湖北省八校2018届高三第二次联考数学试题及答案

理科数学试题 第 1 页 共 10 页 理科数学试题 第 2 页 共 10 页 绝密 启用前 鄂南高中鄂南高中 华师一附中华师一附中 黄冈中学黄冈中学 黄石二中黄石二中 荆州中学荆州中学 孝孝感感高高 中中 襄阳四中襄阳四中 襄阳五中襄阳五中 2018 届高三第二次联考届高三第二次联考 理科数学试题理科数学试题 命题学校 鄂南高中 命题人 陈佳敏 审题人 吕 骥 审题学校 襄阳四中 审定人 王启冲 张 婷 本试卷共 4 页 23 题 含选考题 全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项 1 答题前 先将自己的姓名 准考证号填写在试卷和答题卡上 并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3 非选择题的作答 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试卷 草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效 4 选考题的作答 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑 答案写在答题卡上 对应的答题区域内 写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 5 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并上交 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 题目要求的 1 设集合 则 2 x Ay yxR 1 Bx yx xR AB A B C D 1 0 0 1 0 1 2 若复数满足 为虚数单位 为的共轭复数 则z22zizi izz1z A B 2 C D 353 3 在矩形中 若向该矩形内随机投一点 那么使得与的ABCD4 3ABAD PABP ADP 面积都不小于 2 的概率为 A B C D 1 4 1 3 4 7 4 9 4 已知函数为偶函数 且在单调递减 则的解集为 1 f xxaxb 0 3 0fx A B C D 2 4 2 4 1 1 1 1 5 已知双曲线的离心率为 则的值为 22 2 1 2 xy aa 2a A 1 B C 1 或 D 12 2 6 等比数列的前项和 前项和 前项和分别为 则n2n3n A B C A B C D ABC 2 BAC 3 ABCB 22 ABA BC 7 执行如图所示的程序框图 若输入 输出的 则空白判断框内应填的条件为0 2mn 1 75x A B C D 1 mn 0 5 mn 0 2 mn 0 1 mn 8 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半 纵坐标不变 再将所得 2sin 2 3 f xx 图象向左平移个单位得到函数的图象 在图象的所有对称轴中 离原点最近的对称 12 g x g x 轴为 A B C D 24 x 4 x 5 24 x 12 x 9 在的展开式中 含项的系数是 239 1 1 1 xxx 2 x A 119 B 120 C 121 D 720 10 我国古代数学名著 九章算术 记载 刍甍者 下有袤有广 而上有 袤无丈 刍 草也 甍 屋盖也 翻译为 底面有长有宽为矩形 顶 部只有长没有宽为一条棱 刍甍字面意思为茅草屋顶 如图 为一刍甍 的三视图 其中正视图为等腰梯形 侧视图为等腰三角形 则它的体积 为 A B C D 160 3 160 256 3 64 11 已知椭圆 直线与轴相交于点 过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于 22 1 43 xy C 4l x xEF 两点 点在直线 上 则 轴 是 直线过线段中点 的 A BClBCxACEF A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 12 下列命题为真命题的个数是 ln33ln2 ln e 15 215 3 ln24 2e A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 平面向量与的夹角为 则 a b 0 45 1 1 1ab 2ab 14 已知实数满足约束条件 且的最小值为 3 则 x y 20 0 1 xy xyk x 2zxy 常数 k 15 考虑函数与函数的图像关系 计算 x ye lnyx 理科数学试题 第 3 页 共 10 页 理科数学试题 第 4 页 共 10 页 2 1 ln e xdx 16 如图所示 在平面四边形中 为正三角形 则面积ABCD2AD 4CD ABC BCD 的最大值为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题题为必考题 每个试题 考生都必须作答 第考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分 分 17 12 分 若数列的前项和为 首项且 n an n S 1 0a 2 2 nnn Saa nN 1 求数列的通项公式 n a 2 若 令 求数列的前项和 0 n anN 1 2 n nn b a a n bn n T 18 12 分 如图 四边形与均为菱形 且 ABCDBDEFFAFC 60DABDBF 1 求证 平面 AC BDEF 2 求直线与平面所成角的正弦值 ADABF 19 12 分 某市政府为了节约生活用电 计划在本市试行居民生活用电定额管理 即确定一户居民月用电量 标准 用电量不超过的部分按平价收费 超出的部分按议价收费 为此 政府调查了 100 户居aaa 民的月平均用电量 单位 度 以 160 180 分组的频率分布直方图 180 200 200 220 220 240 240 260 260 280 280 300 如图所示 1 根据频率分布直方图的数据 求直方图中的值并估计该市每户居民月平均用电量的值 x 2 用频率估计概率 利用 1 的结果 假设该市每户居民月平均用电量服从正态分布X 2 N 估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率 240 利用 的结论 从该市所有居民中随机抽取 3 户 记月平均用电量介于 度之240 间的户数为 求的分布列及数学期望 YY E Y 20 12 分 如图 圆 为圆上任意一点 过作圆的切线分别交 22 4O xy 2 0 2 0 AB DODO 直线和于两点 连交于点 若点形成的轨迹为曲线 2x 2x E F AF BEGGC 1 记斜率分别为 求的值并求曲线的方程 AF BE 12 k k 12 kk C 2 设直线与曲线有两个不同的交点 与直线 0 l yxm m C P Q 交于点 与直线交于点 求的面积与面积的比值2x S1y TOPQ OST 的最大值及取得最大值时的值 m 21 12 分 已知函数 2 1 1 x f xax e 1 当时 讨论函数的单调性 0a f x 2 求函数在区间上零点的个数 f x 0 1 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 已知直线 的参数方程为 为参数 曲线的极坐标方程为l 2 2 2 2 xt yat taR C 2 sin4cos 1 分别将直线 的参数方程和曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 lC 理科数学试题 第 5 页 共 10 页 理科数学试题 第 6 页 共 10 页 2 若直线 经过点 求直线 被曲线截得线段的长 l 0 1 lC 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知函数 241 f xxxxR 1 解不等式 9f x 2 若方程在区间有解 求实数的取值范围 2 f xxa 0 2 a 湖北省八校 2018 届高三第二次联考参考答案及评分说明 理科数学理科数学 123456789101112 DADBCDBABAAC 13 14 15 16 102 2 1e 44 3 提示 11 若轴 不妨设与轴交于点 过作交直线 于点 BCxACxGA ADxlD 则 两次相除得 FDAGDE BCACCD EGCE ADCD FG ADDE EG BCCE 又由第二定义 为的中点 ADAFDE BCBFCE 1 FG EG G EF 反之 直线 AB 斜率为零 则 BC 与 x 轴重合 12 构造函数求导分析单调性可知 正确 注 构造函数也可 ln x F x x ln x F x x 16 设 由余弦定理可知 ADCACD 2 20 16cosAC 又由正弦定理 2 12 cos 8 AC AC 22sin sin sinsin AC AC 2 1131 2sin312 sin 2 sincos 2 2322228 BCD AC SBC CDBCBC ACAC 4sin 4 3 3 所以最大值为44 3 17 1 或 2 1 1 n n a n an 323 42 1 2 n n T nn 解析 1 当时 则 1n 2 111 2Saa 1 1a 当时 2n 22 11 1 22 nnnn nnn aaaa aSS 即或 111 1 0 nnnnnn aaaaaa 1 1 nn aa 或 6 1 1 n n a n an 分 2 由 0 n a n an 11 11 2 22 n b n nnn 1111111111323 1 1 2324222 1242 1 2 n n T nnnnnn 12 分 18 1 见解析 2 15 5 解析 1 设与相交于点 连接 ACBDOFO 四边形为菱形 且为中点 ABCDACBD OAC FAFC ACFO 又 平面 5 分FOBDO AC BDEF 2 连接 四边形为菱形 且 为等边三角形 DFBDEF60DBF DBF 为中点 又 平面 OBDFOBD ACFO FO ABCD 两两垂直 建立空间直角坐标系 如图所示 7 分 OA OB OFOxyz 设 四边形为菱形 2AB ABCD60DAB 2 2 3BDAC 为等边三角形 DBF 3OF 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3ABDF 3 1 0 3 0 3 3 1 0AFABAD 设平面的法向量为 则 ABF nx y z 330 30 AF nxz AB nxy 取 得 设直线与平面所成角为 10 分1x 1 3 1n ADABF 则 12 分 1 sinco 5 s 5 AD n AD n ADn 注 用等体积法求线面角也可酌情给分 19 1 2 分布列见解析 0 0075 225 6x 1 5 3 5 E Y 解析 1 由得 0 0020 00950 0110 01250 0050 0025 201x 0 0075x 2 分 170 0 04 190 0 19210 0 22230 0 25250 0 15270 0 1290 0 05225 6 4 分 2 6 分 11 225 624012240 25 PXP X 因为 5 1 3 YB 3 3 14 55 ii i P YiC 0 1 2 3i 所以的分布列为Y 理科数学试题 第 7 页 共 10 页 理科数学试题 第 8 页 共 10 页 Y0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 所以 12 分 13 3 55 E Y 20 1 2 取得最大值 12 1 4 kk 2 2 1 0 4 x yy 5 3 m 2 5 5 解析 1 设 000 0 D xyy 易知过点的切线方程为 其中D 00 4x xy y 22 00 4xy 则 3 分 00 00 4242 2 2 xx EF yy 00 22 0000 12 22 00 4242 16441 4416164 xx yyxy kk yy 设 由 G x y 2 2 12 11 1 0 42244 yyx kkyy xx 故曲线的方程为 5 分 C 2 2 1 0 4 x yy 2 22 22 58440 44 yxm xmxm xy 设 则 7 分 1122 P x yQ xy 2 1212 844 55 m xxm xx 由且 8 分 22 6420 44 055mmm 0 2mm 与直线交于点 与直线交于点2x S1y T 2 2 1 1 Sm Tm 令且 3 35 35 mt t 1 3 5t 则 10 分 当 即时 取得最大值 12 分 45 33 tm 2 5 5 21 1 见解析 2 见解析 解析 1 1 分 2 21 x fxaxaxe 当时 此时在单调递增 2 分0a 0 x fxe f xR 当时 0a 2 44aa 当时 恒成立 此时在单调递增 301a 0 2 210axax 0fx f xR 分 当时 令1a 12 11 011 11fxxx aa x 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x AAA 即在和上单调递增 在上单调递减 5 分 f x 1 11 a 1 11 a 11 11 11 aa 综上 当时 在单调递增 01a f xR 当时 在和上单调递增 在上1a f x 1 11 a 1 11 a 11 11 11 aa 单调递减 6 分 2 由 1 知 当时 在单调递增 此时在区间上有一个零点 01a f x 0 1 0 0f f x 0 1 当时 且 在单调递增 此时在区间1a 1 110 a 1 110 a f x 0 1 0 0f f x 上有一个零点 0 1 当时 令 负值舍去 0a 1 0110fxx a 当即时 在单调递增 此时在区间上 1 111 a 1 0 3 a f x 0 1 0 0f f x 0 1 有一个零点