高中数学《导数的实际应用》学案1 新人教B版选修2-2

用心 爱心 专心1 导数的实际应用导数的实际应用 目标认知目标认知 学习目标 学习目标 1 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求 函数的单调区间 对多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件 导数在极值点两端异号 和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 对多项式函数一般不超过三次 3 会求闭区间上函数的最大值 最小值 对多项式函数一般不超过三次 重点 重点 利用导数判断函数单调性 函数极值与最值的区别与联系 会求一些函数的 极 最 大值与 极 最小值 难点 难点 利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题 知识要点梳理知识要点梳理 知识点一 函数的单调性知识点一 函数的单调性 一一 导数的符号与函数的单调性 导数的符号与函数的单调性 一般地 设函数在某个区间内有导数 则在这个区间上 若 则 在这个区间上为增函数 若 则在这个区间上为减函数 若恒有 则在这一区间上为常函数 反之 若在某区间上单调递增 则在该 区间上有恒成立 但不恒等于 0 若在某区间上单调递减 则在该区间上 有恒成立 但不恒等于 0 注意 注意 1 若在某区间上有有限个点使 在其余点恒有 则仍为增 函数 减函数的情形完全类似 即在区间 a b 内 或 是在 a b 内单调递增 或减 的充分不必要条件 例如 而 f x 在 R 上递增 2 学生易误认为只要有点使 则 f x 在 a b 上是常函数 要指出个别导 数为零不影响函数的单调性 同时要强调只有在这个区间内恒有 这个函数 在这个区间上才为常数函数 3 要关注导函数图象与原函数图象间关系 二 利用导数求函数单调性的基本步骤 二 利用导数求函数单调性的基本步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数 用心 爱心 专心2 3 在定义域内解不等式 解出相应的 x 的范围 当时 在相应区间上为增函数 当时在相应区 间上为减函数 4 写出的单调区间 知识点二 函数的极值知识点二 函数的极值 一 函数的极值的定义 一 函数的极值的定义 一般地 设函数在点及其附近有定义 1 若对于附近的所有点 都有 则是函数的一个极大值 记作 2 若对附近的所有点 都有 则是函数的一个极小值 记作 极大值与极小值统称极值 在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量 的值 极值指的是函数值 注意 注意 由函数的极值定义可知 1 在函数的极值定义中 一定要明确函数 y f x 在 x x0及其附近有定义 否则无 从比较 2 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的 是一个局部概念 在函数 的整个定义域内可能有多个极值 也可能无极值 由定义 极值只是某个点的函数值与它附 近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 极 小值不一定是整个定义区间上的最小值 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取 得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 5 可导函数在某点取得极值 则该点的导数一定为零 反之不成立 即 是可导函数在点取得极值的必要非充分条件 在函数取得极值处 如果 曲线有切线的话 则切线是水平 的 从而有 但反过来不一定 如函数 y x3 在 x 0 处 曲线的切线是水平的 但这点不是函数的极值点 二 求函数极值的的基本步骤 二 求函数极值的的基本步骤 确定函数的定义域 求导数 求方程的根 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 则 f x 在这个根处取得极大 值 如果左负右 正 则 f x 在这个根处取得极小值 最好通过列表法 知识点三 函数的最大值与最小值知识点三 函数的最大值与最小值 一 一 函数的最大值与最小值定理函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续 则在上必有最大值和最小值 在 用心 爱心 专心3 开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值 如 二 求函数最值的的基本步骤 二 求函数最值的的基本步骤 若函数在闭区间有定义 在开区间内有导数 则求函数 在上的最大值和最小值的步骤如下 1 求函数在内的导数 2 求在内的极值 3 求在闭区间端点处的函数值 4 将的各极值与 比较 其中最大者为所求最大值 最小者为所 求最小值 三 最值理论的应用 三 最值理论的应用 解决有关函数最值的实际问题 导数的理论是有力的工具 基本解题思路为 1 认知 立式 分析 认知实际问题中各个变量之间的联系 引入变量 建立适当 的函数关系 2 探求最值 立足函数的定义域 探求函数的最值 3 检验 作答 利用实际意义检查 2 的结果 并回答所提出的问题 特殊地 如果所得函数在区间内只有一个点满足 并且在点处有极大 小 值 而所给实际问题又必有最大 小 值 那么上述极大 小 值便是最大 小 值 规律方法指导规律方法指导 1 利用导数讨论函数的单调区间 首先要确定函数的定义域 D 并且解决问题的过 程中始终立足于定义域 D 若由不等式确定的 x 的取值集合为 A 由确定 的 x 的取值范围为 B 则应有 如 2 最值与极值的区别与联系 函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的 具有绝对性 是整个定义域上的整体性概念 最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值 最 小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值 函数的极大值与极小值是比较极值点附 近两侧的函数值而得出的 具有相对性 是局部的概念 极值可以有多个 最大 小 值若存在只有一个 极值只能在区间内取得 不能 在区间端点取得 最大 小 值可能是某个极大 小 值 也可能是区间端点处的函数值 有极值的函数不一定有最值 有最值的函数未必有极值 极值可能成为最值 若在开区间内可导 且有唯一的极大 小 值 则这一极大 小 值即为最大 小 值 典型例题典型例题 例例 1 1 设 f x ax3 x 恰有三个单调区间 试确定 a 的取值范围 并求其单调区间 用心 爱心 专心4 解析 解析 f x 3ax2 1 若 a 0 f x 0 对 x R 恒成立 此时 f x 只有一个单调区 间 矛盾 若 a 0 f x 此时 f x 恰有三个单调区间 a 0 且单调减区间为 单调增区间为 例例 2 2 求函数 y 2ex e x的极值 解析解析 y 2ex e x 令 y 0 即 2e2x 1 列表 x y 0 y 极小值 y极小 例例 3 3 求函数 f x 3x x3在闭区间的最大值和最小值 解析 解析 f x 3 3x2 令 f x 0 则 x1 1 x2 1 则 f 1 2 f 1 2 又 f x max 2 f x min 18 例例 4 4 如右图所示 在二次函数 f x 4x x2的图象与 x 轴所围成图形中有 个内接矩形 ABCD 求这个矩形面积的最大值 解析 解析 设点 B 的坐标为 x 0 且 0 x 2 f x 4x x2图象的对称轴为 x 2 点 C 的坐标为 4 x 0 BC 4 2x BA f x 4x x2 矩形面积为 y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 令 y 0 解得 0 x 2 取 极值点只有一个 当时 矩形面积的最大值 例例 5 5 一艘渔艇停泊在距岸 9km 处 今需派人送信给距渔艇km 处的海岸渔站 如果送信人步行每小时 5km 船速每小时 4km 问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时 间最省 解析 解析 如图示设 A 点为渔艇处 BC 为海岸线 C 为渔站 且 AB 9km 设 D 为海岸线上一点 CD x 只需将时间 T 表示为 x 的函数 用心 爱心 专心5 由 A 到 C 的时间 T 则 0 x 15 0 x 15 令 T 0 解得 x 3 在 x 3 附近 T 由负 到正 因此在 x 3 处取得最小值 又 比较可知 T 3 最小 训练题 训练题 1 函数 y 4x2 x 2 x 2 2 的最小值是 2 一个外直径为 10cm 的球 球壳厚度为 则球壳体积的近似值为 3 函数 f x x4 5x2 4 的极