【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 第3章 导数的综合应用学案 苏教版

1 学案学案 1515 导数的综合应用导数的综合应用 导学目标 1 应用导数讨论函数的单调性 并会根据函数的性质求参数范围 2 会利用 导数解决某些实际问题 自主梳理 1 已知函数单调性求参数值范围时 实质为恒成立问题 2 求函数单调区间 实质为解不等式问题 但解集一定为定义域的子集 3 实际应用问题 首先要充分理解题意 列出适当的函数关系式 再利用导数求出该 函数的最大值或最小值 最后回到实际问题中 得出最优解 自我检测 1 函数f x x3 3ax a在 0 1 内有最小值 则a的取值范围为 2 2011 扬州模拟 已知f x g x 都是定义在 R R 上的函数 g x 0 f x g x 0 且a 1 则a的值为 f 1 g 1 f 1 g 1 5 2 3 2011 厦门质检 已知函数f x m 2 x2 m2 4 x m是偶函数 函数g x x3 2x2 mx 5 在 内单调递减 则实数m为 4 函数f x ex sin x cos x 在区间上的值域为 1 2 0 2 5 f x x x c 2在x 2 处有极大值 则常数c的值为 探究点一 讨论函数的单调性 例 1 已知函数f x x2e ax a 0 求函数在 1 2 上的最大值 变式迁移 1 设a 0 函数f x aln x x 1 讨论f x 的单调性 2 求f x 在区间 a 2a 上的最小值 探究点二 用导数证明不等式 例 2 已知f x x2 aln x a R R 1 2 1 求函数f x 的单调区间 2 求证 当x 1 时 x2 ln xln 2 1 且x 0 时 ex x2 2ax 1 探究点三 实际生活中的优化问题 例 3 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为 3 元 并且每件产品需向总公司 交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润L 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润L最大 并求出L的最大值 Q a 变式迁移 3 甲方是一农场 乙方是一工厂 由于乙方生产需占用甲方的资源 因此甲 方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入 在乙方不赔付甲方的情况下 乙方的 年利润x 元 与年产量t 吨 满足函数关系x 2 000 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲 t 方S元 以下称S为赔付价格 1 将乙方的年利润 元 表示为年产量t 吨 的函数 并求出乙方获得最大利润的年 产量 2 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y 0 002t2 元 在乙方按照获得最大利 润的产量进行生产的前提下 甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价格S 是多少 转化与化归思想 例 14 分 2010 全国 已知函数f x x 1 ln x x 1 1 若xf x x2 ax 1 求a的取值范围 2 证明 x 1 f x 0 答题模板 1 解 f x ln x 1 ln x x 0 2 分 x 1 x 1 x xf x xln x 1 由xf x x2 ax 1 得a ln x x 令g x ln x x 则g x 1 5 分 1 x 当 0 x0 当x 1 时 g x 0 x 1 是最大值点 g x max g 1 1 a 1 a的取值范围为 1 8 分 2 证明 由 1 知g x ln x x g 1 1 ln x x 1 0 注 充分利用 1 是快速解决 2 的关键 10 分 当 0 x 1 时 x 10 f x x 1 ln x x 1 ln x xln x x 1 ln x x 0 ln 1 x 1 x 1 3 x 1 f x 0 综上 x 1 f x 0 14 分 突破思维障碍 本小题主要考查函数 导数 不等式证明等知识 通过运用导数知识解决函数 不等式 问题 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力 同时也考查了函数与方 程思想 化归与转化思想 通过转化 本题实质还是利用单调性求最值问题 1 求极值 最值时 要求步骤规范 含参数时 要分类讨论参数的范围 若已知函数 单调性求参数范围时 隐含恒成立思想 2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各变量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出相应的函数关 系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数的区间端点对应的函数值和极值 确定最值 4 回到实际问题 作出解答 满分 90 分 一 填空题 每小题 6 分 共 48 分 1 2010 无锡模拟 已知曲线C y 2x2 x3 点P 0 4 直线l过点P且与曲线 C相切于点Q 则点Q的横坐标为 2 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3 时取得极值 则a 3 2011 盐城调研 函数f x 在定义域 R R 内可导 若f x f 2 x 且当 x 1 时 x 1 f x 0 则a f 0 b f c f 3 的大小关系为 1 2 4 函数f x x3 x2 tx t在 1 1 上是增函数 则t的取值范围是 5 若函数f x 且 0 x1 x20 试比较f x 与g x 的大小 答案答案 自我检测 1 0 a0 f x 2xe ax x2 a e ax e ax ax2 2x 令f x 0 即 e ax ax2 2x 0 得 0 x 2 a f x 在 0 上是减函数 2 a 在上是增函数 0 2 a 当 0 2 时 f x 在 1 2 上是减函数 2 a f x max f 1 e a 当 1 2 即 1 a 2 时 f x 在上是增函数 在上是减函数 f x 2 a 1 2 a 2 a 2 max f 4a 2e 2 2 a 当 2 即 0 a 1 时 f x 在 1 2 上是增函数 2 a f x max f 2 4e 2a 综上所述 当 0 a2 时 f x 的最大值为 e a 变式迁移 1 解 1 函数f x 的定义域为 0 5 f x a a 0 1 ln x x2 由f x a 0 得 0 x e 1 ln x x2 由f x e 故f x 在 0 e 上单调递增 在 e 上单调递减 2 f x 在 0 e 上单调递增 在 e 上单调递减 f x 在 a 2a 上的最小值 f x min min f a f 2a f a f 2a ln 1 2 a 2 当 02 时 f x min ln 2a 2 例 2 解题导引 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数 通过研究函数的 性质进而解决不等式问题 1 解 f x x x 0 a x x2 a x 若a 0 时 f x 0 恒成立 函数f x 的单调增区间为 0 若a 0 时 令f x 0 得x a 函数f x 的单调增区间为 减区间为 0 aa 2 证明 设F x x3 x2 ln x 2 3 1 2 故F x 2x2 x 1 x F x x 1 F x 0 x 1 2x2 x 1 x F x 在 1 上为增函数 又F x 在 1 上连续 F 1 0 1 6 F x 在 1 上恒成立 1 6 F x 0 当x 1 时 x2 ln xln 2 1 时 g x 最小值为g ln 2 2 1 ln 2 a 0 6 于是对任意x R R 都有g x 0 所以g x 在 R R 内单调递增 于是当a ln 2 1 时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即 ex x2 2ax 1 0 故 ex x2 2ax 1 例 3 解 1 分公司一年的利润L 万元 与售价x的函数关系式为L x 3 a 12 x 2 x 9 11 2 L x 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 令L 0 得x 6 a或x 12 不合题意 舍去 2 3 3 a 5 8 6 a 2 3 28 3 在x 6 a两侧L 的值由正变负 2 3 当 8 6 a 9 即 3 a 时 2 3 9 2 Lmax L 9 9 3 a 12 9 2 9 6 a 当 9 6 a 即 a 5 时 2 3 28 3 9 2 Lmax L 6 a 6 a 3 a 12 6 a 2 2 3 2 3 2 3 4 3 a 3 1 3 所以Q a Error 综上 若 3 a 则当每件售价为 9 元时 分公司一年的利润L最大 最大值Q a 9 2 9 6 a 万元 若 a 5 则当每件售价为 6 a 元时 分公司一年的利润L最大 最大值Q a 9 2 2 3 4 3 a 3 万元 1 3 变式迁移 3 解 1 因为赔付价格为S元 吨 所以乙方的实际年利润为 2 000 St t 由 S 1 000 t 1 000 S t t 令 0 得t t0 2 1 000 S 当t0 当t t0时 0 所以当t t0时 取得最大值 因此乙方获得最大利润的年产量为 2吨 1 000 S 2 设甲方净收入为v元 则v St 0 002t2 将t 2代入上式 得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式 1 000 S 7 v 1 0002 S 2 1 0003 S4 又v 1 0002 S2 8 1 0003 S5 1 0002 8 000 S3 S5 令v 0 得S 20 当S0 当S 20 时 v 0 所以S 20 时 v取得最大值 因此甲方向乙方要求赔付价格S 20 元 吨时 可获得最大净收入 课后练习区 1 1 2 5 3 c a b 4 t 5 解析 f x 在 1 1 上是增函数 f x 3x2 2x t 在 1 1 上f x 0 即 3x2 2x t 0 t 3x2 2x 设函数g x 3x2 2x 由于g x 的图象是对称轴为x 开口向上的抛物线 故g x 1 3 b 解析 f x 令g x xcos x sin x xcos x sin x x2 则g x xsin x cos x cos x xsin x 0 x 1 g x 0 即函数g x 在 0 1 上是减函数 得g x g 0 0 故f x b 6 d 6 3 解析 如图所示 为圆木的横截面 由b2 h2 d2 bh2 b d2 b2 设f b b d2 b2 f b 3b2 d2 令f b 0 由b 0 b d 且在 0 d 上f b 0 在 d d 上f b 0 3 3 3 3 3 3 函数f b 在b d处取极大值 也是最大值 即抗弯强度最大 此时长h d 3 3 6 3 7 300 解析 设长为x m 则宽为 20 x m 仓库的容积为V 则 V x 20 x 3 3x2 60 x V 6x 60 令V 0 得x 10 当 0 x0 当x 10 时 V 0 x 10 时 V最大 300 m3 8 8 1 0 解析 f x 0 解得 1 x 1 4 1 x2 x2 1 2 由已知得 m 2m 1 1 1 即Error 解得 10 时 f x 3kx2 6x 3kx x 2 k f x 的单调增区间为 0 单调减区间为 0 6 2 k 2 k 分 2 当k 0 时 函数f x 不存在极小值 当k 0 时 依题意f 1 0 2 k 8 k2 12 k2 即k2 4 由条件k 0 k的取值范围为 2 12 分 10 解 1 设隔热层厚度为x cm 由题设 每年能源消耗费用为C x 2 分 k 3x 5 再由C 0 8 得k 40 因此C x 4 分 40 3x 5 而建造费用为C1 x 6x 6 分 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f x 20C x C1 x 20 6x 40 3x 5 6x 0 x 10 8 800 3x 5 分 2 f x 6 令f x 0 2 400 3x 5 2 即 6 解得x 5 x 舍去 2 400 3x 5 2 25 3 10 分 当 0 x 5 时 f x 0 当 5 x0 12 分 故x 5 是f x 的最小值点 对应的最小值为f 5 6 5 70 800 15 5 当隔热层修建 5 cm 厚时 总费用达到最小值 70 万元 14 分 11 解 1 f x ln x的图象与x轴的交点坐标是 1 0 依题意 得g 1 a b 0 2 分 又f x g x a 1 x b x2 且f x 与g x 在点 1 0 处有公共切线