高二数学 第二章第1节曲线与方程（理） 人教新课标A版选修2-1

用心 爱心 专心1 高二数学第二章第高二数学第二章第 1 1 节曲线与方程 理 节曲线与方程 理 人教新课标人教新课标 A A 版选修版选修 2 12 1 一 学习目标 一 学习目标 1 使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 并初步领会 曲线的方程 与 方程的曲线 的概念 从而为求已知曲线的方程奠定理论基础 2 在领会曲线和方程概念的过程中 培养学生分析 判断 归纳的逻辑思维能力与抽象 思维能力 同时强化 形 与 数 一致并相互转化的思想方法 3 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点 初步掌握求曲线的方程的方法 二 重点 难点 二 重点 难点 重点 重点 理解曲线的方程与方程的曲线的概念 求曲线的方程 难点 难点 对求曲线方程的一般步骤的掌握 三 考点分析 三 考点分析 本讲内容是我们学习并学好圆锥曲线与方程的关键性内容 也是最重要的内容 我们 首先应理解 曲线的方程 和 方程的曲线 的概念 在高考中一般以小题的形式考查 其次就是会求曲线的方程 这部分内容一般以大题的形式考查 要注重对通性通法的求解 和运用 1 曲线的方程和方程的曲线的概念 我们把满足下面两个条件 1 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f x y 0 的解 2 以方程 f x y 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上的方程叫做曲线的方程 则 该曲线 叫做方程的曲线 2 求曲线 图形 的方程 一般有下面几个步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点 M 的坐标 2 写出适合条件 P 的点 M 的集合 P M P M 3 用坐标表示条件 P M 列出方程 f x y 0 4 将方程 f x y 0 化为最简形式 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 C 上的点 查漏除杂 3 求曲线方程的常用方法 1 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 且这些条件简单明确 易于表述成含有 x y 的等式 就得到轨迹方程 这种方法称为直接法 用直接法求动点轨 迹一般有建系 设点 列式 化简 证明五个步骤 最后的证明可以省略 但要注意 挖 与 补 2 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线的定 义出发直接写出轨迹方程 或从曲线的定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 3 代入法 若动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点 P x y 却 随另一动点 Q y x 的运动而有规律的运动 且动点 Q 的轨迹为给定的或容易求得的 则可先将 y x表示为 x y 的式子 再代入 Q 的轨迹方程 然后整理得出 P 的轨迹方程 代入法也称相关点法 4 参数法 若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系 用心 爱心 专心2 时 则可借助中间变量 参数 使 x y 之间建立起联系 然后再从所求式子中消去参数 得出动点的轨迹方程 5 交轨法 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 求两动直线的交点时 常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然后消去参数得到轨迹方程 交轨 法可以说是参数法的一种变形 4 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 轨迹是指曲线 轨迹方程是指曲线的方程 求轨迹 方程的本质 就是在给定的坐标系中 求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系 知识点一知识点一 曲线与方程的概念的运用曲线与方程的概念的运用 例 1 下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线 l 为什么 1 x y 0 2 0 3 x2 y2 0 4 x y 0 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查对曲线与方程的概念的准确理解 2 解题思路 解题思路 先看图 分析其表示的解析式 然后对已知的 4 个选项进行逐个分析 解答过程 解答过程 方程 1 是表示直线 l 的方程 而 2 3 4 都不是表示直线 l 的 方程 2 中直线上的点的坐标不全是方程的解 如 1 1 等 即不符合 直线上的 点的坐标都是方程的解 这一结论 3 中虽然 直线 l 上的点的坐标都是方程的解 但以方程 x2 y2 0 的解为坐标的 点不全在直线 l 上 如点 2 2 等 即不符合 以方程的解为坐标的点都在直线上 这一结论 4 中依照 2 3 的分析方式得出不符合 直线上的点的坐标都是方程的解 这 一结论 比如点 1 1 解题后的思考 解题后的思考 理解曲线的方程和方程的曲线的概念 并能对题目作出正确的判定 判定时必须要同时满足 1 直线 l 上的点的坐标都是方程的解 2 以方程的解为坐 标的点都在直线上 例例 2 1 判断点 M1 3 4 M2 2 2 是否在方程 x2 y2 25 所表示的曲线 上 用心 爱心 专心3 2 用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心 半径等于 5 的圆的方程是 x2 y2 25 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查点与曲线的位置关系 以及利用定义求解曲线方程 2 解题思路 解题思路 第 1 问先把点的坐标代入已知的表达式中 满足方程则在曲线上 否则不在曲线上 第 2 问利用圆的定义 结合两点间距离公式化简求解 并进行说明 解答过程 解答过程 解析 解析 1 把点 M1 3 4 M2 2 2 分别代入到方程中 可知前者满 足方程 后者不满足 2 设圆心坐标为 0 0 半径为 r 5 圆上的任意一点 P x y 结合两点间距离公式 我们得到圆上的点满足的方程 解题后的思考 解题后的思考 运用定义找关系式 进而求解方程 运用定义找关系式 进而求解方程 例例 3 证明与两条坐标轴的距离之积是常数 0 kk的点的轨迹方程是kxy 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查对曲线方程的概念的理解和运用 2 解题思路 解题思路 先结合已知条件求解方程 然后运用定义证明 解答过程 解答过程 证明 1 设 M x0 y0 是轨迹上的任意一点 因为点 M 与x轴的距离为 0 y 与 y轴的距离为 0 x 所以 kyx 00 即 00 yx是方程kxy 的解 2 设 1 M的坐标 11 yx是方程kxy 的解 那么kyx 11 即kyx 11 而 11 yx正是点 1 M到x轴 y轴的距离 因此点 1 M到两条坐标轴的距离的积是常数k 点 1 M是曲线上的点 由 1 2 可知 kxy 是与两条坐标轴的距离之积是常数 0 kk的点的轨迹方 程 解题后的思考 解题后的思考 注意要从两个方面来证明曲线的方程的概念的运用 例例 4 指出下列方程表示的曲线分别是什么 1 x 2 0 2 2x 3y 5 0 13 x 3 3x 4y 12 0 3 2 log2 yx 4 03242 22 yxyx 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查如何理解方程表示的曲线 2 解题思路 解题思路 根据曲线方程的定义进行分析时 要保证所求得曲线的纯粹性和完备性 解答过程 解答过程 1 表示的曲线为过 2 0 且平行于 y 轴的直线 2 因为 0 13 532 xyx 4 3 0532 4 3 0532 013 03 0532 xxyx xxyx x x yx 和一条直线线故表示的曲线为一条射 或即 或 故方程表示的曲线为一条射线 3x 05y3x2 和一条直线 x 4 3 因为 3x 4y 12 0 3 2 log2 yx 用心 爱心 专心4 直线 线 除去端点 和一条故表示的曲线为一条射 或即 或 82 5 12 01243 03 2 log 02 01243 2 yxxyx yx yx yx 故方程表示的曲线为一条射线 5 12 x012y4x3 除去端点 和一条直线 x 2y 8 4 因为 03242 22 yxyx 0 1 1 2 22 yx 则方程表示的图形为一个点 1 1 解题后的思考 解题后的思考 我们所说的曲线是指广义的曲线 它可以是一般的曲线 也可以是直 线 线段 甚至是一个点 对于表达式要通过合理的变形化简得到 知识点二 求曲线的方程知识点二 求曲线的方程 例例 5 设 A B 两点的坐标是 1 1 3 7 求线段 AB 的垂直平分线的方程 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查如何求解曲线方程 2 解题思路 解题思路 首先分析由于求解的是直线方程 所以应利用直线方程的求解方法得到 其次 我们可以直接运用求曲线方程的一般步骤进行求解 解答过程 解法一 解答过程 解法一 7 1 2 3 1 AB k 所求直线的斜率 k 0 5 又 线段 AB 的中点坐标是 1 31 7 22 即 1 3 线段 AB 的垂直平分线的方程为 1 3 1 2 yx 即 x 2y 7 0 解法二 解法二 若没有现成的结论怎么办 需要掌握一般性的方法 解 解 设 M x y 是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点 则 MA MB 2 22 22 22 2 x x 1 1 y y 1 1 x x 3 3 y y 7 7 2 22 22 22 2 x x 2 2x x 1 1 y y 2 2y y 1 1 x x 6 6x x 9 9 y y 1 14 4y y 4 49 9 270 xy 1 由以上过程可知 垂直平分线上任意一点的坐标都是方程270 xy 的解 2 设点 1 M的坐标 11 x y是方程 的解 即 11 270 xy 以上变形过程步步可逆 2 22 22 22 2 1 11 11 11 1 x x 1 1 y y 1 1 x x 3 3 y y 7 7 1 11 1 MM A A MM B B 综上所述 线段 AB 的垂直平分线的方程是x x 2 2y y 7 7 0 0 解题后的思考 解题后的思考 第一种解法运用了现成的结论 解题时比较容易 但它需要你对所研 究的曲线有一定的了解 第二种解法虽然有些走弯路 但这种解法具有一般性 例例 6 已知点 M 与x轴的距离和点 M 与点 F 0 4 的距离相等 求点 M 的轨迹方程 用心 爱心 专心5 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查在坐标系中求解点的轨迹方程 2 解题思路 解题思路 根据已知的坐标系 结合两点间的距离公式 我们可通过点 M 满足的 关系式来求解 解答过程 解答过程 设点 M 的坐标为 x y 点 M 与x轴的距离为y 22 4 FMxy y 22 4 xy 222 816yxyy 2 816xy 就是所求的轨迹方程 解题后的思考 解题后的思考 注意对于用坐标表示的距离 解题时一定要加上绝对值 确保不漏掉 解 例例 7 经过原点的直线 l 与圆 22 6490 xyxy 相交于两个不同点 A B 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题以直线与圆的位置关系为背景 研究相交弦的中点的轨迹方程的求 解 2 解题思路 解题思路 先设出点的坐标 利用中点公式和圆的方程 OMAB kk 我们得到所 求点与弦端点的坐标关系式 从而求其轨迹方程 或者直接设直线方程 引入参数 K 然 后消去参数求轨迹方程 解答过程 解法一 解答过程 解法一 设 M x y A 11 x y B 22 xy 12 12 2 2 xx x yy y 且 22 1111 22 2222 6490 6490 xyxy xyxy 由 得 12121212 xxxxyyyy 1212 6 4 0 xxyy OMAB kk 即 12 12 yyy xxx 易知 12 xx 22640 yy xy xx 化简得 22 320 xyxy 所求轨迹方程为023 22 yxyx 在已知圆内部一段弧所对应的方程 解法二 解法二 设 M x y A 11 x y B 22 xy 则 12 12 2 2 xx x yy y 设直线 l 的方程为ykx 由方程组 22 6490 ykx xyxy 消去 y 得 22 1 64 90kxk x 用心 爱心 专心6 1212 22 649 11 k xxxx kk 2 2 32 1 32 1 k x k k yk k 消去参数k得 22 320 xyxy 解题后的思考 解题后的思考 相关点法相关点法 若动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点 P x y 却随另一动点 Q x y 的运动而有规律的运动 且动点 Q 的轨迹为给定的或 容易求得的 则可先将 x y 表示为 x y 的式子 再代入 Q 的轨迹方程 然后整理得 P 的轨迹方程 相关点法也称代入法 简单地说 利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上 的动点的关系 把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程 由此即可求得动点坐标 x y 之间的坐标 例例 8 已知一条直线l和它上方的一个点 F 点 F 到l的距离是 2 一条曲线也在直线l的 上方 它上面的每一点到 F 的距离减去到直线l的距离的差都是 2 建立适当的坐标系 求 这条曲线的方程 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查建立合理直角坐标系来求解方程 2 解题思路 解题思路 先分析已知条件 建立合适的坐标系 然后建系 设点 找关系式 进 行化简和求解 解答过程 解答过程 设直线 l 为 x 轴 过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴 建立坐标系 xOy 设点 M x y 是曲线上任意一点 MB x 轴 垂足是 B 那么 2 MBMF 把 M 点坐标代入上式得 2 2 22 yyx 平方得 222 2 2 yyx 化简得 2 8 1 xy 因为曲线在 x 轴的上方 所以 y 0 所以曲线的方程是 2 8 1 xy 0 x 解题后的思考 解题后的思考 遇到没有直角坐标系的曲线方程的求解 我们要学会合理合理的建系 让 尽可能多的点 线落在坐标系上 小结 小结 本讲中的几个知识点内容是高考常考的内容 出现的题型也是常见的题型 需 要我们能够很好的理解 做到举一反三 其中的轨迹问题 是高考中的一个热点 也是所 占分值比较大的一个知识点 我们应该对其多加练习 本节内容是我们学习好圆锥曲线方程的基础性一节 我们要理解概念 并能利用直接 法和定义法 相关点法求解一些曲线的轨迹方程 使我们在练习的过程中熟练地掌握技巧 另外 求轨迹方程在高考中是考查的热点 也是必考知识点 我们要熟悉其求解的方法 以及求解的步骤 一 预习新知一 预习新知 同学们 请问我们生活中椭圆形的物体有哪些 请举例 那么我们如何画出这个完美 用心 爱心 专心7 的图形呢 二 预习点拨二 预习点拨 探究与反思 探究任务一 椭圆的定义以及标准方程 反思 1 椭圆的定义是什么 2 椭圆的标准方程是什么 探究任务二 椭圆的几何性质 反思 1 椭圆的简单几何性质有哪些 2 如何运用性质解决有关的椭圆的有关方程求解 探究任务三 直线与椭圆的位置关系 反思 1 直线与椭圆的位置关系有哪些 2 相交时 相交弦的公式是什么 如何解决有关相交时的问题呢 答题时间 45 分钟 一 选择题 1 若曲线C上的点的坐标满足方程 0f x y 则下列说法正确的是 A 曲线C的方程是 0f x y B 方程 0f x y 的曲线是C C 坐标不满足方程 0f x y 的点都不在曲线C上 D 坐标满足方程 0f x y 的点都在曲线C上 2 方程 2 yx 表示的图形是 A 两条平行直线 B 两条相交直线 C 有公共端点的两条射线 D 一个点 3 点M在曲线xy4 2 上 是 点M的坐标满足方程xy2 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 若直线022 kyx与kxy 的交点在曲线25 22 yx上 则k的值是 A 1 B 1 C 1 或 1 D 以上都不对 二 填空题 5 求方程cbxaxy 2 的曲线经过原点的充要条件是 6 已知 0 2 点 cos sin P 在曲线 22 2 3xy 上 则 的值是 7 方程 2222 4 4 0 xy 表示的图形是 8 曲线 22 44xy 关于直线yx 对称的曲线方程为 用心 爱心 专心8 三 解答题 9 已知线段 AB B 点的坐标为 6 0 A 点在曲线 y x2 3 上运动 求 AB 的中点 M 的轨迹方程 10 已知点 A 1 0 B 2 0 求使 MBA 2 MAB 的动点 M 的轨迹方程 1 C 分析 利用逆否命题我们可以判定选项 C 是已知的逆否命题 真值相同 2 B 分析 去掉绝对值符号 我们可以得到xy 2 1 显然是表示两条直线 3 B 分析 由已知条件不一定可以推出结论 但是由结论可以推出条件 因此选 B 4 C 分析 联立方程组 kxy kyx022 解得交点为 4k 3k 代入到圆的方程中 就可以求得 k 的值 5 c 0 分析 首先曲线过点 0 0 得到 c 0 反之 当 c 0 时 曲线也过原点 6 3 3 5 分析 把点 P 代入得到三角函数的关系式 就可以求得 2 1 cos 从而 求解 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