论 4 答案答案 1 2 90 3 a a b b c c 4 2 5 5 0 2 6 60 或 120 7 8 锐角 9 4 10 x y z 2 0 11 4 12 13 a2 14 60 2 1 4 15 解 不可以组成一个基底 理由如下 PA MB MD 连结AC BD相交于点O ABCD是平行四边形 O是AC BD的中点 在 BDM中 MO 1 2 MD MB 在 PAC中 M是PC的中点 O是AC的中点 则 即 即与 MO 1 2PA PA MD MB PA MD 共面 MB 不可以组成一个基底 PA MB MD 16 证明 由平行六面体的性质 ME MD1 D1A1 A1E 1 2C1D1 AD 1 3A1A 1 2AB AD 1 3AA1 NF NB BC CF 1 2AB AD 1 3CC1 1 2AB AD 1 3AA1 又M E N F不共线 ME NF ME NF 17 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则A 1 0 0 B 1 1 0 5 P 0 1 m C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 则 1 1 0 0 0 1 1 1 m 1 1 0 BD BB1 AP AC 又由 0 0 知 AC BD AC BB1 为平面BB1D1D的一个法向量 AC 设AP与平面BB1D1D所成的角为 则 sin cos AP AC AP AC AP AC 2 2 m2 2 依题意得 sin 60 解得m 2 2 m2 2 3 2 6 3 故当m 时 直线AP与平面BDD1B1所成角为 60 6 3 18 解 以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 由已知AB 2 AA1 1 可得 A 0 0 0 B 2 0 0 F 1 0 1 又AD 平面AA1B1B 从而直线BD与平面AA1B1B所成的角为 DBA 30 又AB 2 AD 2 3 3 从而易得D 0 2 3 3 0 易知平面AA1B1B的一个法向量为m m 0 1 0 设n n x y z 是平面BDF的一个法向 量 1 0 1 BF BD 2 2 3 3 0 则Error 即Error 令z 1 可得n n 1 1 3 cos m m n n m m n n m m n n 15 5 即二面角A BF D的余弦值为 15 5 19 1 证明 连结BD 因为M N分别是PB PD的中点 所以MN是 PBD的中位线 所以MN BD 又因为MN 平面ABCD 6 BD 平面ABCD 所以MN 平面ABCD 2 解 方法一 连结AC交BD于O 以O为原点 OC OD所在直线为x y轴 建立空间直角坐标系O xyz 如图所示 在菱形ABCD中 BAD 120 得AC AB 2 BD AB 6 33 又因为PA 平面ABCD 所以PA AC 在直角 PAC中 AC 2 PA 2 AQ PC 36 得QC 2 PQ 4 由此知各点坐标如下 A 0 0 B 0 3 0 C 0 0 D 0 3 0 33 P 0 2 M N Q 36 3 2 3 2 6 3 2 3 2 6 3 3 0 2 6 3 设m m x y z 为平面AMN的法向量 由 AM 3 2 3 2 6 知 AN 3 2 3 2 6 Error 取z 1 得m m 2 0 1 2 设n n x y z 为平面QMN的法向量 由 QM 5 3 6 3 2 6 3 知 QN 5 3 6 3 2 6 3 Error 取z 5 得n n 2 0 5 2 于是 cos m m n n m m n n m m n n 33 33 所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为 33 33 方法二 如图所示 7 在菱形ABCD中 BAD 120 得AC AB BC CD DA BD AB 3 又因为PA 平面ABCD 所以PA AB PA AC PA AD 所以PB PC PD 所以 PBC PDC 而M N分别是PB PD的中点 所以MQ NQ 且AM PB PD AN 1 2 1 2 取线段MN的中点E 连结AE EQ 则AE MN QE MN 所以 AEQ为二面角A MN Q的平面角 由AB 2 PA 2 36 故在 AMN中 AM AN 3 MN BD 3 得AE 1 2 3 3 2 在 Rt PAC中 AQ PC 得AQ 2 QC 2 PQ 4 2 在 PBC中 cos BPC PB2 PC2 BC2 2PB PC 5 6 得MQ PM2 PQ2 2PM PQcos BPC 5 在等腰 MQN中 MQ NQ 5 MN 3 得QE MQ2 ME2 11 2 在 AEQ中 AE QE 3 3 2 11 2 AQ 2 2 得 cos AEQ AE2 QE2 AQ2 2AE QE 8 33 33 所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为 33 33 20 解 1 设正方体的棱长为 1 如图所示 以 为单位正交基底建立空间直角坐标系O AB AD AA1 xyz 依题意 得B 1 0 0 E A 0 0 0 D 0 1 0 0 1 1 2 所以 BE 1 1 1 2 0 1 0 AD 在正方体ABCD A1B1C1D1中 因为AD 平面ABB1A1 所以是平面ABB1A1的一个法向量 AD 设直线BE和平面ABB1A1所成的角为 则 sin BE AD BE AD 1 3 2 1 2 3 故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 2 3 2 在棱C1D1上存在点F 使B1F 平面A1BE 证明如下 依题意 得A1 0 0 1 1 0 1 BA1 BE 1 1 1 2 设n n x y z 是平面A1BE的一个法向量 则由n n 0 n n 0 BA1