【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第八章 立体几何8．2空间几何体的表面积与体积教学案 理 新人教A版

1 8 28 2 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 考考纲纲要要求求 了解柱体 锥体 台体 球体的表面积和体积的计算公式 不要求记忆公式 1 旋转体的表面积公式 1 圆柱的表面积公式S 其中r为底面半径 l为母线长 2 圆锥的表面积S 其中r为底面半径 l为母线长 3 圆台的表面积公式S r 2 r2 r l rl 其中r r为上 下底面半径 l为母线长 4 球的表面积公式S 其中R为球的半径 2 几何体的体积公式 1 柱体的体积公式V 其中S为底面面积 h为高 2 锥体的体积公式V 其中S为底面面积 h为高 3 台体的体积公式V S S h 其中S S为上 下底面面积 h为高 1 3SS 4 球的体积公式V 其中R为球的半径 1 一个正方体的体积是 8 则这个正方体的内切球的表面积是 A 8 B 6 C 4 D 2 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C 8 D 12 28 3 16 3 4 3 3 2012 银川模拟 长方体的三个相邻面的面积分别为 2 3 6 这个长方体的顶点都在 同一个球面上 则这个球的表面积为 A B 56 C 14 D 64 7 2 4 在 ABC中 AB 2 BC 3 ABC 120 若使 ABC绕直线BC旋转一周 所形 成的几何体的体积为 5 已知四棱锥P ABCD的底面是边长为 6 的正方形 侧棱PA 底面ABCD 且PA 8 则该四棱锥的体积是 一 几何体的表面积 例 1 2012 山东烟台模拟 如图所示是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得 该几何体的表面积是 2 方法提炼方法提炼 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将曲面展为平面图形进行计算 而表面积是侧面积与底面积之和 2 以三视图为载体考查几何体的表面积 关键是对给定的三视图进行正确分析 把图 中获取的信息转化成几何体各元素间的位置关系或数量关系 请做演练巩固提升 1 二 几何体的体积 例 2 在三棱柱ABC A1B1C1中 若E F分别为AB AC的中点 平面EB1C1将三棱 柱分成体积为V1 V2的两部分 那么V1 V2 方法提炼方法提炼 1 解答与几何体的体积有关的问题时 根据相应的体积公式 从落实公式中的有关变 量入手去解决问题 例如对于正棱锥 主要研究高 斜高和边心距组成的直角三角形以及 高 侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形 对于正棱台 主要研究高 斜高和边心距组 成的直角梯形 2 求几何体的体积时 若给定的几何体是规则的柱体 锥体或台体 可直接利用公式 求解 若给定的几何体不能直接利用公式得出 常用转换法 分割法 补形法等求解 请做演练巩固提升 2 三 几何体的展开图 例 3 如图 在三棱柱ABC A B C 中 ABC为等边三角形 AA 平面 ABC AB 3 AA 4 M为AA 的中点 P是BC上一点 且由P沿棱柱侧面经过棱CC 到M的最短路线长为 设这条最短路线与CC 的交点为N 求 29 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长 2 PC与NC的长 方法提炼方法提炼 探究几何体表面上的最短距离 需要把几何体的侧面展开 有时候把空间问题转化为 平面图形中的问题来解决会容易些 请做演练巩固提升 3 不能正确地转化组合体的原形而致误 典例 2012 广东高考 某几何体的三视图如图所示 它的体积为 3 A 72 B 48 C 30 D 24 解析 解析 由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体 其体积为V 33 32 4 30 1 2 4 3 1 3 答案 答案 C 答题指导 答题指导 1 在解答本题时容易出错的主要原因有 1 不能合理地画出图形 不能将所给条件转化到圆锥中 2 不能将组合体的体积转化为一个半球和一个圆锥的体积之和来处理 2 由于近几年的高考加强了对几何体体积 面积的考查 在备考中要注意 1 加强对常见几何体的有关计算的训练 熟练掌握常见几何体的面积及体积的求法 2 对于一些复杂的几何体 要善于将其转化为规则的几何体进行求解 3 要重视对计算能力的训练与培养 以适应高考的需要 1 2012 北京高考 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 28 6 B 30 6 55 C 56 12 D 60 12 55 2 2012 江西高考 若一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积为 A B 5C D 4 11 2 9 2 4 3 日常生活中 许多饮料是用易拉罐盛装的 易拉罐是近似的圆柱体 现有一个高为 12 cm 底面半径为 4 cm 的空易拉罐 被切割成如图所示的形状相同的两个几何体 如果 将其中一个几何体的侧面展开 那么展平后的形状是 4 一个空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48B 32 8 17 C 48 8D 80 17 5 一个正三棱柱 底面为等边三角形 侧棱与底面垂直 的三视图如图所示 求这个三 棱柱的表面积和体积 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 2 r2 2 rl 2 r2 rl 4 4 R2 2 1 Sh 2 Sh 4 R3 1 3 4 3 基础自测基础自测 1 C 解析 解析 设正方体的棱长为a 则a3 8 而此内切球直径为 2 S表 4 r2 4 2 A 解析 解析 由三视图可知 该几何体为底面半径是 2 高为 2 的圆柱体和半径为 1 的球体的组合体 分别计算其体积相加得 22 2 4 3 28 3 3 C 解析 解析 设长方体长 宽 高分别为a b c 不妨取ab 2 bc 3 ac 6 长方体的体对角线长为 a2 b2 c2 而由Error 得Error 球的直径d 22 12 3214 r d 2 14 2 S球 4 r2 4 14 14 4 4 3 解析 解析 形成的几何体为圆锥中挖去一小圆锥后的剩余部分 作AD BC AD 3 V AD2 BC BD AD2 BD 3 1 3 1 3 5 96 解析 解析 底面正方形的面积S 62 36 又 PA 底面ABCD PA 8 VP ABCD S PA 36 8 96 1 3 1 3 考点探究突破考点探究突破 例 1 12 解析 解析 此几何体的上部分为球 球的直径为 2 下部分为一圆柱 圆柱 的高为 3 底面圆的直径为 2 所以S表 4 2 3 12 例 2 7 5 或 5 7 解析 解析 设三棱柱的高为h 上 下底的面积均为S 体积为 V 则V V1 V2 Sh E F分别为AB AC的中点 S AEF S 1 4 V1 h Sh 1 3 S 1 4S S 1 4S 7 12 V2 Sh V1 Sh V1 V2 7 5 5 12 例 3 解 1 该三棱柱的侧面展开图为边长分别为 4 和 9 的矩形 故对角线长 6 为 42 9297 2 将该三棱柱的侧面沿棱BB 展开 如下图 设PC x 则MP2 MA2 AC x 2 MP MA 2 AC 3 29 x 2 即PC 2 又NC AM 故 即 PC PA NC AM 2 5 NC 2 NC 4 5 演练巩固提升演练巩固提升 1 B 解析 解析 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为 此几何体为一个底面 为直角三角形 高为 4 的三棱锥 因此表面积为S 2 3 4 4 5 4 2 3 2 30 6 1 2 1 2 1 2 1 2541 5 5 2 D 解析 解析 由三视图可判断该几何体为直六棱柱 其底面积为 4 高为 1 所以体积 为 4 故选 D 3 A 解析 解析 圆柱的展开图是矩形 故此几何体展开后的图形应为三角形 4 C 解析 解析 由三视图知该几何体的直观图如图所示 该几何体的下底面是边长为 4 的正方形 上底面是长为 4 宽为 2 的矩形 两个侧面是垂直于底面 上底长为 2 下底 长为 4 高为 4 的梯形 另两个侧面是矩形 宽为 4 长为 42 1217 所以S表 42 2 4 2 4 4 2 4 2 48 8 1 21717 5 解 由三视图易知 该正三棱柱的形状如图所示 且AA BB CC