（理数）中山一中等六校联合体2013届高三第二次教学质量检测

1 中中山山一一中中等等六六校校联联合合体体2013 届届高高三三第第二二次次教教学学质质量量检检测测 理科数学试题理科数学试题 本试题共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 参考公式 参考公式 如果事件如果事件 A A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 P P 那么 那么 n n 次独立重复试验中恰好发生次独立重复试验中恰好发生 k k 次的次的 概率概率 1 n k kk nn P kC PP 锥体体积公式 锥体体积公式 1 3 VSh S为底面面积 为底面面积 h为高为高 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 已知全集RU 集合 240 x Mx 则 UM A 2 x x B 2 x x C 2 x x D 2 x x 2 复数在复平面中所对应的点到原点的距离为 A B 1 C D 3 如图所示 一个空间几何体的主 正 视图和左 侧 视图都是边长 为 1 的正方形 俯视图是一个直径为 1 的圆 那么这个几何体的全面积 为 A 3 2 B 2 C 3 D 4 4 执行右边的程序框图 若 p 4 则输出的 S A 1 16 B 7 8 C 15 16 D 31 32 5 数列 n a满足 1 1 2 0 2 1 21 1 2 nn n nn aa a aa 若 1 3 5 a 则数列的第 2012 项为 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 6 如图所示 已知点 G 是 ABC 的重心 过 G 作直线与 AB AC 两边分别 2 交于 M N 两点 且AM xAB AN yAC 则的值为 x y x y A 3 B C 2 D 1 3 1 2 7 一植物园参观路径如右图所示 若要全部参观并且路线不重复 则不同 的参观路线种数共有 A 6 种B 8 种 C 36 种D 48 种 8 函数 2 2yxx 在区间 a b上的值域是 1 3 则点 a b 的轨迹是 图中的 A 线段 AB 和线段 AD B 线段 AB 和线段 CD C 线段 AD 和线段 BC D 线段 AC 和线段 BD 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分分 一 必做题 一 必做题 9 13 题 题 9 在二项式 5 2 1 x x 的展开式中 含 4 x的项的系数是 10 某单位为了了解用电量 y 度与气温Cx 之间的关系 统计了某 4 天的用电量与当天气 温 数据如下表 气温 0C 1813101 用电量 度 24343864 由表中数据可得线性回归方程 y bxa 中的2b 预测当气温为10 C 时 该单 位用电量的度数约为 度 11 已知不等式组 10 10 330 xy xy xy 表示的平面区域为 D 若直线 y kx 1 将区域 D 分成面 积相等的两部分 则实数 k 的值是 12 2 0 21 x dx 13 若对于任意 1 1 a 函数 2 4 42f xxaxa 的值恒大于零 则x的取 值范围是 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 3 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 过点 2 2 4 作圆4sin 的切线 则切线的极坐标方程为 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 圆 O 的割线PAB交圆 O 于 A B两点 割线PCD经过圆心O 已知6PA 22 3 AB 12PO 则圆 O 的半径是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证分 解答须写出文字说明 证 明过程和演算步骤明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 在 ABC 中 a b c分别是角 A B C 的对边 5 cos 5 A tan3B 1 求角C的值 2 若4a 求 ABC 面积 17 本小题满分 12 分 某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖 飞镖落在靶外 环数记为 0 的概率为0 1 飞镖落 在靶内的各个点是随机的 已知圆形靶中三个圆为同心圆 半径分别为 30cm 20cm 10cm 飞镖落在不同区域的环数如图中标示 1 若这位同学向圆形靶投掷 3 次飞镖 求恰有 2 次落在 9 环区域内的概率 2 记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量 X 求 X 的分布列及数学期 望 18 本小题满分 14 分 如图 等腰梯形PDCB的底角为45 3 1 2 PBDCPDBC A为PB边上一 点 且1 PA 将PAD 沿AD折起 使平面PAD 平面ABCD 1 求证 CD 平面PAD 2 若M为PB的中点 试求异面直线AM和BC所成的角的余弦值 3 在侧棱PB上有一点Q 使截面AQC把几何体分成的两部分的体积之比 7 2 PDCQ AQ ACB VV 求PQ的长 0 10 9 8 第15题图 4 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 C1 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 3 直线 l 20 xy 与以原点为 圆心 以椭圆 C1的短半轴长为半径的圆相切 1 求椭圆 C1的方程 2 设椭圆 C1的左焦点为 F 1 右焦点 F2 直线1l过点 F1且垂直于椭圆的长轴 动直线 2 l垂直直线 1 l于点 P 线段 PF2的垂直平分线交 2 l于点 M 求点 M 的轨迹 C2的方程 3 若 A x1 2 B x2 y2 C x0 y0 是 C2上不同的点 且 AB BC 求 yo的取 值范围 20 本小题满分 14 分 已知函数 2 33 x f xxxe 定义域为 t 2 2t 1 试确定t的取值范围 使得函数 xf在 t 2 上为单调函数 2 求证 2 f tf 3 当14t 时 求满足 0 2 0 2 1 3 x fx t e 的 0 x的个数 21 本小题满分 14 分 已知曲线C 1xy 过C上一点 nnn A xy作一斜率 1 2 n n k x 的直线交曲线 C 于另 一点 111 nnn Axy 1 求 n x与 1n x 之间的关系式 2 求证 数列 3 1 2 1 n x 是等比数列 3 求证 23 123 1 1 1 1 1 n n xxxxn N D C PB A A B D C P M A B C D M P 5 参考答案参考答案 一 选择题 一 选择题 题号12345678 正确答案CCACDBDA 二 填空题 二 填空题 9 10 10 80 11 1 3 12 3 13 1 3 14 cos2 15 8 三 解答题 三 解答题 16 在 ABC 中 a b c分别是角 A B C 的对边 5 cos 5 A tan3B 1 求角C的值 2 若4a 求 ABC 面积 解 1 在 ABC 中 由 5 cos 5 A 得 2 5 sin 5 A tan2A 3 分 tantan tantan 1 1tantan AB CAB AB 5 分 又0C 4 C 6 分 2 由 sinsin ac AC 可得 sin 10 sin C ca A 8 分 由tan3B 得 3 sin 10 B 10 分 所以 ABC 面积是 1 sin6 2 acB 12 分 17 某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖 飞镖落在靶外 环数记为 0 的概率为0 1 飞 镖落在靶内的各个点是随机的 已知圆形靶中三个圆为同心圆 半径分别为 30cm 20cm 10cm 飞镖落在不同区域的环数如图中标示 1 若这位同学向圆形靶投掷 3 次飞镖 求恰有 2 次落在 9 环区域内的概率 2 记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量 X 求 X 的分布列及数学期望 解 1 由题意可知 飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成 正比 而与它们的质量和形状无关 由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为 3 2 1 面积比为 9 4 1 所以 8 环区域 9 环区域 10 环区域的面积比为 5 3 1 则掷得 8 环 9 环 10 环的概率分别设为 5k 3k k 根据离散型随机变量分布列的性质有 0 1 5k 3k k 1 解得 k 0 1 3 分 0 10 9 8 6 x y z A B D C P M 所以 这位同学向圆形靶投掷 1 次飞镖 落在 9 环区域内的概率为 0 3 所以 P 向圆形靶投掷 3 次飞镖 恰有 2 次落在 9 环区域内 22 30 3 1 0 3 0 189C 6 分 2 随机变量 X 的取值为 0 8 9 10 7 分 0 0 1P x 8 0 5P x 9 0 3P x 10 0 1P x 所以 离散型随机变量 X 的分布列为 X08910 P0 10 50 30 1 11 分 E X 0 0 1 8 0 5 9 0 3 10 0 1 7 7 12 分 18 如图 等腰梯形PDCB的底角为45 3 1 2 PBDCPDBC A为PB边 上一点 且1 PA 将PAD 沿AD折起 使平面PAD 平面ABCD 1 求证 CD 平面PAD 2 若M为PB的中点 试求异面直线AM和BC所成的角的余弦值 3 在侧棱PB上有一点Q 使截面AQC把几何体分成的两部分的体积之比 7 2 PDCQ AQ ACB VV 求PQ的长 1 证明 依题意知45P 1 PA 2PD ADAB 又CD AB CDAD 又 平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCDAD CD 平面PAD 4 分 2 由90PADPAB 知PA 平面ABCD 如图 分别以 AD AB AP所在的直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系Axyz 则易得各点的坐标为 0 0 0 A 0 0 1 P 1 0 0 D 1 1 0 C 0 2 0 B 故PB的中点的坐标为 1 0 1 2 M 故 1 0 1 2 AM 又 1 1 0 CB D C PB A A B D C P M A B C D M P 7 1110 cos 515 0 11 1 02 42 AM CB AM CB AMCB 所以异面直线AM和BC所成的角的余弦值为 10 5 9 分 3 解 7 2 PDCQ AQ ACB VV 2 9 Q ACBP ABCD VV 11 分 又由90PADPAB 知PA 平面ABCD 又 113 12 1 222 ABCD SDCAB AD ABC S 1 设Q到平面ABCD的距离为h 则 12 122 31 39 399 23 ABCD ABCABCD ABC S h SPA Sh S 12 分 又 hBQ PABP 1 3 BQ BP 故 22 5 33 PQPB 14 分 19 已知椭圆 C1 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 3 直线 l 20 xy 与以原 点为圆心 以椭圆 C1的短半轴长为半径的圆相切 1 求椭圆 C1的方程 2 设椭圆 C1的左焦点为 F 1 右焦点 F2 直线1l过点 F1且垂直于椭圆的长轴 动直线 2 l垂直直线 1 l于点 P 线段 PF2的垂直平分线交 2 l于点 M 求点 M 的轨迹 C2的方程 3 若 A x1 2 B x2 y2 C x0 y0 是 C2上不同的点 且 AB BC 求 yo的取 值范围 解 1 3 3 e 所以 222 2 22 1 3 cab e aa 所以 22 23ab 2 分 又因为直线 l 20 xy 与圆 x2 y2 b2相切 所以 2 2 b 所以 b 2 b2 2 a2 2 3 分 所以 椭圆 C1的方程是 22 1 32 xy 4 分 2 因为 2 MPMF 8 所以 动点 M 到定直线 1 1lx 的距离等于它到定点 2 1 0 F的距离 所以 动点 M 的轨迹是以 1 l为准线 F2为焦点的抛物线 且 2 p 1 所以点 M 的轨迹 C2的方程为 y2 4x 8 分 3 由 1 知 A 1 2 2 2 2 4 y By 2 0 0 4 y Cy 0 2y 02 yy 则 2 2 2 4 2 4 y ABy 22 02 02 4 yy BCyy 10 分 又 AB BC 所以 0AB BC 于是 222 022 202 4 2 0 44 yyy yyy 整理 得 y22 y0 2 y2 16 2y0 0 12 分 此方程有解 所以 y0 2 2 4 16 2y0 0 解得 y0 6 或 y0 10 所以 点 C 的纵坐标 y0的取值范围是 6 10 14 分 20 已知函数 2 33 x f xxxe 定义域为 t 2 2t 1 试确定t的取值范围 使得函数 xf在 t 2 上为单调函数 2 求证 2 f tf 3 当14t 时 求满足 0 2 0 2 1 3 x fx t e 的 0 x的个数 1 解 因为 2 33 23 1 xxx fxxxexex xe 2 分 由 010fxxx 或 由 001fxx 所以 f x在 0 1 上递增 在 0 1 上递减 欲 xf在 t 2 上为单调函数 则 20t 4 分 2 证 因为 f x在 0 1 上递增 在 0 1 上递减 所以 f x在1x 处取得极小值e 6 分 又 2 13 2 fe e 所以 f x在 2 上的最小值为 2 f 8 分 从而当2t 时 2 ff t 9 分 3 因为 0 2 0 00 x fx xx e 所以 0 2 0 2 1 3 x fx t e 即为 22 00 2 1 3 xxt 9 令 22 2 1 3 g xxxt 从而问题转化为求方程 22 2 1 3 g xxxt 0 在 2 t 上的解的个数 12 分 因为 2 22 2 6 1 2 4 33 gttt 2 21 1 1 2 1 33 g tt tttt 所以当14t 时 2 0 0gg t 且 但由于 2 2 0 1 0 3 gt 所以 0g x 在 2 t 上有两解 即 满足 0 2 0 2 1 3 x fx t e 的 0 x的个数为 2 14 分 21 已知曲线C 1xy 过C上一点 nnn A xy作一斜率 1 2 n n k x 的直线交曲线 C 于另一点