通过对高中数学的圆锥曲线的教学来理解数与形的统一性

通过对高中数学的通过对高中数学的 圆锥曲线圆锥曲线 的教学来理解数与形的统一性的教学来理解数与形的统一性 数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之 一 高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的 问题形式出现 能很好地培养和发展学生的数形结合思想 新教材中渗透这一方法 对发展学生的解题思路 寻找最 佳解题方法明显带有指导性作用 通过对问题进行正确的 分析 比较 合理联想 训练学生思维 拓宽视野 逐步 形成正确的解题观 还可在学习中引导学生对抽象概念给 予形象化的理解和记忆 提高数学认知能力 并提升对现 实世界的认识能力 从而提高数学素养 不断完善自己 下面举例说明数形结合思想在解析几何中 借助直线 圆 及圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点 可从图形上寻求 解题思路 启发思维 难题巧解 例 5 曲线与直线有两个交 2 2 02 yxxx 2 2yk x 点时 实数 的取值范围是 k 分析 曲线的图形是以为圆心 以 2 2 02 yxxx 1 0 1 为半径的圆在 轴上方 包括 轴 的部分 直线xx 是过定点 斜率为 的直线 在同一直角坐 2 2yk x 2 2 Pk 标系中 分别作出它们的图形 观察图 4 符合要求的直线 介于直线之间 包括 不包括 其中 与半圆相切 l 12 l l 2 l 1 l 1 l 过原点 通过计算容易求得 的斜率为 1 的斜率为 2 l 2 l 1 l 3 4 所以 3 1 4 k 图图 4 4 例 6 如果实数满足等式 那么的最大 x y 22 2 3xy x y 值是 图图 5 5 分析 等式有明显的几何意义 它表示以 22 2 3xy 为圆心 为半径的圆 如图 5 而则表示 2 0 3r 0 0 yy xx 圆上的点与坐标原点的连线的斜率 如此以来 该 x y 0 0 问题可转化为如下几何问题 动点 在以为圆心 以 3A 2 0 为半径的圆上移动 求直线的斜率的最大值 由图 5 可OA 见 当点 在第一象限 且与圆相切时 的斜率最大 经AOA 简单计算 得最大值为 tan603 应用数形结合解题时要注意以下两点 其一数与形转 化的等价性 将复杂的问题转化成简单 熟知的数学问题 转化前后的问题必须是等价的 其二 利用 数 的精确 性和 形 的全面性 像判断公共点个数问题 转化成图 形后要保证 数 的精确性 才能得出正确结论 有些问 题所对应的图形不唯一 要根据不同的情况画出相应的图 形后 再进 行讨论求解 总之 要让学生真正掌握数形结合思想的精髓 必须 有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧 如果教师只讲解几 个典型习题并把学生讲懂了 就认为学生领会了数形结合 这一思想方法 是偏面的 教师要有做好长期渗透的思想 平时要求学生认真上好每一堂课 学好新教材的系统知识 掌握各种函数的图像特点 理解各种几何图形的性质 教 师讲题时 要引导学生根据问题的具体情况 多角度的观 察和理解问题 揭示问题的本质联系 利用 数 的准确 澄清 形 的模糊 用 形 的直观启迪 数 的计算 从而来解决问题 教学中要紧紧抓住数形转化的策略 通 过多渠道来沟通知识间的联系 激发学生学