【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十四章 第6讲 数系的扩充与复数的引入配套训练 理 新人教A版

1 第第 6 6 讲讲 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 分层训练 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2012 无锡第一学期期末考试 已知复数z i 3 i i 是虚数单位 则复数z的虚部 为 解析 因为z i 3 i i2 3i 1 3i 所以z的虚部为 3 答案 3 2 2012 常州市第一学期期末考试 若 z z 2i i 为虚数单位 则复数 z 15 4 z 解析 设z x yi x y R R 则由 z z 2i 得x2 y2 x yi 2i 所 z 15 4 15 4 以Error 解得Error 所以z 2i 1 2 答案 2i 1 2 3 2012 镇江第一学期期末考试 已知 a bi a b R R 则a b 2 i 3 4i 解析 因为a bi i 所以 2 i 3 4i 2 i 3 4i 25 10 5i 25 2 5 1 5 a b a b 2 5 1 5 3 5 答案 3 5 4 2011 南通调研 若 a bi a b R R i 为虚数单位 则ab 1 5i 3 i 解析 a bi i 所以a b 1 5i 3 i 1 5i 3 i 10 2 16i 10 1 5 8 5 1 5 8 5 从而ab 8 25 答案 8 25 2 5 2011 苏北四市调研 若 i 是虚数单位 是实数 则实数a的值是 a i 1 i 解析 由 是实数 a i 1 i a i 1 i 2 a 1 a 1 i 2 得a 1 0 所以a 1 答案 1 6 2011 扬州中学冲刺 若复数 a R R i 为虚数单位 是纯虚数 则实数a的值为 a 3i 1 2i 解析 由 i 为纯虚数 得a 6 0 且 a 3i 1 2i a 3i 1 2i 5 a 6 5 3 2a 5 3 2a 0 所以a 6 答案 6 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 已知z是复数 z 2i 均为实数 i 为虚数单位 且复数 z ai 2在复平面上对 z 2 i 应的点在第一象限 求实数a的取值范围 解 设z x yi x y R R 所以z 2i x y 2 i 由题意得y 2 因为 x 2i 2 i z 2 i x 2i 2 i 1 5 2x 2 x 4 i 1 5 1 5 由题意得x 4 所以z 4 2i 所以 z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 由于 z ai 2在复平面上对应的点在第一象限 所以Error 解得 2 a 6 故实数a的取值范围是 2 6 8 已知关于x的方程x2 6 i x 9 ai 0 a R R 有实数根b 1 求实数a b的值 2 若复数z满足 a bi 2 z 求z为何值时 z 有最小值 并求出最小值 z 解 1 将b代入题设方程 整理 b2 6b 9 a b i 0 则b2 6b 9 0 且a b 0 得a b 3 2 设z x yi x y R R 则 x 3 2 y 3 2 4 x2 y2 即 x 1 2 y 1 2 8 所以点Z在以 1 1 为圆心 2为半径的圆上 2 3 画图可知 z 1 i 时 z min 2 分层训练 B 级 创新能力提升 1 2012 盐城二模 若复数z满足 z i 1 其中 i 为虚数单位 则 z 的最大值为 解析 设z x yi x y R R 则由 z i 1 得x2 y 1 2 1 由画图可知 z 的 最大值为 2 答案 2 2 2011 南京模拟 在复平面内 复数 3 i 和 1 i 对应的点间的距离为 解析 3 i 1 i 4 2i 2 4 2 22205 答案 2 5 3 2012 启东模拟 已知复数z x yi 且 z 2 则 的最大值 3 y x 解析 由 z 2 可得 z 2 2 x 2 2 y2 3 设 k 即得直线方程为 3 y x kx y 0 圆 x 2 2 y2 3 的圆心 2 0 到直线kx y 0 的距离d 2 k k2 13 解得k 即得 的最大值为 33 y x3 答案 3 4 2010 苏中六校联考 给出下列四个命题 若z C C z 2 z2 则z R R 若z C C z 则z是纯虚数 z 若z C C z 2 zi 则z 0 或z i 若z1 z2 C C z1 z2 z1 z2 则z1z2 0 其中真命题的个数为 个 解析 设z a bi a b R R 若 z 2 a2 b2 z2 a2 b2 2abi 则Error 所以 b 0 所以z R R 正确 若z 0 则z不是纯虚数 错 若a2 b2 b ai 则a 0 b 0 或b 1 所以z 0 或z i 错 若 z1 z2 z1 z2 设z1 a bi a b R R z2 c di c d R R 则 a c 2 b d 2 a c 2 b d 2 整理得 ac bd 0 所以z1z2 a bi c di ac bd ad bc i 不一定为零 错 答案 1 4 5 已知m R R 复数z m2 2m 3 i 当m为何值时 m m 2 m 1 1 z R R 2 z是虚数 3 z是纯虚数 4 4i z 1 2 解 1 由z R R 得Error 解得m 3 2 由z是虚数 得m2 2m 3 0 且m 1 0 解得m 1 且m 3 3 由z是纯虚数 得Error 解得m 0 或m 2 4 由 4i 得 m2 2m 3 i 4i z 1 2 m m 2 m 1 1 2 所以Error 即Error 解得m 1 6 设z是虚数 已知 z 是实数 且 1 2 1 z 1 求 z 的值及z的实部的取值范围 2 设u 求证 u为纯虚数 1 z 1 z 3 求 u2的最小值 1 解 因为 R R 所以 所以 z z 1 z 1 z 即 z 0 因为z为虚数 所以z z 1 1 zz z 所以z 1 从而 z 2 1 即 z 1 z 设z a bi a b R R z 1 a2 b2 1 z a bi a bi 2a 1 z 1 a bi a bi a2 b2 1 2 1 2a 2 a 1 1 2 即z的实部取值范围是 1 2 1 2 证明 1 因为z 1 所以 zz 1 z 所以u 0 且u 0 所以u为纯虚数 u 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 1 z 1 1 z 1 z 1 z z 1 z 1 5 3 解 由 2 可设u ti t R R 且t 0 则由 ti 得z 1 z 1 z 1 ti 1 ti 所以 z u2 t2 1 z 1 ti 1 ti 1 ti 1 ti 2