【步步高】2014届高考数学大一轮复习 3.3 导数的应用（二）试题（含解析）新人教A版

1 3 33 3 导数的应用 二 导数的应用 二 一 选择题 1 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图所示 则函 数f x 在开区间 a b 内有极小值点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 A 2 若函数y f x 可导 则 f x 0 有实根 是 f x 有极值 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 3 已知函数f x x3 ax2 a 6 x 1 有极大值和极小值 则实数a的取值范围是 A 1 2 B 3 6 C 3 6 D 1 2 解析 f x 3x2 2ax a 6 因为函数有极大值和极小值 所以f x 0 有两个不相等的实数根 所以 4a2 4 3 a 6 0 解得a 3 或a 6 答案 B 4 已知函数f x x3 ax2 4 在x 2 处取得极值 若m n 1 1 则f m f n 的最小值是 A 13 B 15 C 10 D 15 解析 求导得f x 3x2 2ax 由函数f x 在x 2 处取得极值知f 2 0 即 3 4 2a 2 0 a 3 由此可得f x x3 3x2 4 f x 3x2 6x 易知f x 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 当m 1 1 时 f m min f 0 4 又f x 3x2 6x的图象开口向下 且对 称轴为x 1 当n 1 1 时 f n min f 1 9 故f m f n 的最小值 为 13 答案 A 5 函数y xe x x 0 4 的最小值为 2 A 0 B C D 1 e 4 e4 2 e2 解析 y e x xe x e x x 1 y 与y随x变化情况如下 x0 0 1 1 1 4 4 y 0 y0 1 e 4 e4 当x 0 时 函数y xe x取到最小值 0 答案 A 6 设a R 函数f x ex a e x的导函数是f x 且f x 是奇函数 若曲线 y f x 的一条切线的斜率是 则切点的横坐标为 3 2 A ln2 B ln2 C D ln2 2 ln2 2 解析 f x ex ae x 这个函数是奇函数 因为函数f x 在 0 处有定义 所以f 0 0 故只能是a 1 此时f x ex e x 设切点的横坐标是x0 则 ex0 e x0 即 3 2 2 ex0 2 3ex0 2 0 即 ex0 2 2ex0 1 0 只能是 ex0 2 解得x0 ln2 正确选项 为 A 答案 A 7 设函数f x ax2 bx c a b c R 若x 1 为函数f x ex的一个极值点 则下 列图象不可能为y f x 的图象是 解析 若x 1 为函数f x ex的一个极值点 则易得a c 因选项 A B 的函数为f x a x 1 2 则 f x ex f x ex f x ex a x 1 x 3 ex x 1 为函数 f x ex的一个极值点 满足条件 选项 C 中 对称轴x 0 且开口向下 b 2a a 0 b 0 f 1 2a b 0 也满足条件 选项 D 中 对称轴x 1 且 b 2a 开口向上 a 0 b 2a f 1 2a b 0 与图矛盾 故答案选 D 答案 D 二 填空题 8 已知f x 2x3 6x2 3 对任意的x 2 2 都有f x a 则a的取值范围为 3 解析 由f x 6x2 12x 0 得x 0 或x 2 又f 2 37 f 0 3 f 2 5 f x max 3 又f x a a 3 答案 3 9 函数f x x2 2ln x的最小值为 解析 由f x 2x 0 得x2 1 又x 0 所以x 1 因为 0 x 1 时 f x 2 x 0 x 1 时f x 0 所以当x 1 时 f x 取极小值 极小值唯一 也即最小值f 1 1 答案 1 10 若f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 有极大值和极小值 则a的取值范围 解析 f x 3x2 6ax 3 a 2 由已知条件 0 即 36a2 36 a 2 0 解得a2 答案 1 2 11 设函数f x ax3 3x 1 x R 若对于任意x 1 1 都有f x 0 成立 则实 数a的值为 解析 构造法 若x 0 则不论a取何值 f x 0 显然成立 当x 0 即x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0 可化为a 设g x 则 3 x2 1 x3 3 x2 1 x3 g x 3 1 2x x4 所以g x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 0 1 2 1 2 1 因此g x max g 4 从而a 4 1 2 当x 0 即x 1 0 时 同理a 3 x2 1 x3 g x 在区间 1 0 上单调递增 g x min g 1 4 从而a 4 综上可知a 4 答案 4 点评 本题考查了分类讨论思想构造函数 同时利用导数的知识来解决 12 已知函数f x 的自变量取值区间为A 若其值域也为A 则称区间A为f x 的保值区 间 若g x x m lnx的保值区间是 2 则m的值为 解析 g x 1 当x 2 时 函数g x 为增函数 因此g x 的值域为 1 x x 1 x 2 m ln2 因此 2 m ln2 2 故m ln2 4 答案 ln2 三 解答题 13 已知函数f x ax3 bx2 cx在点x0处取得极大值 5 其导函数y f x 的图象经 过 1 0 2 0 点 如图所示 1 求x0的值 2 求a b c的值 解析 1 由f x 随x变化的情况 x 1 1 1 2 2 2 f x 0 0 可知当x 1 时f x 取到极大值 5 则x0 1 2 f x 3ax2 2bx c a 0 由已知条件x 1 x 2 为方程 3ax2 2bx c 0 的两根 因此Error 解得a 2 b 9 c 12 14 已知函数f x x3 ax2 bx c 曲线y f x 在点x 1 处的切线为l 3x y 1 0 若x 时 y f x 有极值 2 3 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解析 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 当x 1 时 切线l的斜率为 3 可得 2a b 0 当x 时 y f x 有极值 2 3 则f 0 可得 4a 3b 4 0 2 3 由 解得a 2 b 4 由于切点的横坐标为x 1 f 1 4 1 a b c 4 c 5 a 2 b 4 c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 f x 3x2 4x 4 令f x 0 得x1 2 x2 2 3 5 当x变化时 y y 的取值及变化如下表 x 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 1 1 y 0 0 y8 单调递增 13 单调递减 95 27 单调递增 4 y f x 在 3 1 上的最大值为 13 最小值为 95 27 15 设f x x3 x2 2ax 1 3 1 2 1 若f x 在上存在单调递增区间 求a的取值范围 2 3 2 当 0 a 2 时 f x 在 1 4 上的最小值为 求f x 在该区间上的最大值 16 3 解析 1 由f x x2 x 2a 2 2a x 1 2 1 4 当x 时 f x 的最大值为f 2a 令 2a 0 得a 2 3 2 3 2 9 2 9 1 9 所以 当a 时 f x 在上存在单调递增区间 即f x 在上存在单 1 9 2 3 2 3 调递增区间时 a的取值范围是 1 9 2 令f x 0 得两根x1 x2 1 1 8a 2 1 1 8a 2 所以f x 在 x1 x2 上单调递减 在 x1 x2 上单调递增 当 0 a 2 时 有x1 1 x2 4 所以f x 在 1 4 上的最大值为f x2 又f 4 f 1 6a 0 即f 4 f 1 27 2 所以f x 在 1 4 上的最小值为f 4 8a 40 3 16 3 得a 1 x2 2 从而f x 在 1 4 上的最大值为f 2 10 3 16 设函数f x x aln x a R 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个极值点x1和x2 记过点A x1 f x1 B x2 f x2 的直线的斜率为k 6 问 是否存在a 使得k 2 a 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 思路分析 先求导 通分后发现f x 的符号与a有关 应对a进行分类 依据方程的判 别式来分类 解析 1 f x 的定义域为 0 f x 1 1 x2 a x x2 ax 1 x2 令g x x2 ax 1 其判别式 a2 4 当 a 2 时 0 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 2 时 0 g x 0 的两根都小于 0 在 0 上 f x 0 故f x 在 0 上单调递增 当a 2 时 0 g x 0 的两根为x1 a a2 4 2 x2 a a2 4 2 当 0 x x1时 f x 0 当x1 x x2时 f x 0 当x x2时 f x 0 故f x 分别在 0 x1 x2 上单调递增 在 x1 x2 上单 调递减 2 由 1 知 a 2 因为f x1 f x2 x1 x2 a ln x1 ln x2 所以 x1 x2 x1x2 k 1 a f x1 f x2 x1 x2 1 x1x2 ln x1 ln x2 x1 x2 又由 1 知 x1x2 1 于是k 2 a ln x1 ln x2 x1 x2 若存在a 使得k 2 a 则 1 ln x1 ln x2 x1 x2 即 ln x1 ln