【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第14篇 第1讲 坐标系限时训练 理

1 系列系列 4 4 选讲选讲 第第 1 1 讲讲 坐标系坐标系 分层 A 级 基础达标演练 时间 40 分钟 满分 80 分 1 2012 广州测试 在极坐标系中 若过点 1 0 且与极轴垂直的直线交曲线 4cos 于A B两点 求 AB 的长 解 注意到在极坐标系中 过点 1 0 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x 1 曲 线 4cos 的直角坐标方程是x2 y2 4x 即 x 2 2 y2 4 圆心 2 0 到直线 x 1 的距离等于 1 因此 AB 2 2 4 13 2 2011 安徽 在极坐标系中 求点到圆 2cos 的圆心的距离 2 3 解 点点 1 2cos x2 y2 2x 0 2 3 化为 3 化为 圆x2 y2 2x 0 的圆心坐标为 1 0 由两点间的距离公式得 所求两点距离为 1 1 2 3 0 23 3 在极坐标系中 求过圆 6cos 2sin 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标 2 方程 解 由 6cos 2sin 2 6 cos 2 sin 所以圆的直角坐标 22 方程为x2 y2 6x 2y 0 将其化为标准形式为 x 3 2 y 2 11 故圆心的 22 坐标为 3 所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x 3 将其化为极坐标方 2 程为 cos 3 4 2012 广州广雅中学模拟 在极坐标系中 求圆 4 上的点到直线 cos sin 8 的距离的最大值 3 解 把 4 化为直角坐标方程为x2 y2 16 把 cos sin 8 化为直角 3 坐标方程为x y 8 0 圆心 0 0 到直线的距离为d 4 直线和圆相切 3 8 2 圆上的点到直线的最大距离是 8 5 2012 江西九校联考 在极坐标系中 曲线C1 2cos 曲线C2 若曲 4 线C1与C2交于A B两点 求线段AB的长 解 曲线C1与C2均经过极点 因此极点是它们的一个公共点 由Error 得Error 即曲线 C1与C2的另一个交点与极点的距离为 因此AB 22 2 6 2012 深圳调研 在极坐标系中 P Q是曲线C 4sin 上任意两点 求线段PQ 长度的最大值 解 由曲线C 4sin 得 2 4 sin x2 y2 4y 0 x2 y 2 2 4 即曲线C 4sin 在直角坐标系下表示的是以点 0 2 为圆心 以 2 为半径的圆 易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长 因此线段PQ长度的最大值 是 4 7 如图 在圆心的极坐标为A 4 0 半径为 4 的圆中 求过 极点O的弦的中点的轨迹 解 设M 是所求轨迹上任意一点 连接OM并延长 交圆A于点P 0 0 则有 0 0 2 由圆心 为 4 0 半径为 4 的圆的极坐标方程为 8cos 得 0 8cos 0 所以 2 8cos 即 4cos 故所求轨迹方程是 4cos 它表示以 2 0 为圆心 2 为半径的圆 8 2012 江西八校联考 若直线 3x 4y m 0 与曲线 2 2 cos 4 sin 4 0 没有公共点 求实数m的取值范围 解 注意到曲线 2 2 cos 4 sin 4 0 的直角坐标方程是 x2 y2 2x 4y 4 0 即 x 1 2 y 2 2 1 要使直线 3x 4y m 0 与该曲线没有 公共点 只要圆心 1 2 到直线 3x 4y m 0 的距离大于圆的半径即可 即 1 m 5 5 解得 m 0 或m 10 3 1 4 2 m 5 分层 B 级 创新能力提升 1 设过原点O的直线与圆 x 1 2 y2 1 的一个交点为P 点M为线段OP的中点 当点 P在圆上移动一周时 求点M轨迹的极坐标方程 并说明它是什么曲线 解 圆 x 1 2 y2 1 的极坐标方程为 2cos Error Error 设点P的极坐标为 1 1 点M的极坐标为 点M为线段OP的中点 1 2 1 将 1 2 1 代入圆的极坐 标方程 得 cos 点M轨迹的极坐标方程为 cos 2 2 它表示圆心在点 半径为 的圆 1 2 0 1 2 2 2010 福建 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为Error t为参数 在极坐标 系 与直角坐标系xOy取相同的长度单位 且以原点O为极点 以x轴正半轴为极轴 中 圆C的方程为 2sin 5 1 求圆C的直角坐标方程 2 求圆C与直线l交于点A B 若点P的坐标为 3 求 PA PB 5 3 解 法一 1 由 2sin 得x2 y2 2y 0 即x2 y 2 5 555 2 将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程 得 2 2 5 即 3 2 2 t 2 2 t t2 3t 4 0 2 由于 3 2 4 4 2 0 故可设t1 t2是上述方程的两实根 2 所以Error 又直线l过点P 3 5 故由上式及t的几何意义得 PA PB t1 t2 t1 t2 3 2 法二 1 同法一 2 因为圆C的圆心为 0 半径r 直线l的普通方程为 y x 3 555 由Error 得x2 3x 2 0 解得 Error 或Error 不妨设A 1 2 B 2 1 又点P的坐标为 3 故 555 PA PB 3 822 3 2012 山西六校模考 以直角坐标系的原点O为极点 x轴的正半轴为极轴 已知点P 的直角坐标为 1 5 点M的极坐标为 若直线l过点P 且倾斜角为 圆 4 2 3 C以M为圆心 4 为半径 1 求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程 2 试判定直线l和圆C的位置关系 解 1 由题意 直线l的普通方程是y 5 x 1 tan 此方程可化为 3 y 5 sin 3 令 a a为参数 得直线l的参数方程为Error a为参数 x 1 cos 3 y 5 sin 3 x 1 cos 3 如图 设圆上任意一点为P 则在 POM中 由余弦定理 得 PM2 PO2 OM2 2 PO OMcos POM 42 2 42 2 4 cos 2 化简得 8sin 即为圆C的极坐标方程 2 由 1 可进一步得出圆心M的直角坐标是 0 4 直线l的普通方程是x y 5 0 33 4 圆心M到直线l的距离d 4 0 4 5 3 3 1 9 3 2 所以直线l和圆C相离 4 2010 浙江自选 IB 如图 在极坐标系Ox中 已知曲线C1 4sin 4 2 C2 4cos C3 4 4 2 或3 2 2 0 2 1 求由曲线C1 C2 C3围成的区域的面积 2 若M N 2 0 射线 与曲线C1 C2分别交于 4 2 0 4 2 A B 不同于极点O 两点 若线段AB的中点恰好落在直线MN上 求 tan 的值 解 1 由已知 如图弓形OSP的面积 22 22 2 1 4 1 2 从而 如图阴影部分的面积 22 2 2 4 1 2 故所求面积 42 22 4 6 4 1 4 1 2 2 设AB的中点为G ONG 由题意 得 2si