高考物理 向量概念与运算（数学）在物理中的应用教学论文

向量概念与运算 数学 在物理中的应用向量概念与运算 数学 在物理中的应用 数学中的向量概念及其运算法则 在物理中有广泛的应用 把数学与物理沟通 既有 利于理解数学 也有利于理解物理 还有利于提高迁移能力与综合能力 数学中的向量 物理中叫矢量 定义如下 向量 数学 我们把既有大小又有方向的量叫向量向量 全日制普通高级中学教科书 必修 数学 第一册 下 人民教育出版社 以下简称 数学 第 96 页 黑体字为 原书所加 下同 物理 同 矢量 物理 力既有大小 又有方向 力的合成要遵守平行四边形定则 在物理学 中 象这样的物理量叫做矢量矢量 全日制普通高级中学教科书 必修 物理 第一册 人 民教育出版社 以下简称 物理 第一册 第 13 页 而长度 质量 温度 时间 能量等 物理量 只有大小 没有方向 在物理学中叫做标量标量 同上 物理量有许多矢量 如力 F 位移 s 速度 v 加速度 a 动量 p 电场强度 E 磁感应 强度 B 等等 标量除上述外还有 如功 W 功率 P 能量 E 包括动能与势能 势能又包括重力势 能 弹性势能 分子势能 电势能等 等等 矢量与标量物理意义不同 比较大小的方法不同 运算法则也不同 矢量的运算法则 与数学中的向量相同 一 一 向量的加法与减法向量的加法与减法 力与运动的合成与分解力与运动的合成与分解 一 数学中向量的加法 一 数学中向量的加法 1 定义 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 向量的加法 数学 第 99 页 2 法则 1 三角形法则 图 1 中的两个向量 如图 2 教科书图 5 7 根据向量 加法的定义得出的求向量和的方法 称为向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则 A a B b O A b b a B D a C 图 1 图 2 图 3 2 平行四边形法则 如图 3 教科书图 5 8 以同一点 A 为起点的两个已知向量 a b 为邻边作 ABCD 则以 A 为起点的对角线就是 a 与 b 的和 我们把这种作两个 AC 向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则 数学 第 100 页 二 数学中向量的减法 二 数学中向量的减法 1 定义 求两个向量差的运算 叫做向量的减法 向量的减法 数学 第 102 页 2 法则 1 三角形法则 如图 5 教科书图 5 11 a b 可以表示为从向量 b 的终 点指向向量 a 的终点的向量 数学 第 102 页 O a A a B b a b b b a b a a b D C 图 4 图 5 图 6 2 平行四边形法则 如图 6 教科书图 5 14 ABCD 中 a b 知 AB AD a b 数学 第 103 页 DB AB AD 三 物理中力的合成与分解 三 物理中力的合成与分解 1 力的合成力的合成 1 定义 求几个力的合力叫做力的合成力的合成 2 平行四边形法则 实验表明 如果用表示两个力 F1和 F2的线段为邻边作 平行四边形 那么 合力 F 的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对 角线表示出来 这叫做力的平行四边形定则平行四边形定则 物理 第 12 页 2 力的分解力的分解 1 定义 求一个已知力的分力叫做力的分解力的分解 2 平行四边形法则 把一个已知力 F 作为平行四边形的对角线 那么 与 力 F 共点的平行四边形的两个邻边 就表示力 F 的两个分力 同一个力 F 可以分解为无数对大小 方向不同的分力 一个已知力究竟该怎样分解 这要根据实际情况来决定 物理 第 14 页 比较可知 数学的研究从定义出发 物理的研究从实验出发 四 物理中运动的合成与分解 四 物理中运动的合成与分解 1 运动的合成与分解 1 定义 在描述演示蜡块在注满水的玻璃管中参与玻璃管的水平运动与 上浮运动两个运动的实验后给出 上述实验中红蜡块在竖直方向的运 动和随管做的水平方向的运动 通常叫做分运动分运动 红蜡块实际发生的 运动 通常叫做合运动 合运动 2 定义 已知分运动求合运动 叫做运动的合成运动的合成 已知合运动求分运动 叫做运动的分解运动的分解 物理 第 84 页 2 平抛运动的分解 平抛运动可以分解为水平方向和竖直方向上的两个分运动 在水平方向 也 就是在初速度方向 上物体不受力 物体由于惯性而做匀速直线运动 速度等于 平抛物体的初速度 在竖直方向上物体受到重力的作用 并且初速度为零 物体 做自由落体运动 物理 第 86 页 然后是平抛实验和频闪照片 最后得公式 tvx 0 2 2 1 gty 0 vvx gtvy 22 yxt vvv 是与 x 轴 水平方向 的正方向的夹角 x y v v tan t v 物理 第 86 和 87 页 比较可知 数学的研究方法用逻辑推理 物理的研究方法以应用为主 二 向量的数量积向量的数量积 力的功力的功 一 一 数学中向量的数量积数学中向量的数量积 1 定义 已知两个非零向量 a 和 b 它们的夹角为 我们把数量 叫做 a 与 b 的数量积 数量积 或内积 或点乘积内积 或点乘积 笔者加 记作 cosba ab 即 ab 数学 第 118 页 cosba 2 几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 上的投影的乘 a cosb 积 数学 第 119 页 二 二 物理中力的功物理中力的功 定义 一个物体受到力的作用 如果在力的方向上发生一段位移 这个力就对物 体做了功 F2 F F2 F F1 F1 s 图 7 如图 7 教科书图 8 2 所示 cosFsW 这就是说 力对物体所做的功 等于力的大小 位移的大小 力和位 移的夹角的余弦这三者的乘积 物理 第 135 页 与数学比较可以得出 功 W 标量 是力 F 矢量 与位移 s 矢量 的数量积 记作 W Fs 也叫做点乘积 其结果是数量 标量 三 三 向量的向量积向量的向量积 安培力与洛仑兹力安培力与洛仑兹力 一 一 数学中实数与向量的积数学中实数与向量的积 定义 实数与向量 a 的积是一个向量 记作a 它的长度与方向规定如下 1 a a 2 当 0 时 a 的方向与 a 的方向相同 当 0 时 a 的方向与 a 的方 向相反 当 0 时 a 0 二 数学中向量的向量积 二 数学中向量的向量积 1 定义 已知两个非零向量 a 和 b 它们的夹角为 我们把向量 c 叫做 a 与 b 的向量积 向量积 或叉乘积 叉乘积 记作 ab 即 ab c 其中 其中 c 的大小为为 c 的方向由左手定则确定 左手定则后面介绍 高中 数 sinba 学 教科书没有 笔者根据大学所学知识仿数学中向量的数量积的模式写 2 几何意义 向量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 的法线 垂线 上的投 a 影的乘积 同上 sinb 三 物理中的安培力和洛仑兹力 三 物理中的安培力和洛仑兹力 1 安培力 安培力 1 定义 磁场对电流的作用力通常称为安培力安培力 这是为了纪念法国物理学 家安培 1775 1836 2 安培力的大小 实验表明 把一段通电直导线放在磁场里 当导线方 向与磁场方向垂直时 电流所受的安培力最大 当导线方向与磁场方向一致时 电流所受的安培力最小 等于零 当导线方向与磁场方向斜交时 电流所受的安 培力介于最大值和最小值之间 物理 第二册第 147 页 导线方向与磁场方向垂直时 公式为 物理 第二册第 148 页 BILF 导线方向与磁场方向斜交 夹角为时 公式为 笔者加 BILF sin 3 安培力的方向 通电直导线所受安培力的方向和磁场方向 电流方向之 间的关系 可以用左手定则来判定 图 8 教科书图 16 17 伸开左手 使大拇 指跟其余四个手指垂直 并且都跟手掌在一个平面内 把手放入磁场中 让磁感 线垂直穿入手心 并使伸开的四指指向电流的方向 那么 大拇指所指的方向就 是通电直导线安培力的方向 物理 第二册第 149 页 图图 8 与数学比较可以得出 安培力 F 是磁感应强度 B 与电流 I 和导体长度 L 的 积 IL 的向量积 其中 F 安培力 B 磁感应强度 与电流 I 三个物理量 是矢量 向量 其字母用黑体 导体长度 L 是标量 数量 其字母不用黑体 电流 I 与导体长度 L 的乘积是实数与向量的积 I 相当于 a L 相当于 B 磁感 应强度 与 IL 的乘积是向量的向量积 可以记作 F B IL 所以也叫做 叉乘积 3 洛仑兹力洛仑兹力 1 定义 电子射线管 实验表明 在没有外磁场时 电子束是沿直线前进的 图 9 之上图 教科书图 16 22 甲 如果把射线管放在蹄形磁铁的两极间 荧光 屏上显示的电子束运动的径迹发生了弯曲 图 9 之下图 教科书图 16 22 乙 这 表明 运动电荷确实受到了磁场的作用力 这个力通常叫做洛仑兹力 洛仑兹力 荷兰物理 学家洛仑兹 1853 1928 首先提出了运动电荷产生磁场和磁场对运动电荷有作用 力的观点 为纪念他 人们称这种力为洛仑兹力 洛仑兹力 物理 第二册第 151 页 图 9 2 洛仑兹力的方向 洛仑兹力的方向也可以用左手定则来判定 伸开左 手 使大拇指跟其余四个手指垂直 且处于同一个平面内 把手放入磁场中 让 磁感线垂直穿入手心 四指指向正电荷运动的方向 那么 大拇指所指的方向就 是电荷正电荷所受洛仑兹力的方向 运动的负电荷在磁场中所受的洛仑兹力 方 向跟正电荷受的力相反 物理 第二册第 152 页 3 洛仑兹力的大小 将导线中的电流公式代入安培力公式nqvSI 得 再除以这段导线的电荷数得 洛仑兹BILF LBnqvSF nLS 力的大小公式 qvBF 这就是说 当电荷在垂直于磁场的方向上运动时 磁场对运动电荷的洛仑 兹力 F 等于电荷 q 速率 磁感应强度 B 三者的乘积 物理 第二册第 152v 页 如果速度与磁感应强度 B 不垂直而是夹角为 则洛仑兹力的大小公式变v 为 笔者加 sinqvBF 与数学比较可以得出 洛仑兹力 F 是磁感应强度 B 与与速度 v 和电荷量 q 的 积 q v 的向量积 其中 F 洛仑兹力 v 速度 与 B 磁感应强度 三个 物理量是矢量 向量 其字母用黑体 q 电荷量 是标量 数量 其字母不用黑 体 v 速度 与 q 电荷量 的乘积是数量与向量的积 其中 q 相当于 v 相当于 a B 磁感应强度 与 qv 的乘积是向量的向量积 可以记作 F B qv 所以也叫做叉乘积 需要注意的是 如果 q 为正电荷 则 qv 与 v 方向相同 如果 q 为负电荷 则 qv 与 v 方向相反 那么 按左手定则 q 为负电荷时的洛仑兹力与 q 为正电荷时的洛仑兹力方向相反 在学习中 有的同学对 F 与位移 s 的乘积功 W 是标量 而磁感应强度 B 与导线的长度 L 及电流 I 三者的乘积 为力 F 0 或电荷 q 速率 磁感应强度v B 三者的乘积 也是力 F 是矢量不理解 对物理量不垂直而斜交其夹角为时 求功 W 时用而求安培力或洛仑兹力 F 时用不理解