上海市杨浦区2012届高三数学上学期学科测试试题 文 沪教版

用心 爱心 专心1 杨浦区杨浦区 20112011 学年度高三学科测试数学试卷 文科 学年度高三学科测试数学试卷 文科 考生注意 1 答卷前 考生务必在答题纸写上姓名 考号 2 本试卷共有 23 道题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 计算 3 2 1 n n lim n 2 不等式 0 1 x x 的解集是 3 若全集U R 函数 x y3 的值域为集合A 则 ACU 4 若圆锥的母线长 l 5 cm 高 4 cmh 则这个圆锥的体积等于 3 cm 5 在 4 1 x x 的二项展开式中 2 x 的系数是 结果用数字作答 6 若 xfy 是R上的奇函数 且满足 xfxf 4 当 2 0 x 时 2 2xxf 则 7f 7 若行列式 1 12 1 2 xx 则 x 8 在 100 件产品中有 90 件一等品 10 件二等品 从中随机取出 4 件产品 恰含 1 件二等 品 的概率是 结果精确到 0 01 9 某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查 若该校的高一学生 高二学 生和高三学生分别有 800 人 1600 人 1400 人 若在高三学生中的抽样人数是 70 则 在 高二学生中的抽样人数应该是 10 根据如图所示的某算法程序框图 则输出量 y 与输入量x之间满 足的关系式是 11 若直线 1 byaxl 与圆 1 22 yxC 相切 则 22 ba 12 若点P是椭圆 2 2 1 9 x y 上的动点 定点A的坐标为 2 0 则 PA 的取值范围是 用心 爱心 专心2 13 已知 0 0 yx 且 1 12 yx 若 mmyx22 2 恒成立 则实数m的 取值范围是 14 设函数 2 log21 x f x 的反函数为 y 1 fx 若关于x的方程 1 fxmf x 在 1 2 上有解 则实数m的取值范围是 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答案纸的相应编号上 填上正确的答案 选对得 5 分 否则一律得零分 15 下列函数中 既是偶函数 又是在区间 0 上单调递减的函数为 A x xf10 B 3 xxf C x xf 1 lg D xxfcos 16 若等比数列 n a 前n项和为 aS n n 2 则复数 ia i z 在复平面上对应的点位 于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 17 1 a 是 函数 axxf 在 3 上单调增函数 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 18 若 21 F F 分别为双曲线 22 1 927 xy C 的左 右焦点 点A在双曲线C上 点M的 坐标为 2 0 AM为 21AF F 的平分线 则 2 AF 的值为 A 3 B 6 C 9 D 27 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 12 分 用心 爱心 专心3 已知在正四棱锥P ABCD中 如图 高为 1 cm 其体积为 4 3 cm 求异面直线PA与CD所成角的大小 20 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 在 ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 且满足 0coscos2 CaAcb 1 求角A的大小 2 若 3 a ABC 面积为 4 33 试判断 ABC 的形状 并说明理由 21 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 8 分 若函数 xfy 如果存在给定的实数对 ba 使得 bxafxaf 恒成立 则称 xfy 为 函数 1 判断下列函数 是否为 函数 并说明理由 xxf x xf2 2 已知函数 xxftan 是一个 函数 求出所有的有序实数对 ba A B C P D 用心 爱心 专心4 22 本题满分 16 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小 题满分 7 分 已知 ABC 的三个顶点在抛物线 yx 2 上运动 1 求 的准线方程 2 已知点P的坐标为 6 2 F为抛物线 的焦点 求 AFAP 的最小值 并求此时A点的坐标 3 若点A在坐标原点 BC边过定点 1 0N 点M在BC上 且 0 BCAM 求点M的轨迹方程 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 3 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小 题满分 9 分 已知函数 32 3 x x xf 数列 n a 满足 1 1 a Nnafa nn 1 1 求 2 a 3 a 4 a 的值 用心 爱心 专心5 2 求证 数列 n a 1 是等差数列 3 设数列 n b 满足 2 1 naab nnn nn bbbSb 211 3 若 2 2011 m Sn 对一切 Nn 成立 求最小正整数m的值 杨浦区 2011 学年度高三学科测试 参考答案及评分标准 一 填空题 本大题满分 56 分 2011 12 31 1 1 2 理 1 2 文 1 0 3 理 1 文 0 4 12 5 理 14 文 4 6 2 7 理 0 文 1 8 理 0 35 文 0 30 9 80 10 1 2 1 2 x xx xf x 11 理 P在圆外 文 1 12 理 2 4 文 5 2 2 13 理 5 3 log 3 1 log 22 文 2 4 14 理 49 文 5 3 log 3 1 log 22 二 选择题 本大题满分 20 分 本大题共有 4 题 15 C 16 A 17 A 18 B 三 解答题 本大题满分 74 分 本大题共 5 题 19 解 设异面直线PA与CD所成角的大小 底边长为a 则依题意得 41 3 1 2 a 4 分 故 32 a 62 AC 761 2 2 PA 7 分 CD AB 故直线PA与AB所成角的大小 为所求 9 分 7 21 cos 7 21 arccos 12 分 用心 爱心 专心6 其他解法 可根据上述 解 的评分标准给分 20 理 1 解 1 由 nm 得 0 nm 故 0coscos2 CaAcb 2 分 由正弦定理得 0cossincossinsin2 CAACB 4 分 0sincossin2 CAAB 5 分 3 2 1 cos 0sin 0 AABA 7 分 解 2 由 0coscos2 CaAcb 余弦定理得 0 22 2 222222 ab cba a bc acb cb 整理得 bcacb 222 2 1 2 cos 222 bc acb A 3 2 1 cos 0 AAA 其他解法 可根据 解 1 的评分标准给分 2 4 33 sin 2 1 AbcS ABC 即 3 4 33 3 sin 2 1 bcbc 10 分 又 Abccbacos2 222 6 22 cb 12 分 故 30 2 cbcb 所以 ABC 为等边三角形 14 分 文 解 1 由 0coscos2 CaAcb 由正弦定理得 0cossincossinsin2 CAACB 4 分 0sincossin2 CAAB 5 分 3 2 1 cos 0sin 0 AABA 7 分 解 2 由 0coscos2 CaAcb 用心 爱心 专心7 余弦定理得 0 22 2 222222 ab cba a bc acb cb 整理得 bcacb 222 2 1 2 cos 222 bc acb A 3 2 1 cos 0 AAA 其他解法 可根据 解 1 的评分标准给分 21 1 解 理 若 3 xxf 是 函数 则存在实数对 ba 使得 bxafxaf 即 bxa 3 22 时 对 Rx 恒成立 2 分 而 3 22 bax 最多有两个解 矛盾 因此 3 xxf 不是 函数 3 分 文 若 xxf 是 函数 则存在实数对 ba 使得 bxafxaf 即 bxa 22 时 对 Rx 恒成立 2 分 而 bax 22 最多有两个解 矛盾 因此 xxf 不是 函数 3 分 答 案不唯一 如取 1 0 ba 恒有 122 00 xx 对一切x都成立 5 分 即存在实数对 1 0 使之成立 所以 x xf2 是 函数 6 分 一般地 若 x xf2 是 函数 则存在实数对 ba 使得 b axaxa 2 222 即存在常数对 a a 2 2 满足 bxafxaf 故 x xf2 是 函数 2 解 函数 xxftan 是一个 函数 设有序实数对 ba 满足 则 bxaxa tantan 恒成立 当 Zkka 2 时 xxaxa 2 cottantan 不是常数 8 分 因此 Zkka 2 当 Zmmx 2 时 用心 爱心 专心8 则有 b xa xa xa xa xa xa 22 22 tantan1 tantan tantan1 tantan tantan1 tantan 10 分 即 0 tantan1tan 222 baxab 恒成立 所以 Zk b ka b a ba ab 1 4 1 1tan 0tan 01tan 2 2 2 13 分 当 4 2 kaZmmx 时 1cottantan axaxa 满足 xxftan 是一个 函数 的实数对 Zkkba 1 4 14 分 22 理 1 解 由 1 1 a 32 3 1 n n nn a a afa 得 3 1 7 3 5 3 432 aaa 3 分 2 解 由 32 3 1 n n n a a a 得 3 211 1 nn aa 8 分 所以 n a 1 是首项为 1 公差为3 2 的等差数列 9 分 3 解 由 2 得 12 3 3 12 1 3 2 1 1 n a n n a n n 10 分 当 2 n 时 12 1 12 1 2 9 1 nn aab nnn 当 1 n 时 上式同样成立 12 分 所以 12 1 1 2 9 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 9 21 nnn bbbS nn 因为 2 2012 m Sn 所以 2 2012 12 1 1 2 9 m n 对一切 Nn 成立 14 分 又 12 1 1 2 9 n 随n递增 且 2 9 12 1 1lim n n 所以 2 2012 2 9 m 用心 爱心 专心9 所以 2021 m 2021 min m 16 分 文 1 解 由 yx 2 得 12 p 所以 准线为 4 1 y 3 分 2 解 由 yx 2 得 12 p 所以 焦点坐标为 4 1 0 4 分 由A作准线 4 1 y 的垂线 垂足为Q 当且仅当三点 QAP 共线时 AFAP 的最小值 为 4 25 4 1 6 7 分 此时A点的坐标为 4 2 9 分 3 解 1 设点M的坐标为 yx BC边所在的方程为 1 kxy k显然存在的 10 分 又AM的斜率为x y 则有 1 k x y 既 y x k 代入 14 分 故M点轨迹为 0 0 22 xyxy 注 没写 0 x 扣 1 分 16 分 解 2 设点M的坐标为 yx 由BC边所在的方程过定点 1 0 N 10 分 1 yxMNyxAM 12 分 0 BCAM 0 MNAM 所以 0 1 yyxx 既 0 0 22 xyxy 16 分 注 没写 0 x 扣 1 分 23 理 1 解 由 yx 2 得 12 p 所以 焦点坐标为 4 1 0 3 分 2 解 1 设点M的坐标为 yx BC边所在的方程为 bkxy k显然存在的 与 用心 爱心 专心10 抛物线 yx 2 交于 2211 yxCyxB 则 2 xy bkxy 得 0 2 bkxx 21 kxx bxx 21 5 分 又点 CB 在抛物线 上 故有 2 22 2 11 xyxy 2 2 2 2 121 bxxyy 0 2 2121 bbyyxxACAB 1 b 或 0 b 舍 1 kxy 7 分 又AM的斜率为x y 则有 1 k x y 既 y x k 代入 故M点轨迹为 0 0 22 xyxy 注 没写 0 x 扣 1 分 9 分 另解 由上式 过定点 1 0 P 1 yxMPyxAM 0 MPAM 所以 0 1 yyxx 既 0 0 22 xyxy 解 2 设点M的坐标为 yx AB 方程为 kxy 由 2 BAC 得AC方程为 x k y 1 则 2 xy kxy 得 2 kkB 同理可得 2 1 1 kk C BC 方程为 1 1 2 2 2 kx k k k k ky 恒过定点 1 0 P 1 yxMPyxAM 0 MPAM 所以 0 1 yyxx 既 0 0 22 xyxy 注 没写 0 x 扣 1 分 其他解法 可根据 解 1 的评分标准给分 3 解 1 若存在AB边所在直线的斜率为 2的正三角形ABC 设 22 qqBppA 其中不妨设 qp 则 2 22 pq pq 2 qp 11 分 令 aAB 则 2 2 22 2 apqpq 即 2 2 22 apqpqpq 用心 爱心 专心11 将 代入得 2 2 3apq qp a pq 3 13 分 线段AB的中点为M 由 得M的横坐标为 2 2 2 qp M的纵坐标为 122 1 42 2 22 22 apqpqqp 15 分 又设 2 1 d 由 dMC 得 2 3 2 2 2 3 1 2 3 aMC aa aMC 2 1 212 2 2 2 2 2 2 2 122 1 2 2 22 aa a aaa MCOMOC 点C在抛物线 yx 2 上 则 2 2 1 2 1 66 12 1 aaa 即 0185 2 aa 又因为 0 a 5 18 a 18 分 解 2 设 22 qqBppA 2 rrC ABC 的三边所在直线 CABCAB 的斜率分别是 pr pr pr rq rq rq qp qp qp 222222 12 分 若AB边所在直线的斜率为 2 AB边所在直线和x轴的正方向