【步步高】2014届高考数学大一轮复习 13.3 直接证明与间接证明试题（含解析）新人教A版

1 13 313 3 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 一 选择题 1 所有 9 的倍数都是 3 的倍数 某奇数是 9 的倍数 故该奇数是 3 的倍数 上述推理 A 小前提错 B 结论错 C 正确 D 大前提错 解析 大前提 小前提都正确 推理正确 故选 C 答案 C 2 在用反证法证明命题 已知a b c 0 2 求证a 2 b b 2 c c 2 a 不可能 都大于 1 时 反证时假设正确的是 A 假设a 2 b b 2 c c 2 a 都小于 1 B 假设a 2 b b 2 c c 2 a 都大于 1 C 假设a 2 b b 2 c c 2 a 都不大于 1 D 以上都不对 解析 不可能都大于 1 的否定是 都大于 1 故选 B 答案 B 3 下列命题中的假命题是 A 三角形中至少有一个内角不小于 60 B 四面体的三组对棱都是异面直线 C 闭区间 a b 上的单调函数f x 至多有一个零点 D 设a b Z Z 若a b是奇数 则a b中至少有一个为奇数 解析 a b为奇数 a b中有一个为奇数 另一个为偶数 故 D 错误 答案 D 4 命题 如果数列 an 的前n项和Sn 2n2 3n 那么数列 an 一定是等差数列 是否成 立 A 不成立 B 成立 C 不能断定 D 能断定 解析 Sn 2n2 3n Sn 1 2 n 1 2 3 n 1 n 2 an Sn Sn 1 4n 5 n 1 时 a1 S1 1 符合上式 又 an 1 an 4 n 1 an 是等差数列 答案 B 5 设a b c均为正实数 则三个数a b c 1 b 1 c 1 a A 都大于 2 B 都小于 2 C 至少有一个不大于 2 D 至少有一个不小于 2 解析 a 0 b 0 c 0 2 a 1 b b 1 c c 1 a a 1 a b 1 b 6 c 1 c 当且仅当a b c 1 时 成立 故三者不能都小于 2 即至少有一个不小于 2 答案 D 6 设a lg 2 lg 5 b ex x 0 则a与b大小关系为 A a b B a b C a b D a b 解析 a lg 2 lg 5 lg 10 1 而b ex e0 1 故a b 答案 A 7 定义一种运算 对于自然数n满足以下运算性质 n 1 1 n 1 1 则n 1 A n B n 1 C n 1 D n2 解析 由 n 1 1 n 1 1 得n 1 n 1 1 1 n 2 1 2 n 答案 A 二 填空题 8 用反证法证明命题 若 a b N ab 能被 3 整除 那么 a b 中至少有一个能被 3 整除 时 假设应为 解析 由反证法的定义可知 否定结论 即 a b 中至少有一个能被 3 整除 的否定是 a b 都不能被 3 整除 答案 a b 都不能被 3 整除 9 要证明 2 可选择的方法有以下几种 其中最合理的是 填序号 375 反证法 分析法 综合法 答案 10 设a b是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于 1 的条件是 填序号 解析 若a b 则a b 1 1 2 2 3 但a 1 b2 故 推不出 若a 2 b 3 则ab 1 故 推不出 对于 即a b 2 则a b中至少有一个大于 1 反证法 假设a 1 且b 1 则a b 2 与a b 2 矛盾 因此假设不成立 故a b中至少有一个大于 1 答案 11 如果a b a b 则a b应满足的条件是 abba 解析 首先a 0 b 0 且a与b不同为 0 要使a b a b 只需 a b 2 a b 2 abbaabba 即a3 b3 a2b ab2 只需 a b a2 ab b2 ab a b 只需a2 ab b2 ab 即 a b 2 0 只需a b 故a b应满足a 0 b 0 且a b 答案 a 0 b 0 且a b 12 若a b c是不全相等的正数 给出下列判断 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b与a b及a b中至少有一个成立 a c b c a b不能同时成立 其中判断正确的是 解析 正确 中a c b c a b可能同时成立 如a 1 b 2 c 3 选 C 答案 三 解答题 13 在 ABC中 三个内角A B C的对边分别为a b c 若 试 1 a b 1 b c 3 a b c 问A B C是否成等差数列 若不成等差数列 请说明理由 若成等差数列 请给出证 明 解析 A B C成等差数列 证明如下 1 a b 1 b c 3 a b c 3 a b c a b a b c b c 1 c a b a b c c b c a a b a b b c b2 a2 c2 ac 在 ABC中 由余弦定理 得 4 cosB a2 c2 b2 2ac ac 2ac 1 2 0 B 180 B 60 A C 2B 120 A B C成等差数列 14 已知非零向量a a b b 且a a b b 求证 a a b b a a b b 2 证明 a a b b a a b b 0 要证 a a b b a a b b 2 只需证 a a b b a a b b 2 只需证 a a 2 2 a a b b b b 2 2 a a2 2a a b b b b2 只需证 a a 2 2 a a b b b b 2 2a a2 2b b2 只需证 a a 2 b b 2 2 a a b b 0 即 a a b b 2 0 上式显然成立 故原不等式得证 15 若a b c是不全相等的正数 求证 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 证明 a b c 0 0 0 0 a b 2ab b c 2bc a c 2ab 又上述三个不等式中等号不能同时成立 abc成立 a b 2 b c 2 c a 2 上式两边同时取常用对数 得 lg lg abc a b 2 b c 2 c a 2 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 16 12 分 已知二次函数f x ax2 bx c a 0 的图象与x轴有两个不同的交点 若 f c 0 且 0 x c时 f x 0 1 证明 是f x 0 的一个根 1 a 2 试比较 与c的大小 1 a 3 证明 2 b 1 5 解析 1 证明 f x 的图象与x轴有两个不同的交点 f x 0 有两个不等实根x1 x2 f c 0 x1 c是f x 0 的根 又x1x2 x2 c a 1 a 1 a c 是f x 0 的一个根 1 a 2 假设 c 又 0 1 a 1 a 由 0 x c时 f x 0 知f 0 与f 0