全国大学生数学建模竞赛一等奖

2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承 诺诺 书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他公开的 资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞赛规 则的行为 我们将受到严肃处理 我们参赛选择的题号是 从 A B C D 中选择一项填写 A 我们的参赛报名号为 如果赛区设置报名号的话 所属学校 请填写完整的全名 湖州师范学院 参赛队员 打印并签名 1 陈艺 2 王一江 3 叶帆帆 指导教师或指导教师组负责人 打印并签名 李立平 日期 2010 年 9 月 13 日 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编编 号号 专专 用用 页页 赛区评阅编号 由赛区组委会评阅前进行编号 赛区评阅记录 可供赛区评阅时使用 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号 由赛区组委会送交全国前编号 全国评阅编号 由全国组委会评阅前进行编号 储油罐的变位识别与罐容表标定 摘 要 储油罐的变位识别与灌装表标定关系到各个加油站的资源利用率和生产效益 同 时与人民社会生活也密切相关 因此 本题的建模具有很好的理论意义和应用价值 针对赛题 A 的要求 本论文主要做了以下工作 对于问题一 首先采用积分思想 分别推导出罐体无变位及纵向倾斜两种情 1 4 况下罐内的油位高度和储油量 其次对以上两种情况下罐内实际进油量与理论进油量 进行误差分析 并通过三次多项式拟合方法得到各自的误差表达式以及修正后罐内油 位高度和储油量的关系式 接着 采用插值方法推算出无变位及倾斜时罐体出油 1 4 情况下储存油体积的初始值 进而对两种情况在出油时的误差进行了分析 最后根据 校正后的表达式 给出了罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值 见附件 3 对于问题二 首先在问题一后半部分问题求解的基础上 推导出罐体纵向倾斜 角度后罐内油面高度与存储油体积之间的关系 再将已纵向倾斜角得罐体横向转 动角 并求出此时罐内油面高度与存储油体积之间的实际表达式 接着 对已获表 达式中的积分进行符号求解 并利用本题数据附件 2 给出的数据及最小二乘法的思想 用三重循环搜索出和的最优近似值 见附件 6 求出 和 然后利 1 2 8 4 用和的值计算后可发现本题数据附件 2 显示的油量容积与实际油量容积要高出许 多 并得出理论出油量与实际出油量很接近 两者误差在 3 升以内 从而该模型能很 好地反映油量与油位高度之间的对应关系 接着给出了罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值 见附件 7 最后通过本题数据附件 2 及问题一中的试验模型 验证了模型的正确性与方法的可靠性 在回答了以上两个问题基础上 我们对模型的优缺点进行总结 并讨论该模型的 推广及评价 关键词 误差项 插值 拟合 罐容表 符号求解 1 问题重述 通常加油站都会有若干个储存燃料的地下储油罐 且一般会有与之配套的 油位 计量管理系统 采用流量计和油位计来测量进 出油量与罐内油位高度等数据 通过 预先标定的罐容表 即罐内油位高度与储油量的对应关系 进行实时计算 以得到罐 内油位高度和储油量的变化情况 罐容表会随着变位情况发生变化 若没有及时重新 标定 将导致储油量估计错误的问题 很多储油罐在使用一段时间后 由于种种原因会发生纵向偏转和横向偏转等变化 变位 从而导致罐容表发生改变 按照有关规定 需要定期对罐容表进行重新标 定 而本题要求输出两项罐容表就是为了更新罐容表 此题要求我们用数学建模方法来研究并解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题 具体如下 1 利用小椭圆型储油罐 两端平头椭圆柱体 无变位和纵向倾斜角为 的 1 4 两种实验数据 建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响 并给出罐体变位后油 位高度间隔为1cm的罐容表标定值 2 需要对实际储油罐 两端为球冠的圆柱体 建立罐体变位后标定罐容表的 数学模型 显示油量容积与显示油量高度 纵倾角 横偏角 之间的关系 并利 用罐体变位后在进 出油过程中的实际检测数据 确定变位参数 进一步给出罐体变位 后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值 最后结合实际检测数据来分析检验模型的正 确性与方法的可靠性 2 2 问题分析 本题主要在于探索显示油面高度 显示油面体积 实际储存油体积及偏转角度之 间的关系 因此 在题目处理中要特别注意区别各个数据 同时 根据常识 假设罐 内存油一般不会储存的过多或过少 对于问题一 当小椭圆型储油罐无变位时 可利用微积分的思想 求得无移位时 油量容积与显示油高的对应关系 然后利用获得的理论数据与实验数据进行误差分析 得到误差项并对体积函数进行修正 通过对出油实验数据进行插值 求得出油时的初 始体积 用这组数据去比较前面得出的含误差项的体积函数 观察函数与测量数据的 逼近程度 进而对出油体积函数误差项进行进一步分析 当储油罐纵向倾斜时 同样 可利用积分思想及倾斜角度值 结合附件 1 给出的数据得出罐体变位后对罐内油量与 高度的关系式 并由此关系式给出间隔 1cm 的罐容表标定值 对于问题二 我们把储油罐分成三部分讨论 左右两个球冠体 中间一个圆柱体 通过将球冠体内的油面近似看成与中间圆柱体截面垂直 可求出纵向倾斜时体积与高 度的对应关系 含角度 再横向偏转时 罐内油面的相对高度是不变的 仅仅是油 浮子向离开垂直线的方向转动了角度 从而求得体积与油位高度及变位参数之间的 一般关系 对于附件二 通过对数据的观察 用出油量及显示油高这两组数据 通过 差值得出对应关系 再编程搜索 最优值 并用计算出的 值得出体积函数 与油位高的直接关系式 然后 通过实际数据对该对应关系进行检验 求误差 用准 确的对应关系标出变位后油位间隔 10cm 的罐容表标定值 最后结合模型一与附件 2 的 数据来说明该模型的准确性及可靠性 3 3 条件假设 1 罐内存油一般不会储存的过多或过少 2 储油罐的罐壁厚度不考虑 3 储油罐各方面设备良好 4 流量计测得的进出流量的数值准确 4 符号说明 小椭圆长半轴 a 小椭圆短半轴 b 小椭圆储油罐截面积 s 小椭圆储油罐柱体高度 l 实际储油罐圆柱半径 R 球冠体所在球体的半径 r 储油罐圆柱体高度 L 椭圆柱体体积 V 求得的体积函数与测量的数据的差 即误差 w 小椭圆储油罐倾斜时油面与 y 轴交点 H 小椭圆储油罐油位探针距近端头的距离 1 l 小椭圆储油罐内液面在坐标轴的刻度 hy bbh 小椭圆储油罐内液面的高度 hbhh 储油罐油位探针距近端头的距离 0 L 实际储油罐的显示油高 H 实际储油罐液面高度的轴坐标 hy 实际储油罐油浮子的读数 0 H 5 模型建立与求解 5 1 问题一 5 1 1 无变位储油罐部分容积计算 根据题意可知 小椭圆储油罐是一个椭圆柱体 其横截面是长半轴长为 短半轴a 长为的椭圆 根据椭圆方程可知横轴坐标值为 b 2 2 1 b y ax 因此可知椭圆截面面积为 2 2 21 h b y sady b 根据定积分体积运算的应用 椭圆柱体体积为 dy b y allsV h b 2 2 12 求解可得 dyyb b al V h b 22 2 arcsin 2 12 222 h b b y byby b al 1 2 arcsin 2 2 2 hb b h b h abl 当然 也可以通过坐标变换 得到的另一等价表达式 sin tby V 2 arcsin2sin 2 1 2 arcsin b h b h ablV 若将 1 中的用代替 即可得到与测量油面高度 但为了便于程序 hbh V h 编写及书写 我们运用含的表达式 虽然 1 式与 2 式实质一样 但在实际的 h 编程运算中 为了计算简便 我们采用 2 式 5 1 2 无变位储油罐部分容积计算误差分析 在求得体积函数的基础上 我们利用本题附件一的数据 用 MATLAB 数学软件绘制 油体积函数图与所给累计进油量的离散数据 观察两者的逼近程度 见图 5 1 图 5 1 观察上图可发现 在末端数据吻合程度有所欠缺 下面 先考虑进油状态下理论 容积与实际容积之间存在的误差 具体所做的工作如下 1 首先将罐内油的体积理论值与测量值进行相减 得出实验数据与推导数据之间 的误差 并作图直观表示 1 2 分别用一次 二次 三次函数对误差项进行拟合 观察各类函数的拟 合效果 得到误差项 观察到三次函数拟合效果较好 并得到误差项为 程 序参考附件 1 3022 691482 0 100385 6 10403 8 2 7 3 8 hhhw 3 在无变位储油罐容积计算公式中减去误差项 得到新的容积计算公式 利用w MATLAB 数学软件进行绘图 与附件一中的实验数据进行比较 此时推断公式为 hb b h 2b h arcsinablV 22 2 3022 691482 0100385 610403 8 2 7 3 8 hhh 此时 重新作图验证 观察到添加误差项后 实验数据与推算数据十分吻合 吻 合效果见图 5 3 图 5 3 4 对附件一中无变位进油离散数据进行插值拟合 得出无变位出油时的初始体积 即当 h 1150 72mm 时 油体积 V 3916 2L 故初始油体积为 3916 2 52 72 3968 92L 绘制无变位出油累加出油量与油位高度的离散图 V 与含误差项的容积计算公式推算数据进行比较 得到图 5 4 和图 5 5 此时 误差的量级为 0 1 升 我们认为进油时的误差项非常符合出油时的误差项 图 5 4 图 5 5 5 1 3 纵向偏转储油罐部分容积计算 如图 5 6 所示 储油罐发生纵向偏转 罐底与水平面成的偏转角 石油在储油 罐内的位置发生变化 液面与水平面保持平行 此时液面 1 与液面 2 将罐体划分成 1 2 3 这三个区域内 根据前面的假设 我们仅考虑油面在区域 2 中及其上下边界 即液面 1 与液面 2 变化时的情况 l 图 5 7 图 5 6 1 液面处在区域 2 中 令液面在 y 轴上的值为 故H HbOA tan tan lHblOABC 1 l 1 ll l BCOA BCh tan tan 1 l l ll lHb 3 tan 1 lHb 又因为 2 arcsin 2 2 2 hb b h b h abs 此时与轴上的值相关 hz 当时 H 0z h 当时 zl h tan lHbBC 所以得到 h tan zH 因此在区间内对进行积分 得到体积函数 0 lz dzzsV l 0 4 l dzzHb b zH b zH ab 0 22 2 tan tan 2 tan arcsin 将 3 式带入 4 式 即可求得测量值与储油罐内油体积的关系式 hV 2 当液面在区域 1 和 2 交接线时 例如当 求得 tan 2 1 lbh o 1 4 m 因为对于倾斜角度 我们根据实际情况认为不会很大 故相17134 1 h tan 1 l 对于很小 我们为了便于讨论 近似将 1 和 2 的交接线看成是液面最高处 b2 3 当液面在 2 和 3 交接线时 则当倾斜角微小时 也很小 例 tan 1 llh h 如当 求得m 此外 根据出油口所在位置及实际情况分析 液面 o 1 4 14687 0 h 低于 2 和 3 区域的交接线可能性很小 故为方便讨论 我们近似将 2 和 3 的交接线看 成是液面最低处 根据本题中所给的数据 可知油面仅仅在区域 2 中变化 故上述的假设合理 此外 我们用 MATLAB 中的符号积分方法对 4 进行计算 求得实际体积V与H 的变化关系式 并由 3 式得到V与h的变化关系式 具体程序见附件 2 5 1 4 纵向偏转储油罐部分容积计算误差分析 利用上小节求得的与h的关系式 与附件一实验数据进行比较 两类数据关系V 及两类数据差值如图 5 8 图 5 9 所示 图 5 8 图 5 9 图 5 10 利用 MATLAB 对误差进行拟合 发现三次函数对误差项的拟合效果较好 数据吻合 效果见上图 5 10 得到误差项 0888 2220225 1 001 0108811 2 237 hhhw 当的函数添上该误差项后 函数得到修正 与附件一实验数据进行比较 发Vw 现两类数据吻合很好 见图 5 11 此时理论体积值与实验体积值平均误差约为 2 升 由此我们认为添上误差项的基本是精确的 V 图 5 11 对于出油数据而言 同样运用插值法 求出油面高度为 1020 65mm 时 体积为 3469L 故可求得初始体积为 3469 50 3519L 绘制纵向偏转储油罐出油时 储油体积 与油位高度的离散图 再与含误差项的修正函数进行比较 其结果见图 5 12 图 5 13 图 5 12 图 5 13 根据误差量级与实际体积量级相比相对很小 我们可认为倾斜 4 1 的情况下出油 与进油均符合添上含有误差项的体积计算公式 下面 对无变位油体积函数与纵向偏转 油体积函数进行比较 由图 5 14 可知 当在两者油位高度相同时 纵向偏转油体积函 数 虚线表示 值比无变位油体积函数 实线表示 值要小 即相同的油量 变位时 显示的高度高 图 5 14 5 1 5 纵向偏转储油罐罐容表标识 因为移位后 在标准体积上添的误差项改变 我们无法给出统一的误差项 故制 定罐容表时 我们只考虑倾角为时 储油体积与油面高度的关系 联系假设 o 1 4 得到 15cm 到 117cm 的罐容表的标定值 具体表格见本文附件 3 5 25 2 问题二 5 2 1 无变位实际储油罐部分容积计算 对于无变位的实际储油罐部分容积计算 可将容积分成两部分进行运算 这两部 分为 1 储油罐球冠体的部分容积 两端球冠体在无变位的情况下体积相等 因此两1v 者体积之和为 2 1v 2 储油罐柱体部分容积 在无变位情况下 这一部分的体积与问题一中无变位小 椭圆柱体的方法一致 调整 带入 2 式 即可得到体积 abR 2v 如图 5 15 所示 记为显示油高 其中 为液面高度的纵坐标 H h hR R 图 5 15 22 ry rc 图 5 16 依据定积分在体积运算中的应用 可知 1 h R vA y dy 其中为球冠体的被积截面面积微元 故有 A y 12 A ySySy 其中为扇形面积 为三角形面积 因为 1 Sy 2 Sy 22 1 22 arccos rc Syry ry 22 2 2Syyrcc 因此 所求截面面积 2222 22 arccos2 rc A yryrcyrcc ry 于是 可以得到 根据问题 一中无变位小椭圆储油罐部分容积计算公式 2 得到储油罐柱体部分容积 arcsin2sin 2 1 2 arcsin2 2 R h R h lRv 因此无变位实际储油罐部分容积 2222 22 1arccos2 h R rc vryrcyrccdy ry 2222 22 2 2 12 2arccos2 1 arcsin sin 2arcsin 22 h R Vvv rc ryrcyrccdy ry hh R l RR 5 2 2 变位实际储油罐部分容积计算 根据题目要求 最终需要得到变位后液面显示高度与储油罐内油体积的关系 因此 需要处理好油表上显示的高度这一数据 如图 5 17 所示 在储油罐发生纵向偏转时 液面与原来不同 通过不同的液面高 度 将罐内分成 1 2 3 这三个区域 由假设 下面我们仅考虑油面在区域 2 中及其 上下边界 即液面 1 与液面 2 变化时的情况 图 5 17 当液面处在区域 2 时 且储油罐只发生纵向偏移时 记油浮子的读数为 推算 0 H 纵坐标与油浮子读数之间的关系为 h 0 H 单位为米 00 tanHhRL 如图 5 18 所示 在储油罐保持纵向偏转不改变的前提下 横向偏转储油罐 使得 偏转角度为 由于油位探针始终与储油罐底面保持垂直 所以当储油罐发生横向偏 转时 油位探针也发生相同角度的偏转 油浮子的位置也产生转变 图 5 18 此时 在纵向倾斜时的油面高度不受影响 作为初始高度 根据图示我们分 0 H 别对的情况进行分析 得到显示油面高度值与纵向倾斜时的油面高度 00 HR HR H 偏转角度之间的函数关系为 0 H 0 cos RH HR 其中就是附件二中的 显示油面高 的值 于是有 H 单位为米 0 costanhHRL 图图 5 19 为了计算的清晰性 首先将储油罐分成三个部分 如图 5 19 所示 i 中间柱体体积 1v 类似问题一中的方法 可得中间柱体体积 22 2 0 tan tan 1arcsin tan 2 L hzhz vRRhzdz RR 其中 0 costanhHRL ii 左端部分球冠体体积 2v 对于 v2 因为实际偏转角很小 我们可以近似认为油冠内液面与圆柱体横截面 垂直 故用 5 2 1 推导的式子得 tan 2222 22 2arccos2 hL R rc vryrcyrccdy ry iii 右端部分球冠体体积 3v 同样 由 ii 可知 2222 22 3arccos2 h R rc vryrcyrccdy ry 因此 变位储油罐油量的体积与显示高度之间的关系式为 5 22 2 0 tan 2222 22 2222 22 123 tan tan arcsin tan 2 arccos2 arccos2 L hL R h R vvvv hzhz RRhzdz RR rc ryrcyrccdy ry rc ryrcyrccdy ry 利用 MATLAB 进行符号求解 程序见附件 4 得到最终的函数表达式 见附件 5 5 2 3 转角的参数估计与罐容表标定 对附件二数据 通过观察发现显示油量容积与出油量前后数据存在显著矛盾 对 于进 出油量是通过流量计得出的 我们假设进 出油量是准确的 故我们认为此时的 罐容表显示的油量容积与实际油量体积存在较大差距的 即此罐容表读出的体积值是 很不准确的 所以我们不应该用罐容表油量容积这组数据估算与 我们考虑出油 量与显示油高这两组数据 通过将相邻两油高代入推导的体积函数 5 中 从而求出 相邻高度的体积差 以该体积差与出油量相对应及最小二乘法的思想 进行编程 运 用三重循环 将与均以 0 1 为步长 从到进行搜索 具体程序见附件 6 1 0 7 以附表二一次性补油之前的数据进行估算 求出使误差平方和最小的与 通过程 序运算 得出 此时我们得到仅含以显示的油面高度为变量的体积函 1 2 8 4 数式 从而求得一次性补油前油的体积 接着用一次性补油之后的数据进行准确性检 验 再进行绘图 我们得出理论出油量与实际出油量非常接近 两者差值见图 5 20 图 5 20 由图 5 19 可知 理论出油量与实际出油量的误差在 3 升以内 我们认为该函数模 型准确 通过该模型 给出该罐体的变位情况 即有 1 2 8 4 变位时油位高度间隔 10cm 的罐容表标定值 由假设区域 1 和 3 从实际角度考虑 可以忽略 液面 1 的高度为 2 9317m 液面 2 的高度为 0 2155m 故列出油面在区 域 2 的罐容表 具体见附件 7 分析我们求得的函数与显示容量容积处的数值的差值的误差图 其中包括一次性 补油后的数据 如图 5 21 所示 图 5 21 可见显示油量容积的数据与函数计算结果偏差很大 不可再用该数据 可靠性分析 可靠性分析 我们由问题一所做的实验进行推广 引出问题二的求解方法 最终得出 体积与高度的对应关系 该方法理论上可行 且相邻体积函数值的差与对应的出油值 的误差在 3L 3L 之间 我们认为通过上述方法求解出的模型与实际接近 可靠性高 6 6 模型评价与推广 6 1 模型的评价 我们建立此模型的最终目标是要设计出一个能够有效模拟出储油量与油位以及变 位参数之间关系的数学模型 具有较强的实际意义 可以在现实生活中加以应用 优点 将实际值与理论值的误差用三次函数进行拟合 精确度高 与实际值的偏 差很小 特别是在这过程中估算出来的与 使得理论出油量与实际出油量很相近 采用符号求解的方法 结合所给观测数据对储油量与油位以及变位参数之间关系进行 预测 拟合效果良好 而且 设定好参数以后 可以对模型进行实时控制和实时预测 有利于模型的建立与求解 缺点 由于数据的可得性与准确性 在选取数据上存在着一定的误差 不过在计 算过程中尽量控制在合理的范围之内 没有对拟合得到的误差项进行深入分析 导致 误差的原因也没有做相关了解 另外 模型模拟实验不可能与实际情况完全吻合 而且在建立模型时 忽略了多 种并未量化的影响因子 数据收集误差等因素 计算体积时把球冠最边缘倾斜的两部 分用近似相等的方法 因此 不可能完全准确地进行分析 模型仍需要修正和完善 6 2 模型的推广 1 考虑体积时 应该把用近似处理的那两部分边缘体积以更精确的数学方法进行 求解 以减小与实际值的偏差 2 尽可能地掌握上述那些忽略掉的因素对测量值的影响 以及对静态体积的影响 比如得出一个影响程度与实际值的关系表达式 3 此模型是用来计算或者较精准地估计一个容器内部剩余液体的体积 而且把有纵 向倾斜和横向偏转的情况也考虑在其中 故可以运用到实际生活的许多类似问题当中 也同样适用于求相对规则容器内堆积无缝隙的微小固体物质的体积 7 7 参参考文献 1 王郑耀 卧式油灌剩余油料体积的计算 西安交通大学 P11 12 2004 8 8 2 王沫然 MATLAB与科学计算 第二版 北京电子工业出版社 2003 3 周晓阳 数学实验与MATLAB 华中科技大学出版社 2005 附件 附件 1 误差项拟合 clear load A2010 txt lj A2010 3 262 yg A2010 4 b 600 a 890 l 2450 v v1 h 600 600 v a b l asin h b pi 2 h sqrt b b h h b b h1 yg 600 v1 a b l pi 2 a b l asin h1 b a b l sin 2 asin h1 b 2 f v1 1000000 lj hold on p1 polyfit h1 f 3 p1 附件 2 符号求解题一倾斜被积函数 syms a b jd l h H alpha u x a a b asin H x tan jd b pi 2 H x tan jd b b sqrt b b H x tan jd H x tan jd y int a x 0 l 附件 3 当 4 1 时 小椭圆储油罐罐容表如下 小椭圆储油罐罐容表 4 1 油位高度 cm 油体积 L 油位高度 cm 油体积 L 661970 15248 6672013 1 16263 8682056 2 17280 5692099 4 18298 5702142 6 19317 7712185 9 20338 2722229 2 21359 7732272 5 22382 2742315 7 23405 8752359 24430 3762402 2 25455 7772445 4 26482782488 5 27509 1792531 5 28537802574 5 29565 7812617 3 30595 1822660 31625 2832702 5 32656 1842744 9 33687 5852787 1 34719 6862829 2 35752 4872871 36785 7882912 6 37819 6892954 38854902995 1 39888 9913035 9 40924 4923076 5 41960 4933116 7 42996 8943156 6 431033 7953196 1 441071963235 3 451108 7973274 1 461146 9983312 5 471185 4993350 4 481224 31003387 9 491263 51013424 9 501303 11023461 4 5113431033497 4 521383 21043532 8 531423 71053567 6 541464 51063601 8 551505 61073635 3 561546 81083668 2 571588 31093700 3 581630 11103731 6 5916721113762 2 601714 11123791 8 611756 41133820 5 621798 91143848 3 631841 51153874 9 641884 21163900 4 651927 11173924 5 附件 4 符号求解题二被积函数 clear R 1500 r 1625 L 8000 L1 2000 c 1000 syms zjd h alpha u x s1 R R asin h x tan zjd R pi 2 h x tan zjd R R sqrt R R h x tan zjd h x tan zjd s2 r r x x acos r c sqrt r r x x r c sqrt x x 2 r c c c s11 int s1 x 0 L s21 int s2 x R h L tan zjd s22 int s2 x R h v s11 s21 s22 附件 5 体积函数 此时代表 为了运算简便 使用字符代替字符zjd h h v 1 3 6750000 asin 1 1500 h 16 3 tan zjd h 6750000 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 54000000000 asin 1 1500 h 16 3 tan zjd tan zjd 27000000000 pi tan zjd 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 3 2 6750000 asin 1 1500 h h h 2 2250000 3 2 6750000 h 2 2250000 1 2 tan zjd 1 6 15843750 acos 625 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 h 126750000000 acos 625 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 tan zjd 2 acos 625 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 h 3 48000 acos 625 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 h 2 tan zjd 384000000 acos 625 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 h tan zjd 2 1024000000000 acos 625 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 tan zjd 3 625 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 h 5000000 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 tan zjd 5195312500 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 asin 1 1500 h 16 3 tan zjd 8582031250 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 atan 1 5 18000 13 h 104000 tan zjd 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 8582031250 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 2640625 h 2 16000 h tan zjd 64000000 tan zjd 2 1 2 atan 1 5 18000 13 h 104000 tan zjd 2250000 h 2 64000000 tan zjd 2 16000 h tan zjd 1 2 4218750000 h 1875 h 3 360000000000 h tan zjd 2 45000000 h 2 tan zjd 33750000000000 tan zjd 9600