【步步高】2014届高三数学一轮 第九章 解析几何章末检测 理 （含解析）北师大版

1 第九章第九章 章末检测章末检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 原点到直线 x 2y 5 0 的距离为 A 1 B C 2 D 35 2 2010 安徽 过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行的直线方程是 A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y 1 0 3 直线 x 2y 3 0 与圆 C x 2 2 y 3 2 9 交于 E F 两点 则 ECF 的面积 为 A B C 2 D 3 2 3 45 3 5 5 4 2011 咸宁调研 已知抛物线 y2 4x 的准线与双曲线 y2 1 a 0 交于 A B x2 a2 两点 点 F 为抛物线的焦点 若 FAB 为直角三角形 则双曲线的离心率是 A B C 2 D 3 36 5 已知圆的方程为 x2 y2 6x 8y 0 设该圆过点 3 5 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD 则四边形 ABCD 的面积为 A 10 B 20 C 30 D 40 6666 6 2011 福建 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 F1 F2 若曲线 上存在点 P 满足 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 则曲线 的离心率等于 A 或 B 或 2 1 2 3 2 2 3 C 或 2 D 或 1 2 2 3 3 2 7 两个正数 a b 的等差中项是 一个等比中项是 且 a b 则双曲线 1 5 26 x2 a2 y2 b2 的离心率 e 等于 A B C D 3 2 15 213 13 3 8 若过点 A 4 0 的直线 l 与曲线 x 2 2 y2 1 有公共点 则直线 l 的斜率的取值 范围为 A B 3333 C D 3 3 3 3 3 3 3 3 9 2011 商丘模拟 设双曲线 1 的一条渐近线与抛物线 y x2 1 只有一个 x2 a2 y2 b2 公共点 则双曲线的离心率为 A B 5 C D 5 4 5 25 10 神舟七号 宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为左焦点的椭圆 测得近地点 A 距离地面 m km 远地点 B 距离地面 n km 地球的半径为 k km 关于椭圆有以下三种说法 焦距长为 n m 短轴长为 离心率 e m k n k n m m n 2k 以上正确的说法有 A B C D 11 设 F1 F2是双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 P 在双曲线上 若 x2 a2 y2 b2 PF1 2 0 2ac c 为半焦距 则双曲线的离心率为 PF2 PF1 PF2 A B C 2 D 3 1 2 3 1 2 5 1 2 12 2010 浙江 设 F1 F2分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 若在 x2 a2 y2 b2 双曲线右支上存在点 P 满足 PF2 F1F2 且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的渐近线方程为 A 3x 4y 0 B 3x 5y 0 C 4x 3y 0 D 5x 4y 0 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 2011 安庆模拟 若一个圆的圆心在抛物线 y2 4x 的焦点处 且此圆与直线 3x 4y 7 0 相切 则这个圆的方程为 14 过椭圆 1 a b 0 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 与椭圆的另一个交点为 x2 a2 y2 b2 M 与 y 轴的交点为 B 若 AM MB 则该椭圆的离心率为 15 2011 江西 若椭圆 1 的焦点在 x 轴上 过点 1 作圆 x2 y2 1 的切 x2 a2 y2 b2 1 2 线 切点分别为 A B 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是 16 若方程 1 所表示的曲线 C 给出下列四个命题 x2 4 t y2 t 1 若 C 为椭圆 则 1 t4 或 t 1 曲线 C 不可能是圆 若 C 表示椭圆 且长轴在 x 轴上 则 1 t0 相交于两个不同 的点 A B 与 x 轴相交于点 C 记 O 为坐标原点 1 证明 a2 3k2 1 3k2 4 2 若 2 求 OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程 AC CB 21 12 分 2011 福建 已知直线 l y x m m R R 1 若以点M 2 0 为圆心的圆与直线l相切于点P 且点P在y轴上 求该圆的方程 2 若直线l关于x轴对称的直线为l 问直线l 与抛物线C x2 4y是否相切 说明理由 22 12 分 2011 山东 已知动直线l与椭圆C 1 交于P x1 y1 x2 3 y2 2 Q x2 y2 两不同点 且 OPQ的面积S OPQ 其中O为坐标原点 6 2 1 证明 x x和y y均为定值 2 12 22 12 2 2 设线段PQ的中点为M 求 OM PQ 的最大值 3 椭圆C上是否存在三点D E G 使得S ODE S ODG S OEG 若存在 判断 6 2 DEG的形状 若不存在 请说明理由 5 第九章第九章 章末检测章末检测 1 D 2 A 3 C 4 B 5 B 6 A 由 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 可设 PF1 4k F1F2 3k PF2 2k 若圆锥曲线为椭圆 则 2a 6k 2c 3k e c a 1 2 若圆锥曲线为双曲线 则 2a 4k 2k 2k 2c 3k e c a 3 2 7 D 8 C 9 D 10 A 11 D 12 C 13 x 1 2 y2 4 14 6 3 15 1 x2 5 y2 4 解析 由题意可得切点 A 1 0 切点 B m n 满足Error 解得 B 3 5 4 5 过切点 A B 的直线方程为 2x y 2 0 令 y 0 得 x 1 即 c 1 令 x 0 得 y 2 即 b 2 a2 b2 c2 5 椭圆方程为 1 x2 5 y2 4 16 17 解 1 kAB AB BC kCB 2 2 2 lBC y x 2 2 22 故 BC 边所在的直线方程为 x y 4 0 3 分 2 2 在上式中 令 y 0 得 C 4 0 圆心 M 1 0 又 AM 3 外接圆的方程为 x 1 2 y2 9 6 分 3 圆 N 过点 P 1 0 PN 是该圆的半径 又 动圆 N 与圆 M 内切 MN 3 PN 即 MN PN 3 2 MP 8 分 点 N 的轨迹是以 M P 为焦点 长轴长为 3 的椭圆 a c 1 b 3 2a2 c2 5 4 轨迹方程为 1 10 分 x2 9 4 y2 5 4 18 解 设 A x1 y1 B x2 y2 1 由Error 得 ky2 y k 0 2 分 y1y2 1 又 x1 y x2 y 2 12 2 x1x2 y1y2 2 1 x1x2 y1y2 0 4 分 x1x2 y1y2 0 OA OB 6 OA OB 6 分 2 如图 由 1 知 y1 y2 1 k y1y2 1 y1 y2 y1 y2 2 4y1y2 2 10 分 1 k2 410 k2 k 1 36 1 6 即所求 k 的值为 12 分 1 6 19 解 1 设 M 的坐标为 x y P 的坐标为 xP yP 由已知得Error P 在圆上 x2 y 2 25 即轨迹 C 的方程为 1 6 分 5 4 x2 25 y2 16 2 过点 3 0 且斜率为 的直线方程为 y x 3 4 5 4 5 设直线与 C 的交点为 A x1 y1 B x2 y2 将直线方程 y x 3 代入 C 的方程 得 4 5 1 即 x2 3x 8 0 8 分 x2 25 x 3 2 25 x1 x2 10 分 3 41 2 3 41 2 线段 AB 的长度为 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 16 25 x1 x2 2 12 分 41 25 41 41 5 20 1 证明 依题意 由 y k x 1 得 x y 1 1 k 将 x y 1 代入 x2 3y2 a2 1 k 消去 x 得y2 y 1 a2 0 2 分 1 k2 3 2 k 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点 得 4 0 4 k2 1 k2 3 1 a2 整理得a2 3 即 a2 5 分 1 k2 3 3k2 1 3k2 2 解 设 A x1 y1 B x2 y2 由 得 y1 y2 2k 1 3k2 7 由 2 C 1 0 得 y1 2y2 代入上式 得 y2 8 分 AC CB 2k 1 3k2 于是 S OAB OC y1 y2 1 2 y2 10 分 3 2 3 k 1 3k2 3 k 2 3 k 3 2 其中 上式取等号的条件是 3k2 1 即 k 3 3 由 y2 可得 y2 2k 1 3k2 3 3 将 k y2 及 k y2 这两组值分别代入 均可解出 a2 5 所以 3 3 3 3 3 3 3 3 OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程是 x2 3y2 5 12 分 21 解 方法一 1 依题意 点 P 的坐标为 0 m 因为 MP l 所以 1 1 0 m 2 0 解得 m 2 即点 P 的坐标为 0 2 3 分 从而圆的半径 r MP 2 2 0 2 0 2 22 故所求圆的方程为 x 2 2 y2 8 6 分 2 因为直线 l 的方程为 y x m 所以直线 l 的方程为 y x m 由Error 得 x2 4x 4m 0 42 4 4m 16 1 m 当 m 1 时 即 0 时 直线 l 与抛物线 C 相切 当 m 1 时 即 0 时 直线 l 与抛物线 C 不相切 10 分 综上 当 m 1 时 直线 l 与抛物线 C 相切 当 m 1 时 直线 l 与抛物线 C 不相切 12 分 方法二 1 设所求圆的半径为 r 则圆的方程可设为 x 2 2 y2 r2 依题意 所求圆与直线 l x y m 0 相切于点 P 0 m 则Error 解得Error 4 分 所以所求圆的方程为 x 2 2 y2 8 6 分 2 同方法一 22 1 证明 当直线 l 的斜率不存在时 P Q 两点关于 x 轴对称 所以 x2 x1 y2 y1 因为 P x1 y1 在椭圆上 因此 1 x2 1 3 y2 1 2 又因为 S OPQ 所以 x1 y1 6 2 6 2 由 得 x1 y1 1 6 2 此时 x x 3 y y 2 2 12 22 12 2 当直线 l 的斜率存在时 设直线 l 的方程为 y kx m 由题意知 m 0 将其代入 1 得 x2 3 y2 2 2 3k2 x2 6kmx 3 m2 2 0 其中 36k2m2 12 2 3k2 m2 2 0 即 3k2 2 m2 8 又 x1 x2 x1x2 6km 2 3k2 3 m2 2 2 3k2 所以 PQ 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 2 6 3k2 2 m2 2 3k2 因为点 O 到直线 l 的距离为 d m 1 k2 所以 S OPQ PQ d 1 2 1 2 1 k2 2 6 3k2 2 m2 2 3k2 m 1 k2 又 S OPQ 6 m 3k2 2 m2 2 3k2 6 2 整理得 3k2 2 2m2 且符合 式 2 分 此时 x x x1 x2 2 2x1x2 2 12 2 2 2 3 6km 2 3k2 3 m2 2 2 3k2 y y 3 x 3 x 4 x x 2 2 12 2 2 32 1 2 32 2 2 32 12 2 综上所述 x x 3 y y 2 结论成立 4 分 2 12 22 12 2 2 解 方法一 当直线 l 的斜率不存在时 由 1 知 OM x1 PQ 2 y1 2 6 2 因此 OM PQ 2 6 26 当直线 l 的斜率存在时 由 1 知 k m m x1 x2 2 3k 2m y1 y2 2 x1 x2 2 3k2 2m 3k2 2m2 2m 1 m OM 2 2 2 3 x1 x2 2 y1 y2 2 9k2 4m2 1 m2 6m2 2 4m2 1 2 1 m2 PQ 2 1 k2 2 2 24 3k2 2 m2 2 3k2 2 2 2m2 1 m2 1 m2 所以 OM 2 PQ 2 3 2 2 1 2 1 m2 1 m2 3 2 2 1 m2 1 m2 3 1 m2 2 1 m2 2 25 4 所以 OM PQ 当且仅当 3 2 5 2 1 m2 1 m2 即 m 时 等号成立 2 综合 得 OM PQ 的最大值为 8 分 5 2 方法二 因为 4 OM 2 PQ 2 x1 x2 2 y1 y2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 2 x x 2 1 y y 10 2 22 12 2 所以 2 OM PQ 5 4 OM 2 PQ 2 2 10 2 即 OM PQ 当且仅当 2 OM PQ 时等号成立 因此 OM PQ 的最大值 5 25 9 为 5 2 3 解 椭圆 C 上不存在三点 D E G 使得 S ODE S ODG S OEG 6 2 证明 假设存在 D u v E x1 y1 G x2