上海市静安区2012届高三数学上学期质量检测试卷 理 沪教版

用心 爱心 专心1 上海市静安区上海市静安区20112011 20122012学年第一学期期末教学质量检测高三年级学年第一学期期末教学质量检测高三年级 数学试卷 理 数学试卷 理 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 2012 1 考生注意 1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分 2 在试题纸上答题无效 必须在答题纸上的规定位置按照要求答题 3 可使用符合规定的计算器答题 一 填空题 本大题满分 56 分 本大题共有 14 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果 每个空格填对得 4 分 否则一律得零分 1 设 为虚数单位 若复数 的实部与虚部相等 则实数的值为 i i b i 1 1 2 Rb b 2 函数的定义域为 1cossin 1 xx xf 3 若二项式的展开式中 的系数为 则常数的值为 92 1 ax x 9 x 2 21 a 4 若关于的一元二次方程两根异号 则实数的取值范围x0 2lg 2 22 aaxxa 是 5 若 则关于的不等式组的解集为 0 ax 02 0 22 2 aaxx aax 6 有 8 本互不相同的书 其中数学书 3 本 外文书 3 本 文学书 2 本 若将这些书排成一 列放在书架上 则数学书恰好排在一起 外文书也恰好排在一起的排法共有 种 结果用数值表示 7 函数在闭区间上的最小值为 xx xx ee ee xf 1 1 2 1 2 1 8 已知向量 的夹角为 150 则 ab1 a3 bba 3 1 3 9 已知圆锥侧面积为cm2 高为cm 则该圆锥底面周长为 cm 23 10 已知等差数列的前 10 项之和为 30 前 20 项之和为 100 则 n a 283 aa 11 已知为锐角 为钝角 则的值为 3 2 sin 9 1 cos 2cos 12 从 5 名男生和 5 名女生中选取 4 人参加比赛 要求男女生都有 那么两女生小张和小李 同时被选中的概率为 13 记 已知函数 时当 时当 bab baa ba min 用心 爱心 专心2 是偶函数 为实常数 则函数的零 34 12min 222 xxttxxxft xfy 点为 写出所有零点 14 已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称 则的取axxxxf 11 xa 值集合是 二 选择题 本大题满分 16 分 本大题共有 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 4 分 否则一律得零分 15 下列命题正确的是 A 则 lim n n aA lim n n bB lim n n n aA bB 0 n bnN B 若数列 的极限都不存在 则的极限也不存在 n a n b nn ab C 若数列 的极限都存在 则的极限也存在 n a nn ab n b D 设 若数列的极限存在 则数列的极限也存在 12nn Saaa n a n S 16 若 为锐角 的两内角 则点是 ABABC sincos cos sinABABP A 第一象限的点 B 第二象限的点 C 第三象限的点 D 第四象限的点 17 若 都是复数 则 是 的 abc 222 cba 0 222 cba A 充要条件 B 既非充分条件又非必要条件 C 充分而非必要条件 D 必要而非充分条件 18 若 则 满足的条件是 xy yx 4 cos 2 2 xy A 且 B 且或且yx 0 xyx 0 xyx 0 x C 且 D 且yx 0 x0 yyx 0 x 三 解答题 本大题满分 78 分 本大题共有 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 19 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 8 分 第 2 小题满分 6 分 1 已知 为正实数 试比较与的大小 abba 0 x0 y y b x a 22 yx ba 2 并指出两式相等的条件 2 求函数 的最小值 xx xf 21 92 2 1 0 x 用心 爱心 专心3 20 本题满分 15 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 9 分 第 2 小题满分 6 分 如图 在四棱锥的底面梯形ABCDP 中 ABCDBCAD BCAB 1 AB 又已知平面3 AD 0 45 ADC PA 求 1 异面直线与ABCD1 PAPD 所成角的大小 结果用反三角函数值表示 AC 2 四棱锥的体积 ABCDP 21 本题满分 15 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 6 分 第 2 小题满分 9 分 某市地铁连同站台等附属设施全部建成后 平均每 1 公里需投资人民币 1 亿元 全部投 资都从银行贷款 从投入营运那一年开始 地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金 0 05 亿元 这笔贷款本金先用地铁营运收入支付 不足部分由市政府从公用经费中补足 地铁投入营运后 平均每公里年营运收入 扣除日常管理费等支出后 第一年为 0 0124 亿 元 以后每年增长 20 到第 20 年后不再增长 求 1 地铁营运几年 当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金 2 截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年 市政府已累计为 1 公里地铁 支付多少元费用 精确到元 1 亿 8 101 P D C B A 用心 爱心 专心4 22 本题满分 16 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 8 分 第 2 小题满分 8 分 已知且 数列是首项与公比均为的等比数列 数列满足0 a1 a n aa n b nnn aablg Nn 1 求数列的前项和 n bn n S 2 如果对于 总有 求的取值范围 Nn 1 nn bba 23 本题满分 18 分 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 8 分 已知函数 aaxxxf 3 2 Ra 1 求的取值范围 使在闭区间上是单调函数 a xfy 3 1 2 当时 函数的最小值是关于的函数 求的最大值及20 x xfy a am am 其相应的值 a 3 对于 研究函数的图像与函数的图像公共点的个数 Ra xfy 32 2 xxy 坐标 并写出你的研究结论 用心 爱心 专心5 高三年级数学试卷 理 解答与评分建议 1 2 3 2 2 b ZkkxkxRxx 2 2 2 4 5 6 864 1 2 1 0 2 1 aa 7 8 1 9 2 1e 2 10 14 11 12 729 239 8 1 13 14 1 3 x 3 0 3 15 18 C D C B 19 1 作差比较 4 分 y b x a 22 yx ba 2 0 2 yxxy bxay 所以 6 分 y b x a 22 yx ba 2 当时 两式相等 8 分bxay 2 解法 1 3 分25 212 32 21 9 2 4 21 92 2 xxxxxx 当 即时 函数取得最大值 25 6 分xx23 21 2 5 1 x 2 1 0 5 1 解法 2 令 则 xx x xx 2 2 52 21 92 tx 52 2 9 2 t 设 则 化简并变形得 xfy 5 2 25 2 2 2 tt t y 13 18 2 25 t t y 因为 3 分121822 18 2 t t 当且仅当时等号成立 且时递增 时 2 9 2 3 t 3 2 t t t 18 2 2 9 3 t 递减 或时 所以 t t 18 2 2 t 2 9 13 18 2 t t113 18 20 t t 当即时取得最大值 25 25 13 18 2 25 t t y3 t 5 1 352 xx 6 分 用心 爱心 专心6 20 1 连接 过点作ACC 交于点 因为ABCF ADF 所以 从而 0 45 ADC1 FD 2 分2 AFBC 解法 1 延长至 使得BCE 则且3 ADCEDEAC 5 ACDE26 AE 5 分3327 PE10 PD 在 中 PDE 8 分 5 23 cos PDE 所以 异面直线与所成角的PDAC 大小为 9 分 5 23 arccos 解法 2 建立如图所示的空间直角坐标系 则 0 2 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0 CPDA 所以 5 分 0 2 1 AC 1 3 0 PD 设异面直线与所成角的大小为 PDAC 则 8 分 5 23 25 6 cos PDAC PDAC 所以异面直线与所成角的大小为 9 分PDAC 5 23 arccos 2 底面梯形面积为 四棱锥的体积为 底面积 高 3 分 2 5 3 1 所以 四棱锥的体积为 6 分ABCDP 6 5 1 2 5 3 1 21 1 地铁营运第年的收入 2 分n 1 2 01 0124 0 n n a Nn 根据题意有 4 分05 0 2 01 0124 0 1 n 解得9 年 n 或者 解得10 年 05 0 2 01 0124 0 1 n n 答 地铁营运 9 年 当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金 6 分 P D C B A E F P D C B A E F x z y 用心 爱心 专心7 2 市政府各年为 1 公里地铁支付费用 第 1 年 0124 0 05 0 第 2 年 2 10124 005 0 第年 2 分n 1 2 10124 0 05 0 n 年累计为 n 4 分 2 10124 02 10124 0 2 10124 0 0124 0 05 0 12 n n 将代入得 亿 8 分8 n1954113485 0 2 11 2 11 0124 0 805 0 8 答 截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年 市政府累计为一公里地铁共 支付 19541135 元费用 9 分 22 1 由已知有 2 分 n n aa anaaab n nnn lglg 所以 anaanaaaS nn n lg 1 32 132 5 分anaanaaaS nn n lg 1 2 132 所以 anaaaaaaSa nnn n lg 1 1132 因为 所以 8 分1 aa a na a a aa S nn n lg 1 lg 1 1 1 2 2 即 由且得 2 分 1 nn bbaanana nn lg 1 lg 1 0 a1 aaananlg 1 lg 所以或 3 分 0 1 0lg nan a 0 1 0lg nan a 即或对任意成立 5 分 1 10 n n a a 1 1 n n a a Nn 而 且 所以或 8 分1 1 lim n n n 2 1 1 1 n n 2 1 0 a1 a 23 1 函数图像的对称轴为 aaxxxf 3 2 2 a x 因为在闭区间上是单调函数 所以或 xf 3 1 1 2 a 3 2 a 故或 4 分6 a2 a 2 当时 0 aafam 3 0 用心 爱心 专心8 当时 04 a3 4 1 2 2 aa a fam 当时 2 分4 a7 2 afam 所以 0 3 04 3 4 1 4 7 2 aa aaa aa am 分段讨论并比较大小得 当时 有最大值 4 6 分2 a am 3 公共点的横坐标满足 即是方程 x323 22 xxaaxxx 1 xa 的实数解 332 22 xxx 设 则直线与有公共点时的横坐标与上332 22 xxxxh 1 xay xhy 述问题等价 当或时 1 x3 x62332 22 xxxxxh 解方程即 得 1 分 1 62 xax6 2 axa 2 6 a a x2 a 当时 31 xxxxxxxh22332 222 解方程即 得或 2 分 1 22 2 xaxx0 2 2 2 axax 2 a x 1 x 研究结论及评分示例 满分 6 分 结论 1 无论取何实数值 点必为两函数图像的公共点 1 分a 4 1 结论 2 对某些具体的取值进行研究 2 分a 当时 两图像有一个公共点 2 a 4 1 当时 公共点有 2 个 坐标为 6 a 4 1 0 3 当时 公共点有 2 个 坐标为 2 a 4 1 0 1 对每一个具体的取值 结论正确给 1 分 总分值不超过 2 分 a 结论 3 当