一元二次方程

22 2 二次函数与一元二次方程 九真中学 胡军平 一 内容和内容解析一 内容和内容解析 1 1 内容 内容 二次函数与一元二次方程的联系 2 2 内容解析 内容解析 模型思想 几何直观都是 义务教育数学课程标准 2011 年版 提出的 10 个核心概 念之一 二次函数和一元二次方程都是重要的数学模型 也是进一步学习其他函数的基 础 利用函数图象研究方程的根 是培养学生几何直观的重要途径 二次函数和一元二次方程之间的内在联系十分突出 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的解是二次函数 y ax2 bx c 的零点 其几何意义是二次函数的 图象与 x 轴的公共点的横坐标 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的分布与抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的位置关系相关联 综上所述 本节课的教学重点是 理解一元二次方程根的几何意义 掌握解抛物线与 x 轴的位置关系与一元二次方程根的情况之间的对应关系 本节课通过创设情境 经过问题情境一般化构造二次函数模型 问题情境特殊化创建 一元二次方程 问题解决再归纳的过程 使学生得出二次函数与一元二次方程的联系 从 而实现重点的突出 二 目标和目标解析 1 1 目标 目标 1 理解一元二次方程的根的几何意义 抛物线与 x 轴的公共点的横坐标 2 掌握抛物线与 x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况 3 会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 2 2 目标解析 目标解析 达成目标 1 的标志是 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴公共点的横坐标和一 元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的实数根 学生知道其中的一个能说出另一个 达成目标 2 的标志是 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴公共点的个数和一元 二次方程 ax2 bx c 0 a 0 实数根的情况 学生能根据其中的一个说出另一个 达成目标 3 的标志是 学生能根据抛物线 y ax2 bx c a 0 的图象 利用 二分法 求出一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的近似解 三 教学问题诊断分析 在八年级下册 学生通过一次函数与方程 不等式的学习已经初步建立方程模型与函 数模型的联系 在九年级上册 学生已经分别学习了一元二次方程 二次函数 知道它们 都是刻画现实问题中数量关系的重要模型 但没有建立这些知识之间的有效联系 而且二 次函数与一元二次方程之间的联系看似简单 但想要用简洁的语言归纳出来并非易事 基于以上分析 归纳总结二次函数与一元二次方程之间的联系是本节课的难点 初三学生的推理和归纳能力已经有了明显的发展 因此为了学生能够由特殊到一般地 进行归纳二次函数与一元二次方程的关系 设计出表格并组织示范性语言 为学生归纳结 论做铺垫 从而实现难点的突破 四 教学策略分析 采用启发式和探究式进行教学 在探究二次函数与一元二次方程的关系中 从实际问题引入 激发学生的学习兴趣 教师与学生互动 示范探究的流程 学生根据流程自主探究并展示成果 教师整理学生探 究的结果 启发学生找出二次函数与一元二次方程的联系 用简洁的语言表达出二次函数与一元二次方程的联系比较困难 为了方便学生得出结 论 根据直观性原则 设计图表 用 问题串 引导学生 并利字体的颜色区别来辅助学 生归纳与表达 在估计一元二次方程的近似根的过程中 采取用几何画板软件显示函数图象 标识相 应点的坐标 便于学生接受估值的方法 五 教学过程 1 创设情境创设情境 发现联系发现联系 在里约赛场上 冯珊珊以 274 杆 总杆数低于标准杆 10 杆的成绩摘得铜牌 而这也是 中国军团首次夺得奥运会高尔夫奖牌 如图 1 如果以 40m s 的速度将小球沿与地面成 30 角的方向击出时 小球的飞行路线将是一条抛物线 如果不考虑空气阻力 球的飞行高 度h 单位 m 与飞行的时间t 单位 s 之间具有函数关系 2 520tth 考虑以下问题 1 球的飞行高度能否达到 15m 如能 需 要多少飞行时间 2 球的飞行高度能否达到 20m 如能 需 要多少飞行时间 3 球的飞行高度能否达到 20 5m 为什么 4 球从飞出到落地要多少时间 师生活动 师生活动 对于这样几个问题 学生会解决 但是思考的方向需要老师引导 因此教 师与学生互动完成第 1 题并引导得出结论 而后学生讨论完成问题 2 4 最 后老师将解决问题的过程整理到图表中 引导学生自己得出结论 设计意图 设计意图 创设情境 渗透了爱国主义教育 从实际问题引入 让学生感受数学来源 于生活 通过本活动 让学生感知二次函数与一元二次方程有密切的联系 为后面深入讨论 二次函数与一元二次方程做好了铺垫 2 思考问题思考问题 归纳结论归纳结论 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗 如果有 公共点的横坐标是多少 当 x 取公 共点的横坐标时 函数值是多少 由此 你能得出相应的一元二次方程的根吗 1 2 3 2 2 xxy96 2 xxy1 2 xxy 图 1 二次函数函数图象 图象与 x 轴 交点个数 抛物线与 x 轴交点 横坐标 当 x 取公 共点的横 坐标时 函数值是 多少 y 0 时对 应的一元 二次方程 实数根 一元二次 方程实数 根的情况 y x2 x 2 y x2 6x 9 y x2 x 1 归纳 一般地 从二次函数的图象可得如下结论 cbxaxy 2 1 如果抛物线与 x 轴有公共点 公共点的横坐标是 那么当cbxaxy 2 0 x 时 函数值是 因此是方程的一个根 0 xx x0 2 cbxax 2 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种 没有公共点 有一cbxaxy 2 个公共点 有两个公共点 这对应着一元二次方程的根的三种情况 0 2 cbxax 师生活动 师生活动 第 1 个函数教师按照问题的顺序进行提问 学生回答 教师将答案填入 表格中 并引导学生得出二次函数与相应的一元二次方程的一种联系 第 2 个活动与第 3 个活动由学生分小组合作交流完成 并展示成果 最后由教师将学生的成果整理 并 引导学生得出二次函数与一元二次方程的联系 设计意图 设计意图 利用表格为学生搭桥 引导学生寻找二次函数与一元二次方程的联系 3 运用图象运用图象 估计求根估计求根 例 利用函数图象求方程的实数根 结果保留小数点后一位 022 2 xx 师生活动 师生活动 教师给学生示范 利用 二分法 确定一元二次方程的实数根 然后让学 生根据此方法小组配合计算 同时告诉学生计算结束的判定标准 最后由学生展示结果 设计意图 设计意图 学生能够能结合二次函数图象 使用 二分法 求一元二次方程实数根的 近似值 为后续学习解一元高次方程作铺垫 4 4 同步练习同步练习 强化认知强化认知 1 如图 2 一名男生推铅球 铅球行进高度 y 单位 m 与水平距离 x 单位 m 之间的关系是 3 5 3 2 12 1 2 xxy 1 画出上述函数的图象 2 观察图象 指出铅球推出的距离 2 填空题 1 抛物线的图象与 x 轴的公共点横坐标为 1 0 3 0 则关 2 于 x 的一元二次方程的实数根是 2 0 2 二次函数的图象与 x 轴有 2 个公共点 那么方程的实数根的情况 2 2 9 1 是 3 二次函数的图象与 x 轴没有公共点 那么方程的实数 2 8 2 8 0 根的情况是 4 方程有两个相等实数根 那么二次函数与 x 轴的公共点有 2 2 1 0 个 3 利用函数图象求方程的实数根 结果保留小数点后一位 3 2 xxy03 2 xx 师生活动 师生活动 学生先自主思考 完成后小组交流确定结果 最后上台展示成果 设计意图 设计意图 通过练习加深对所学知识的理解 图 2 5 5 小结反思小结反思 巩固知识巩固知识 学