【步步高】2014届高考数学大一轮复习 7.4 基本不等式试题（含解析）新人教A版

1 7 47 4 基本不等式基本不等式 一 选择题 1 若x 0 则x 的最小值为 4 x A 2 B 3 C 2 D 4 2 解析 x 0 x 4 4 x 答案 D 2 设a b满足 2a 3b 6 a 0 b 0 则 的最小值为 2 a 3 b A B 25 6 8 3 C D 4 11 3 解析 由a 0 b 0 2a 3b 6 得 1 a 3 b 2 2 a 3 b 2 a 3 b a 3 b 2 2 3 3 2 b a a b 2 2 13 6 b a a b 13 6 25 6 当且仅当 且 2a 3b 6 即a b 时等号成立 b a a b 6 5 即 的最小值为 2 a 3 b 25 6 答案 A 3 气象学院用 3 2 万元买了一台天文观测仪 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 第n天的维修保养费为元 使用它直至 报废最合算 所谓 报废 n 10 4 9 n N N 最合算 是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少 一共使用了 A 600 天 B 800 天 C 1 000 天 D 1 200 天 解析 设一共使用了n天 则使用n天的平均耗资为 4 95 32 000 5 n 10 4 9 n 2 n 32 000 n n 20 当且仅当 时 取得最小值 此时n 800 本题的函数模型是一个在生活中较为 32 000 n n 20 常见的模型 注意如何建立这类问题的函数关系式 在有的问题中仪器还可以做废品再卖 一点钱 这样要从总的耗资中把这部分除去 答案 B 2 4 若正实数a b满足a b 1 则 A 有最大值 4 B ab有最小值 1 a 1 b 1 4 C 有最大值 D a2 b2有最小值 ab2 2 2 解析 由基本不等式 得ab 所以ab 故 B 错 a2 b2 2 a b 2 2ab 2 1 4 1 a 1 b 4 故 A 错 由基本不等式得 即 故 C 正 a b ab 1 ab a b 2 a b 2 1 2ab2 确 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 1 2 故 D 错 1 4 1 2 答案 C 5 已知a 0 b 0 a b 2 则y 的最小值是 1 a 4 b A B 4 C D 5 7 2 9 2 解析 依题意得 a b 当且仅当 1 a 4 b 1 2 1 a 4 b 1 2 5 b a 4a b 1 2 5 2 b a 4a b 9 2 Error 即a 2 3 b 时取等号 即 的最小值是 选 C 4 3 1 a 4 b 9 2 答案 C 6 已知x 0 y 0 x a b y成等差数列 x c d y成等比数列 则的 a b 2 cd 最小值是 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 由题知a b x y cd xy x 0 y 0 则 4 当且仅当x y时取等号 a b 2 cd x y 2 xy 2xy 2 xy 答案 D 7 7 已知ab 都是正实数 函数2 x yaeb 的图象过 0 1 点 则 11 ab 的最小值是 A 32 2 B 32 2 C 4 D 2 3 答案 A 二 填空题 8 已知x y为正实数 且满足 4x 3y 12 则xy的最大值为 解析 12 4x 3y 2 xy 3 当且仅当Error 即Error 时xy取得最大值 3 4x 3y 答案 3 9 若a是 1 2b与 1 2b的等比中项 则的最大值为 2ab a 2 b 解析 a是 1 2b与 1 2b的等比中项 则a2 1 4b2 a2 4b2 1 a2 4b2 a 2 b 2 4 ab 1 这个式子只有当ab 0 时 2ab a 2 b 2ab 1 4 ab 取得最大值 当ab 0 时 2ab 1 4 ab 2ab 1 4ab 2 1 ab 2 4 ab 2 1 ab 2 2 4 由于a2 4b2 1 故 4ab 1 即 4 1 ab 故当 4 时 取最大值 1 ab 2ab a 2 b 2 32 2 4 答案 2 4 10 若实数x y满足x2 y2 xy 1 则x y的最大值为 解析 由x2 y2 xy 1 得 x y 2 xy 1 即xy x y 2 1 所以 x y 2 1 x y 2 4 3 4 故 x y 2 3 3 2 3 3 当x y时 成立 所以x y的最大值为 2 3 3 答案 2 3 3 11 x y R R 且xy 0 则的最小值为 x2 1 y2 1 x2 4y2 解析 1 4 4x2y2 1 4 2 9 当且仅当 x2 1 y2 1 x2 4y2 1 x2y2 4x2y2 1 x2y2 4x2y2 时等号成立 即 xy 时等号成立 1 x2y2 2 2 4 答案 9 12 在平面直角坐标系xOy中 过坐标原点的一条直线与函数f x 的图象交于P Q两 2 x 点 则线段PQ长的最小值是 解析 假设直线与函数f x 的图象在第一象限内的交点为P 在第三象限内的交点为 2 x Q 由题意知线段PQ的长为OP长的 2 倍 假设P点的坐标为 则 PQ 2 OP 2 4 当且仅当x 即x0 时 x0 2 x0 x2 0 4 x2 0 2 0 4 x2 02 取 号 答案 4 三 解答题 13 已知x 0 y 0 且 2x 8y xy 0 求 1 xy的最小值 2 x y的最小值 解析 x 0 y 0 2x 8y xy 0 1 xy 2x 8y 2 16xy 8 xy 64 xy 故xy的最小值为 64 2 由 2x 8y xy 得 1 2 y 8 x x y x y 1 x y 2 y 8 x 10 10 8 18 2x y 8y x 故x y的最小值为 18 14 某单位用 2 160 万元购得一块空地 计划在该空地上建造一栋至少 10 层 每层 2 000 平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为 560 48x 单位 元 1 写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式 2 该楼房应建造多少层时 可使楼房每平方米的平均综合费用最少 最少值是多少 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 解析 1 依题意得y 560 48x 2 160 10 000 2 000 x 560 48x x 10 x N N 10 800 x 5 2 x 0 48x 2 1 440 元 10 800 x48 10 800 当且仅当 48x 即x 15 时取到 10 800 x 此时 平均综合费用的最小值为 560 1 440 2 000 元 所以 当该楼房建造 15 层时 可使楼房每平方米的平均综合费用最少 最少值为 2 000 元 15 设a b c都是正数 求证 a b c bc a ac b ab c 证明 a b c都是正数 都是正数 bc a ca b ab c 2c 当且仅当a b时等号成立 bc a ca b 2a 当且仅当b c时等号成立 ca b ab c 2b 当且仅当a c时等号成立 ab c bc a 三式相加 得 2 2 a b c bc a ca b ab c 即 a b c bc a ca b ab c 当且仅当a b c时等号成立 16 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式 某研究单位打算开发一个桑基鱼 塘项目 该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块 中间挖出三个矩形池塘养鱼 挖 出的泥土堆在池塘四周形成基围 阴影部分所示 种植桑树 池塘周围的基围宽均为 2 米 如图 设池塘所占的总面积为S平方米 1 试用x表示S 2 当x取何值时 才能使得S最大 并求出S的最大值 解析 1 由题图形知 3a 6 x a x 6 3 则总面积S a 2a 1 800 x 4 1 800 x 6 a 5 400 x 16 x 6 3 5 400 x 16 6 1 832 10 8